Theoretical Physics

Theoretical Physics

Математические методы

Алгебра

Математический Анализ

Специальные функции

Физика

Механика

Статистическая физика

Классическая механика

Квантовая механика

⚠ Что изучает?
Операции над множествами

Линейная алгебра

Алгебра векторов

Алгебра матриц

⚠ Что изучает?
Операции над линейными объектами

👁
Пространства

Линейное пространство
📝 Обозначается: $\Lambda^n$
Линейное пространство aka Векторное пространство – множество, между элементами которого:

Есть операция сравнения на равенство между $a$ и $b$
Есть процедура сопоставления двум элементам третьего (сумма): $c = a + b$ ⚠ аксиомы!
Есть процедура сопоставления элементу другого через число: $c = \lambda a$ ⚠ аксиомы!
Дистрибутивность суммы и умножения на число:
4.1. $(\lambda + \mu)a = \lambda a + \mu a$ ;
4.2. $\lambda (a + b) = \lambda a + \lambda b$

Аксиомы умножения на число

Единичный элемент: $1a = a$
Ассоциативность: $\lambda \mu a = \lambda (\mu a)$

Аксиомы суммы

$a + b = b + a$ (коммутативность)
$a + (b + c) = (a + b) + c$ (ассоциативность)
Нулевой элемент: $a + 0 = a$
Есть противоположные элементы: $a + (-a) = 0$

⚠ Что изучает?
Общие зависимости между элементами множеств

Линейная комбинация – комбинация элементов пространства вида
\[\sum_{i=1}^{n} \lambda_i a_i\]

Линейно зависимые
\[\sum_{i=1}^{n} \lambda_i a_i = 0\]

⚠ Важно: $\lambda_i \neq 0$

Безис – упорядоченный набор элементов множества

Лениейно независимы
Если добавить еще элемент,то он будет линейно зависим

⚠ Важно: в $\Lambda^n$ базис может быть выбран не единственным образом!
Определение линейной независимости

Размерность пространства – количество элементов в базисе
📝 Обозначается: $\Lambda^n$, где $n$ – размерность

Теорема
О единственности разложения в базис

Для каждого элемента пространства существует единственное представление в виде линейной комбинации базисных элементов
Определение линейной зависимости

Линейно независимые
\[\sum_{i=1}^{n} \lambda_i a_i \neq 0 \]

⚠ Важно: кроме $\lambda_i = 0$

Координаты – компоненты ($\lambda_i$) разложения по базису

Теорема
О переходе от одного базиса к другому

Старый базис: $\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}$
Новый базис: $\{y_1, y_2, \ldots, y_n\}$

Разложение в старом базисе: $a = \sum_{i=1}^n \alpha_i x_i$
Разложение в новом базисе: $a = \sum_{i=1}^n \beta_i y_i$

Переход: \[\alpha_i = \sum_{j=1}^n \sigma_{ij}\beta_j \]

$\sigma_{ij}$ – элементы матрицы перехода $\mathbf{S}$

Изоморфизм – отображение $\hat F: \Lambda_1 \to \Lambda_2$ такое, что:

$\hat F(x+y) = \hat F(x) + \hat F(y)$
$\hat F(\lambda x) = \lambda \hat F(x)$

Если так, тогда пространства $\Lambda_1$ и $\Lambda_2$ – изоморфны

⚠ Важно: размерности $\Lambda_1$ и $\Lambda_2$ совпадают!

Оператор
📝 Обозначается: $\hat A$
Оператор – сопоставления элементов из простраства $\Lambda$ в элементы пространства $\Lambda'$.

📝 Отображение обозначают так: $y = \hat A x$

$x$ – прообраз $y$
$y$ – образ $x$

Виды операторов

Отображение – такой оператор, что $\Lambda' \not\subset \Lambda$

Матрица обратного перехода:
$\mathbf{T} = \mathbf{S}^{-1}$

Типы линейных отображений

Инъекция
Элементы $\Lambda_1$ всегда отображаются в разные элементы $\Lambda_2$

Преобразование – такой оператор, что $\Lambda' \subseteq \Lambda$

Операции с операторами

Произведение

Коммутатор

Сюръекция
У каждого элемента в $\Lambda_2$ есть прообраз в $\Lambda_1$

Сумма

Характеристики оператора

Ранг

Ядро

Биекция
У каждого элемента $\Lambda_1$ есть один элемент в $\Lambda_2$ и наоборот

Собственные значения

Особые виды операторов

Функционал – оператор, множество значений которого есть множество вещественных чисел

Линейный функционал

Билинейный функционал

Полилинейные функционалы

Особые виды линейных пространств

Евклидовом пространство – линейное (векторное) пространство над полем вещественных чисел со скалярным произведением

Пространство Минковского

Важные задачи и методы

Приведение квадратичных функционалов к диагональному виду

Аппроксимация функций многочленами

Алгебра тензоров

Функциональный анализ

Унитарное пространство – линейное (векторное) пространство над полем комплексных чисел со скалярным произведением, для которого работают следующие аксиомы:

$\langle a|b \rangle = \langle b|a \rangle^*$
$\langle \lambda a| b \rangle = \lambda^* \langle b|a \rangle$
$\langle a_1+a_2|b \rangle = \langle a_1 |b \rangle + \langle a_2|b \rangle$
$\langle a|a \rangle = r \ge 0$ (вещественное)

⚠ используются дираковские скобки (bra-ket нотация)

Специальные виды операторов

Эрмитов оператор
aka самосопряжённый оператор

$\hat A = \hat A^{+} $

Унитарный оператор

\[ \hat A \hat A^* = \hat A^*\hat A = \hat I \]

Свойства

$ \langle \hat A a| \hat A b \rangle = \langle a | b \rangle $

$\langle \hat A a|b \rangle = \langle a | \hat A^{+} b \rangle $

Собственные значения
Вещественные числа

Собственные векторы
Ортогональны

Можно составить ортонормированный базис из собственных векторов

⚠ В оротонормированном базисе матрица эрмитова

Эрмитова матрица

Теорема
Об общих собственных векторах

У $\hat A$ и $\hat B$ есть общие собственные векторы, если $\hat A \hat B = \hat B \hat A $ (коммутируют).

Теорема
О Вырождении

Если $\hat A$ коммутирует с $\hat B$ и $\hat C$, а $\hat B$ и $\hat C$ между собой не коммутируют, то собственные значения $\hat A$ вырожденные.

Эрмитов функционал
aka Эрмитова форма

$\Phi(x)=\langle x | \hat A x \rangle $

Среднее значение эрмитова оператора по $a$
$\overline{(\hat A_a)}=\langle a | \hat A a \rangle $

⚠ среднее – вещественное

Дисперсия значения эрмитова оператора

$D_a \hat A = \overline{\left(\hat A^2\right)_a} - \left(\overline{\hat A_a}\right)^2$

Если $a$ – нормированный собственный вектор с собственным числом $\lambda$, то

$\overline{(\hat A_a)} = \lambda $

Теорема
О дисперсии по нормированному собственному вектору

Дисперсия по нормированному собственному вектору $D_a \hat A = 0$

Теорема
О соотношении неопределенностей

$D_a \hat A D_a \hat B \ge \frac{1}{4} \left| \overline{ \left( \hat A \hat B - \hat B \hat A \right)_a} \right|^2$

создание математических моделей и сопоставление их с реальностью

Теория поля

Классическая теория поля

Квантовая теория поля