Классическая механика
⚠ Что изучает?
Движение
Формализм Лагранжа
Описание механической системы с помощью q и ˙q
Нет диссипативных сил
Формализм Гамильтона
Описание механической системы с помощью \(q\) и \(p\)
Специальные системы
Относительность
Механическое состояние
Полностью определяется набором параметров aka степеней свободны:
- Координаты
- Скорости по каждой координате
Тело (совокупности материальных точек)
Материальная точка aka частица – тело, размерами которого можно пренебречь при описании его движения
Принцип наименьшего действия aka Принцип Гамильтона
От точки 1 к точке 2 система движится таким образом , что действие \(S\) минимально.
Функция Гамильтона
\[H(p,q,t) = \sum_i p_i \dot q_i - L\]
Специальные обозначения
Теорема Лиувилля
\[\int \; d\Gamma = \text{const}\]
Действие
\[S=\int_{t_1}^{t_2} \left[ \sum_i p_i \dot q_i - H(p,q,t) \right] dt\]
Система отсчета
Тело отсчета + координатная система + время
⚠ Важно выбирать так систему отсчета, чтобы законы природы выглядели просто
Твердые тела – система материальных точек, расстояние между которыми не изменяется.
Виды систем координат
Маятник
Виды наложенных связей
Уравнение движения
описывает динамику (движение) механической системы
\[F(q,\dot q, \ddot q, t) = 0\]
Действие
📝 Обозначается: \(S\)
🌡 Размерность: Дж\(\cdot\)c (СИ), эрг \(\cdot\) c (СГС)
📖: Определение:
\[S = \int_{t_1}^{t_2} L(q, \dot q, t) \; dt\]
Функция Лагранжа
📝 Обозначается: \(L\)
🌡 Размерность: Дж (СИ), эрг (СГС)
📖: Определение: см. действие
Определение
Кинематика тверого тела
Криволинейные системы
Скобки Пуассона
\[\lbrace f, g\rbrace = \sum_k \left(\frac{\partial f}{\partial p_k}\frac{\partial g}{\partial q_k} - \frac{\partial f}{\partial q_k} \frac{\partial g}{\partial p_k}\right)\]
Декартова
Адиабатические инварианты – функции \(f(q, \dot q, \lambda)\), которые сохраняются при движении системы с адиабатическим изменением параметров
\[I_k = \frac{1}{2\pi} \oint p_k\; dq_k\]
⚠ Их не более степеней свободы
👀 Геометрия: площадь заключенную внутри кривой в фазовом пространстве
Система отсчета
Голономные aka геометрические
\[f(q,t) = 0\]
Уравнение Гамильтона-Якоби
\[\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(q,\frac{\partial S}{\partial q}, t\right) = 0\]
⚠ нелинейное уравнение с частными производными
Для консервативных систем
(со стационарными связями)
справедливо \(H=E=\text{const}\)
\[S=\int_{t_1}^{t_2} \left[ \sum_i p_i \dot q_i - Et \right] dt\]
Дифференциал действия
\[dS=\sum_i p_i dq_i - H dt\]
Уравнения Гамильтона aka канонические уравнения – уравнения движения
\[\dot q_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}\]
\[\dot p_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i}\]
⚠ Важно: Два уравнение первого порядка.
⁉ получено с помощью преобразования Лежандра
Ограничения на возможные траектории движения
Инерциальная система отсчета
Система отсчет, в которой:
- Пространство однородно
- Пространство изотропно
- Время однородно
Кинематические aka неголономные aka дифференциальные
\[f(q, \dot q, t) = 0\]
Основная задача механики
- Найти уравнение движения для механической системы
- Интегрировать уравнение движения механической системы
Уравнение Эйлера-Лагранжа – уравнение движения механической системы для \(i\)-ой степени свободы:
\[\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = 0\]
⚠ Важно: Уравнение второго порядка для \(q(t)\).
⚠ Важно: Уравнение инварианты замене координат.
⚠ Важно: каждое уравнение дает решение с 2-мя произвольными const \(\to\) надо начальное условие!
