Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

Theoretical Physics (Математические методы (Алгебра (Линейная алгебра, …

- - - - Алгебра векторов
      - Алгебра матриц
      - :warning: Что изучает?
        Операции над линейными объектами
      - :eye:
        Пространства
        
        Линейное пространство
        :memo: Обозначается: \(\Lambda^n\)
        Линейное пространство aka Векторное пространство – множество, между элементами которого:
        
        Есть операция сравнения на равенство между \(a\) и \(b\)
        
        Есть процедура сопоставления двум элементам третьего (сумма): \(c = a + b\) :warning: аксиомы!
        
        Есть процедура сопоставления элементу другого через число: \(c = \lambda a \) :warning: аксиомы!
        
        Дистрибутивность суммы и умножения на число:
        4.1. \((\lambda + \mu)a = \lambda a + \mu a \);
        4.2. \(\lambda (a + b) = \lambda a + \lambda b \)
        
        Аксиомы умножения на число
        
        Единичный элемент: \(1a = a\)
        
        Ассоциативность: \(\lambda \mu a = \lambda (\mu a)\)
        
        Аксиомы суммы
        
        \(a + b = b + a\) (коммутативность)
        
        \(a + (b + c) = (a + b) + c\) (ассоциативность)
        
        Нулевой элемент: \(a + 0 = a\)
        
        Есть противоположные элементы: \(a + (-a) = 0\)
        
        Линейная комбинация – комбинация элементов пространства вида
        \[\sum_{i=1}^{n} \lambda_i a_i\]
        
        Линейно зависимые
        \[\sum_{i=1}^{n} \lambda_i a_i = 0\]
        :warning: Важно: \(\lambda_i \neq 0\)
        
        Линейно независимые
        \[\sum_{i=1}^{n} \lambda_i a_i \neq 0 \]
        :warning: Важно: кроме \(\lambda_i = 0\)
        
        Безис – упорядоченный набор элементов множества
        
        Лениейно независимы
        
        Если добавить еще элемент,то он будет линейно зависим
        
        :warning: Важно: в \(\Lambda^n\) базис может быть выбран не единственным образом!
        Определение линейной независимости
        
        Размерность пространства – количество элементов в базисе
        :memo: Обозначается: \(\Lambda^n\), где \(n\) – размерность
        
        Теорема
        О единственности разложения в базис
        Для каждого элемента пространства существует единственное представление в виде линейной комбинации базисных элементов
        Определение линейной зависимости
        
        Координаты – компоненты (\(\lambda_i\)) разложения по базису
        
        Теорема
        О переходе от одного базиса к другому
        Старый базис: \(\{x_1, x_2, \ldots, x_n\}\)
        Новый базис: \(\{y_1, y_2, \ldots, y_n\}\)
        Разложение в старом базисе: \(a = \sum_{i=1}^n \alpha_i x_i\)
        Разложение в новом базисе: \(a = \sum_{i=1}^n \beta_i y_i\)
        Переход: \[\alpha_i = \sum_{j=1}^n \sigma_{ij}\beta_j \]
        \(\sigma_{ij}\) – элементы матрицы перехода \(\mathbf{S}\)
        
        Матрица обратного перехода:
        \(\mathbf{T} = \mathbf{S}^{-1}\)
        
        Изоморфизм – отображение \(\hat F: \Lambda_1 \to \Lambda_2\) такое, что:
        
        \(\hat F(x+y) = \hat F(x) + \hat F(y)\)
        
        \(\hat F(\lambda x) = \lambda \hat F(x)\)
        
        Если так, тогда пространства \(\Lambda_1\) и \(\Lambda_2\) – изоморфны
        :warning: Важно: размерности \(\Lambda_1\) и \(\Lambda_2\) совпадают!
        
        Особые виды линейных пространств
        
        Евклидовом пространство – линейное (векторное) пространство над полем вещественных чисел со скалярным произведением
        
        Пространство Минковского
        
        Унитарное пространство – линейное (векторное) пространство над полем комплексных чисел со скалярным произведением, для которого работают следующие аксиомы:
        
        \(\langle a|b \rangle = \langle b|a \rangle^*\)
        
        \(\langle \lambda a| b \rangle = \lambda^* \langle b|a \rangle\)
        
        \(\langle a_1+a_2|b \rangle = \langle a_1 |b \rangle + \langle a_2|b \rangle\)
        
        \(\langle a|a \rangle = r \ge 0\) (вещественное)
        
        :warning: используются дираковские скобки (bra-ket нотация)
        
        Специальные виды операторов
        
        Эрмитов оператор
        aka самосопряжённый оператор
        \(\hat A = \hat A^{+} \)
        
        2 more items...
        
        Унитарный оператор
        \[ \hat A \hat A^* = \hat A^*\hat A = \hat I \]
        
        1 more item...
        
        :warning: Что изучает?
        Общие зависимости между элементами множеств
        
        Оператор
        :memo: Обозначается: \(\hat A\)
        Оператор – сопоставления элементов из простраства \(\Lambda\) в элементы пространства \(\Lambda'\).
        :memo: Отображение обозначают так: \(y = \hat A x\)
        \(x\) – прообраз \(y\)
        \(y\) – образ \(x\)
        
        Виды операторов
        
        Отображение – такой оператор, что \(\Lambda' \not\subset \Lambda\)
        
        Типы линейных отображений
        
        Инъекция
        Элементы \(\Lambda_1\) всегда отображаются в разные элементы \(\Lambda_2\)
        
        Сюръекция
        У каждого элемента в \(\Lambda_2\) есть прообраз в \(\Lambda_1\)
        
        Биекция
        У каждого элемента \(\Lambda_1\) есть один элемент в \(\Lambda_2\) и наоборот
        
        Преобразование – такой оператор, что \(\Lambda' \subseteq \Lambda\)
        
        Операции с операторами
        
        Произведение
        
        Коммутатор
        
        Сумма
        
        Характеристики оператора
        
        Ранг
        
        Ядро
        
        Собственные значения
        
        Особые виды операторов
        
        Функционал – оператор, множество значений которого есть множество вещественных чисел
        
        Линейный функционал
        
        Билинейный функционал
        
        Полилинейные функционалы
      - Важные задачи и методы
        
        Приведение квадратичных функционалов к диагональному виду
        
        Аппроксимация функций многочленами
      - Алгебра тензоров