Система взаимодействующих материальных точек (замкнутая система)
\[L = \sum_{\alpha = 1}^{N} \frac{m_\alpha}{2} v_\alpha^2 - U(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N) = T(v^2) - U(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N)\]
\(U(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N)\) – потенциальная энергия (определена с точностью до постоянной)
\(T(v^2)\) – кинетическая энергия
:warning: не работает в случае неинерциальных систем, наличии трения, теор. относительности, магнитного поля
В обобщенных координатах
\[L = \sum_{i, k} \alpha_{ik} \dot q_i \dot q_k - U(q) \]
Система взаимодействующих материальных точек (незамкнутая система) aka взаимодействие с внешним полем
Рассматривается система состоящая из двух подсистем, одна из которых – исследуемая система (A), а другая определяет внешнее воздействие (B) aka поле.
\[L_{A+B} = T_A(q_A, \dot q_A) + T_B (q_B, \dot q_B) - U_{AB}(q_A, q_B)\]
Если \(q_B = f(t)\), то
\[L_{A+B} = T_A(q_A, \dot q_A) - U_{AB}(q_A, q_B(t))\]
Уравнение Ньютона
\[\underbrace{-\frac{\partial U}{\partial r_\alpha}}_{F_\alpha} = m\frac{d v_\alpha}{dt}\]
\(F_\alpha\) – сила, действующая на \(\alpha \)-точку.