Уравнение Эйлера-Лагранжа в вариационном исчислении
Уравнение движения
Особые типы
Бесконечно малое смещение
\[d\mathbf{\mathtt{r}} = d\mathbf{R} + [d\mathbf{\phi} \cdot \mathbf{r}]\]
здесь \(d\mathbf{R}\) – перемещение радиус-вектора
Тензор инерции тела
📝 Обозначается: \(I_{ik}\)
📖: Определение:
\(I_{ik} = \sum m (x_l^2 \delta_{ik}-x_i x_k)\)
Общая формулировка механики
\[\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \lbrace H,f \rbrace\]
Эйлеровы углы – углы, характеризующие ориентацию движущиеся системы координат относительно неподвижной.
Углы: \(\phi, \psi, \theta\)
Ортогональные криволинейные системы
Период
\[T=2\pi \frac{\partial I_k}{\partial E}\]
Особые случаи
Уравнение движения
Для полного импульса и полной силы:
\(\frac{dP}{dt}=F\)
Для момента и суммы моментов сил
\(\frac{dM}{dt}=K\)
где \(K=\sum[rf]\)
Связь с уравнениями Гамильтона
Уравнения Гамильтона являются уравнениями характеристик для уравнения Гамильтона-Якоби
Свойства
Адиабатическое изменение
(ἀδιάβατος — «непроходимый»)
Медленное изменение параметра системы (которая колеблется с период \(T\)) под действием внешней причины.
Условие медленности:
\[T\frac{d \lambda}{dt} \ll \lambda\]
Особые случаи
Свойства
Зависимость от параметра \(\lambda\)
\[\left(\frac{\partial H}{\partial \lambda}\right)_{p, q} = - \left(\frac{\partial L}{\partial \lambda}\right)_{q, \dot q} \]
Укороченное действие
\[S_0=\int_A^B \sum_i p_i dq_i \]
⚠ Особенность: зависит только от координат
Если действуют непотенциальные силы, то надо прибавить соответствующие обобщенные силы.
Среднее скорость изменения
\[\overline{\frac{dI}{dt}} = 0\]
Интегрирование
Особые случаи
Однородность пространства
Можно перенести систему из точки 1 в точку 2 и законы не изменятся
Закон инерции
\[\mathbf{v} = \text{const}\]
⁉ получается из свойств функции Лагранжа для инерциальных систем отсчета: подставить явно в уравнение Эйлера-Лагранжа
Для инерциальных систем отсчета функция Лагранжа зависит только от квадрата скорости
Однородность времени
Изотропность пространства
Можно повернуть систему на угол и законы не изменятся
Принцип относительности Галилея
Существует бесконечное количество инерциальных систем отсчета. Движутся относительно друг друга:
- Прямолинейно
- Равномерно
Цилиндрическая
\(x=r\cos(\phi)\)
\(y=r\sin(\phi)\)
\(z=z\)
Полярная
\(x=r\cos(\phi)\)
\(y=r\sin(\phi)\)
Сферическая
\(x=r\sin(\theta)\sin(\phi)\)
\(y=r\sin(\theta)\cos(\phi)\)
\(z=r\cos(\theta)\)
Уравнения Эйлера
характеризует вращение тела в подвижной системе координат
\(I_1 \frac{d\Omega_1}{dt} + (I_3-I_2) \Omega_2 \Omega_3 = K_1\)
\(I_2 \frac{d\Omega_2}{dt} + (I_1-I_3) \Omega_3 \Omega_1 = K_2\)
\(I_3 \frac{d\Omega_3}{dt} + (I_2-I_1) \Omega_1 \Omega_2 = K_3\)
Угловая скорость
\[\mathbf{v} = \mathbf{V} + [\mathbf{\Omega} \cdot \mathbf{r}]\]
здесь \(v\) – скорость поступательного движения
здесь \(\Omega\) – угловая скорость
⁉ если разделить бесконечное малое смещение на \(dt\)
Свойства
Гармонический одномерный осциллятор
\[I=\frac{E}{\omega}\]
⁉ из закона сохранения \(H=E\) записывается уравнение эллипса, откуда находится площадь \(I=S=\pi a b\) (полуоси)
Тождество Якоби
\( \lbrace f, \lbrace g, h \rbrace \rbrace + \lbrace g, \lbrace h, f \rbrace \rbrace + \lbrace h, \lbrace f, g \rbrace \rbrace = 0\)
\( \lbrace f, c \rbrace = 0 \), где \( c\) – const
Для \(p\)
\[ \lbrace f, p_k \rbrace = -\frac{\partial f }{\partial q_k}\]
Связь с другими величинами
Главные моменты инерции
📝 Обозначается: \(I_1, I_2, I_3\)
Диагональные компоненты тензора после приведения к диагональному виду
\( \lbrace f_1 f_2, g \rbrace = f_1\lbrace f_2, g \rbrace + f_2 \lbrace f_1, g \rbrace\)
Теорема Пуассона
\[ \lbrace f, g \rbrace = \text{const} \] если \( f\) и \( g\) – интегралы движения
\( \lbrace f_1 + f_2, g \rbrace = \lbrace f_1, g \rbrace + \lbrace f_2, g \rbrace\)
Для \(q\)
\[ \lbrace f, q_k \rbrace = \frac{\partial f }{\partial p_k}\]
\[ \lbrace f, g \rbrace = - \lbrace g, f \rbrace \]
Принцип Мопертюи
Коэффициенты Ламэ
\(h_i = \sqrt{g_{ii}}\)
здесь
\(g_{ik} = e_i \cdot e_k = \frac{\partial x^k}{\xi^i}\frac{\partial x^k}{\xi^j}\)
Неточность
Определена с точностью до добавки в виде \(\frac{df(q,t)}{dt}\)
В инерциальных системах отсчета
Инерциальная система отсчета
\( \frac{\partial}{\partial t} \lbrace f, g \rbrace = \lbrace \frac{\partial f}{\partial t} , g \rbrace + \lbrace f, \frac{\partial g}{\partial t} \rbrace\)
Асимптотическая аддитивность
Если система состоит из независимых (не взаимодействующих) подсистем A и B, то
\[L_{AB} = L_A + L_B\]
⚠ Важно: свойство ограничивает произвольность выбора масштабного коэффициента функции Лагранжа (выбирают \(k=1\))
Для циклических координат
Для \(q_i\) циклической координаты:
\[\frac{\partial H}{\partial q_i} = 0\]
Решение:
\(p_i=\alpha_i\)
\(q_i=\beta_i t + C_i\)
⚠ Интегрирование уравнения Гамильтона можно заменить задачей поиска циклических координат
Преобразование Галилея (в узком смысле)
Для координаты:
\[
\mathbf{r} = \mathbf{r}' + \mathbf{V} t
\]
Для времени:
\[
t = t'
\]
Функция Рауса
Кинетическая энергия
\(T = \frac{1}{2} I_{ik}\Omega_i\Omega_k\)
Момент импульса
\(M_{i} = I_{ik}\Omega_k\)
Свойства
Аддитивен
Для всего тела равен сумме для подчастей
Симметричный
\(I_{ik} = I_{ki}\)
\[ \lbrace p_i, p_k \rbrace = 0\]
\[ \lbrace q_i, q_k \rbrace = 0\]
Свойства
Классификация тел
по главным моментам инерции
Инвариантность направлению вектора скорости
Зависит от скорости, но от абсолютной величины (от квадрата скорости)
⚠ следствие изотропии пространства
Инвариантность радиус-вектору
Не содержит радиус-вектор
⚠ следствие однородности пространства
Преобразования Галилея (в широком смысле)
Для координаты:
\[
\mathbf{r} = \mathbf{r}' + \mathbf{V} t
\]
Для времени:
\[
t = t' + \tau
\]
Для поворота осей:
\[
r_\alpha = С_{\alpha\alpha'} r_{\alpha'}
\]
Особые механические системы
Инвариантность времени
Не содержит времени
⚠ следствие однородности времени
Канонические преобразования – преобразования канонических переменных:
\[q \to Q(p,q), \; p \to P(p,q)\]
которое сохраняет свойства скобок Пуассона для \(p,q\).
\( \lbrace p_i, q_k \rbrace = \delta_{ik}\), \( \lbrace p_i, p_k \rbrace = 0\), \( \lbrace q_i, q_k \rbrace = 0\)
Интегралы движения – функции от \(q\) и \(\dot q\),
которые сохраняются при движении (зависят только от начальных условий).
Закон сложения скоростей
\[ \mathbf{v} = \mathbf{v}' + \mathbf{V} \]
Циклическая координата – та, которая явно не входит в функцию Гамильтона
Универсальность угловой скорости
Угловая скорость не зависит от системы координат
\(\mathbf{\Omega}' = \mathbf{\Omega}\)
\(\mathbf{V}' = \mathbf{V} + [\mathbf{\Omega} \cdot \mathbf{a}]\)
Можно обнулить скорость поступательного движения выбрав точку начала отсчета \(O'\)
\[ \lbrace p_i, q_k \rbrace = \delta_{ik}\]
click to edit
Свободная материальная точка
\[L = \alpha v^2 = \frac{m}{2} v^2\]
\(m\) – масса частицы
⁉ получается из требования инвариантности инерциальным системам отсчета
Система материальных точек
Асимметричный волчок
\(I_1 \neq I_2 \neq I_3\)
\(I_i + I_j \ge I_k\)
Симметричный волчок
\(I_1 =I_2 \neq I_3\)
Шаровой волчок
\(I_1 =I_2 = I_3\)
Законы сохранения
(для замкнутых систем)
⚠ Аддитивные интегралы движения
Универсальность ускорения
\[
\mathbf{a} = \mathbf{a}'
\]
Производящая функция \(F(q,Q,t)\)
характеризует каноническое преобразование
\(dF= \sum_ip_i dq_i - \sum_i P_i dQ_i + (H'-H)\;dt\)
Свойства
⚠ Движение – каноническое преобразование
Для разных систем координат
Мгновенная ось вращения – ось, так подобранная, что тело при движении совершает только вращение вокруг нее.
Следствие: \(m \ge 0\)
⁉ для отрицательной массы действие не имело бы минимума
Энергия
(однородность времени)
🌡 Размерность: Дж (СИ), эрг (СГС)
\(\frac{d}{dt} \underbrace{ \left(\sum_i \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-L\right)}_{E} = 0\)
Момент aka момент импульса
(изотропность пространства)
🌡 Размерность: кг м^2/с (СИ), г см^2/с (СГС)
\(\frac{d}{dt} \underbrace{\sum_i [r_i p_i]}_{M} = 0\)
Импульс
(однородность пространства)
🌡 Размерность: кг м/с (СИ), г см/с (СГС)
\(\frac{d}{dt} \underbrace{\sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}}_{P} = 0\)
Система взаимодействующих материальных точек (замкнутая система)
\[L = \sum_{\alpha = 1}^{N} \frac{m_\alpha}{2} v_\alpha^2 - U(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N) = T(v^2) - U(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N)\]
\(U(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N)\) – потенциальная энергия (определена с точностью до постоянной)
\(T(v^2)\) – кинетическая энергия
⚠ не работает в случае неинерциальных систем, наличии трения, теор. относительности, магнитного поля
Система невзаимодействующих материальных точек
\[L = \sum_{\alpha = 1}^{N} \frac{m_\alpha}{2} v_\alpha^2\]
⚠ мультипликативный коэффициент меняет единицу измерения массы, поэтому он выбран 1
Теорема Неттер
Производящая функция \(\Phi(q,P,t)\)
характеризует каноническое преобразование
\(d\Phi = \sum_i p_i dq_i - \sum_i Q_i dP_i + (H'-H)\;dt\)
Сохраняют элемент фазового объема
Сохраняют интеграл
Декартова система
\[L = \frac{m}{2} \left( \dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2\right)\]
Сферическая система
\[L = \frac{m}{2} \left( \dot r^2 + r^2 \dot \theta^2 + r^2\dot \phi^2\right)\]
Цилиндрическая система
\[L = \frac{m}{2} \left( \dot r^2 + r^2 \dot \phi^2 + \dot z^2\right)\]
В обобщенных координатах
\[L = \sum_{i, k} \alpha_{ik} \dot q_i \dot q_k - U(q) \]
Система взаимодействующих материальных точек (незамкнутая система) aka взаимодействие с внешним полем
Рассматривается система состоящая из двух подсистем, одна из которых – исследуемая система (A), а другая определяет внешнее воздействие (B) aka поле.
\[L_{A+B} = T_A(q_A, \dot q_A) + T_B (q_B, \dot q_B) - U_{AB}(q_A, q_B)\]
Если \(q_B = f(t)\), то
\[L_{A+B} = T_A(q_A, \dot q_A) - U_{AB}(q_A, q_B(t))\]
Уравнение Ньютона
\[\underbrace{-\frac{\partial U}{\partial r_\alpha}}_{F_\alpha} = m\frac{d v_\alpha}{dt}\]
\(F_\alpha\) – сила, действующая на \(\alpha \)-точку.
Консервативные системы – системы,
для которых сохраняется энергия
\[T+U = \text{const}\]
⚠ остальные законы сохранения могут не выполняться
Обобщенная сила
🌡 Размерность: ньютон (СИ), дина (СГС)
\(\frac{\partial L}{\partial q_i} = F_i\)
Уравнение Лагранжа
через импульс и силу
\(\dot p_i = F_i\)
Свойства
Зависимость от системы отсчета
\(p=p'+v\sum_i m_i\)
Центр инерции
\(R = \frac{\sum_i m_i r_i}{\sum_i m_i}\)
⚠ Удобно пользоваться такой системой отсчета, в которой центр инерции покоится (убирается из рассмотрения движение всей системы).
Внутренняя энергия тела – энергия покоящегося как целого тела, включающую в себя кинетическую энергию частиц + потенциальную энергию их взаимодействия.
Сохранение в симметрчиных полях
- Проекция момента на ось, относительно которой поле симметрично, сохраняется.
Особые случаи
Шаровой волчок
\(M=\text{const} \to \Omega=\text{const}\)
Вращение с постоянной угловой скоростью
Ротатор
Ротатор
Симметричный волчок
\(\Omega_3 = \frac{M_3}{I_3} \cos(\theta)\)
Регулярная прецессия волчка
\(\Omega_{\text{p}}=\frac{M}{I_1}\)
\(K=\sum[r_0 F]\)
Радиус-вектор (определяется свойствами тела)
\(r_0 = \frac{\sum_i e_i r_i}{\sum_i e_i}\)
Связь с компонентами угловой скорости
\(\Omega_1 = \dot \phi \sin(\theta)\sin(\psi) + \dot \theta \cos(\psi)\)
\(\Omega_2 = \dot \phi \sin(\theta)\cos(\psi) - \dot \theta \sin(\psi)\)
\(\Omega_3 = \dot \phi \cos(\theta) + \dot \psi\)
Неинерциальные системы отсчета
Ускорение неинерциальной системы проявляется в виде дополнительной силы, действующей на частицу в неинерциальной системе отсчета
Функция Лагранжа
Ускорение
\(L'=\frac{m\mathbf{v}'^2}{2}+m\frac{d\mathbf{V}}{dt}-U\)
здесь:
\(\mathbf{v}'\) – скорость движения относительно неинерциальной системы отсчета
\(\mathbf{V}(t)\) – скорость неинерциальной системы отсчета
Вращение
\(L'=\frac{m\mathbf{v}'^2}{2}+m\frac{d\mathbf{V}}{dt}+mv[\Omega r] +\frac{m}{2}[\Omega r]^2-U\)
Сила Кориолиса
\(F = 2m[v\Omega]\)
Центробежная сила
\(F=m[\Omega[r \Omega]]\)
Типы колебаний
Малые колебания
Колебания без затухания
Затухающие колебания
Резонанс
Параметрический резонанс
Резонанс в нелинейных колебаниях
Ангармонические колебания aka нелинейные колебания
Учет более высоких членов разложения в ряд по малым отклонениям от положения с минимумом потенциальной энергии
Основные понятия
Частота
Период
Одномерные колебания
Свободные одномерные колебания
Вывод системы из состояния с наименьшей потенциальной энергией.
Кинетическая энергия
\[T(x)=\frac{a(x)\dot x^2}{2}\]
Функция Лагранжа
\[L=T-U=\frac{a(x)\dot x^2}{2}-\frac{kx^2}{2}\]
Потенциальная энергия
\[U(x)=\frac{kx^2}{2}\]
⁉ Если потребовать малость отклонения и разложить в ряд по \(x=r-r_0\).
Уравнение движения
\[a(x)\ddot x+kx = 0\]
или
\[\ddot x+\omega^2 x = 0\]
Обозначение: \(\omega^2 = \frac{k}{a(x)}\).
Решение уравнения движения
\[x = A \cos(\omega t + \phi )\]
где \(A\) – амплитуду, \(\phi\) – начальная фаза, \(\omega\) – циклическая частота.
Энергия системы
\[E=\frac{a(x)\dot x^2}{2}+\frac{kx^2}{2} =\frac{a(x)}{2} \left(\dot x^2+\omega^2 x^2\right) \]
Метод комплексной асплитуды
\[x = \Re(A e^{i \omega t})\]
Вынужденные
На систему действует внешнее переменное поле (слабое, так как малые колебания)
Функция Лагранжа
\[L=T-U=\frac{a(x)\dot x^2}{2}-\frac{kx^2}{2} + xF(t)\]
⁉ Разложение по степеням \(x\), опуская нулевой член (так как полный дифференциал времени)
Уравнение движения
\[a(x)\ddot x+kx = F(t)\]
или
\[\ddot x+\omega^2 x = \frac{1}{a(x)}F(t)\]
Обозначение: \(\omega^2 = \frac{k}{a(x)}\).
Гармоническое воздействие
Воздействие:
\[F(t) = f \cos(\gamma t + \beta )\]
\[x = A \cos(\omega t + \phi ) + \frac{f}{a(x)(\omega^2 - \gamma^2)} \cos(\gamma t + \beta)\]
⚠ решение неприменимо при резонансе
Колебания с многими степенями свободны
Функция Лагранжа
\[L=\sum_i\sum_k\frac{\mu_{ik}(x)\dot x_i \dot x_k}{2}-\frac{k_{ik}x_ix_k}{2}\]
Уравнение движения (уравнение Лагранжа)
Система уровнений, для \(i\)-ой:
\[\sum_k \mu_{ik}(x) \ddot x_k + \sum_k k_{ik} x_k = 0\]
Резонанс – когда \(\gamma \to \omega\)
Решение в случае резонанса (при малых колебаниях)
Амплитуда при резонансе растет линейно:
\[x = A \cos(\omega t + \phi ) + \frac{f}{2a(x)\omega} t \sin(\omega t + \beta)\]
⚠ малые колебания вблизи резонна представляют собой биения
Произвольное воздействие
Вводя переменную
\(\xi = \dot x + i \omega x\)
уравнение движения:
\(\frac{d \xi}{d t} - i \omega x = \frac{1}{a(x)} F(t)\)
Общее решение
\(\xi = e^{i \omega t} \left( \int_0^t \frac{1}{a(x)}F(t)e^{-i\omega t}\; dt + \xi_0\right)\)
Энергия передаваемая системе источником
\[E=\frac{1}{2a(x)} \left| \int_{-\infty}^{\infty} F(t) e^{-i \omega t}\; dt\right|^2 \]
⚠ полная энергия системы не сохраняется!
Решение
- Ищем в виде \(x_k=A_k e^{i\omega t}\)
- Ограничение на \(A_k\) дается выражением:
\( \sum_k (-\omega^2\mu_{ik}(x)+k_{ik} )A_k = 0\)
с характеристическим уравнением (отличный от нуля определитель):
\(|k_{ik} - \omega^2 \mu_{ik}(x)|=0\)
дающим решение в виде \(\omega_{\alpha}\) (собственные частоты)
⚠ количество решений равно количеству степеней свободы
⚠ \( \omega_{\alpha} \) – положительная и вещественная (мнимость привела бы к нарушению закона сохранения энергии)
Решение:
\(x_k=\Delta_{k\alpha} C_{\alpha} e^{i\omega_{\alpha} t}\)
здесь \(\Delta_{k\alpha} \) – минор характеристического уравнения
\(x_k=\Re( \sum_k \Delta_{k\alpha} C_{\alpha} e^{i\omega_{\alpha} t}) = \sum_\alpha^s \Delta_{k\alpha} \Theta_{\alpha}\)
Смысл решения
Колебание по \(k\)-ой координате системы есть наложение \(s\) (количество степеней свободы) периодических колебаний \(\Theta_{\alpha}\) с произвольными амплитудами и фазами, но с фиксированными частотами.
Нормальные колебания системы –
периодические колебания системы \(\Theta_{\alpha}\).
⚠ представляют собой нормальные координаты для уравнения движения (множество независимых уравнений)
Уравнение для нормальных колебаний
\(\ddot \Theta_{\alpha} + \omega_{\alpha}^2 \Theta_{\alpha} = 0\)
Функция Лагранжа в нормальных координатах
\(L=\sum_{\alpha} \frac{\mu_{\alpha}(x)}{2} (\dot \Theta_{\alpha}^2-\omega_{\alpha}^2 \Theta_{\alpha}^2)\)
или при \(Q=\sqrt{\mu_{\alpha}(x)} \Theta\)
\(L=\frac{1}{2}\sum_{\alpha} (\dot Q_{\alpha}^2-\omega_{\alpha}^2 Q_{\alpha}^2)\)
Одномерные колебания
Добавляется воздействие силы трения \(F= -\alpha \dot x\)
Пропорционально скорости так как на покоящееся тело сила трения не действует. Поэтому при разложении силы нулевой член равен нулю.
Свободные
Уравнение движения
\[a(x)\ddot x + 2\lambda \dot x+\omega_0^2x = 0\]
здесь \(\lambda\) – коэффициент затухания,\(\frac{\alpha}{\mu(x)} = 2 \lambda\)
Решение
\(x = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}\)
\(r_{1,2} = - \lambda \pm \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}\)
Особые случаи
\(\lambda \ll \omega_0\)
⚠ энергия убывает экспоненциально
\(\lambda > \omega_0\)
апериодическое затухание
\(x = с_1 e^{-\left(\lambda - \sqrt{\lambda^2 - \omega^2_0}\right)t} + с_2 e^{-\left(\lambda + \sqrt{\lambda^2 - \omega^2_0}\right)t} \)
\(\lambda = \omega_0\)
апериодическое затухание (особый случай)
\(x = (c_1 + c_2 t) e^{-\lambda t}\)
Колебания с многими степенями свободны
Сила трения:
\(f_i = - \sum_k \alpha_{ik}\dot x_k\)
Диссипативная функция
Определяет интенсивность диссипации энергии в системе
\(F=\frac{1}{2} \sum_{i,k} \alpha_{ik} \dot x_i \dot x_k\)
Сила трения через диссипативную функцию
\(f_i = -\frac{\partial F}{\partial \dot x_i}\)
Убыль энергии в системе
\(\frac{dE}{dt} = -2F\)
Решение
- Ищем в виде \(x_k=A_k e^{irt}\)
- Ограничение на \(A_k\) дается выражением:
\( \sum_k (-r^2\mu_{ik}(x)+\alpha_{ik}r+k_{ik} )A_k = 0\)
с характеристическим уравнением (отличный от нуля определитель):
\(|r^2 \mu_{ik}(x) + \alpha_{ik}r + k_{ik} |=0\)
дающим решение в виде \(r_{\alpha}\)
Вынужденные
\(\lambda < \omega_0\)
затухающие колебания
\(x = ae^{-\lambda t} \cos(\omega t + \alpha)\)
\(\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \lambda^2}\)
Уравнение движения
\[\ddot x+ 2\lambda \dot x+\omega^2 x = \frac{1}{\mu(x)}F(t)\]
Обозначение: \(\omega^2 = \frac{k}{\mu(x)}\).
Гармоническое воздействие
для случая \(\omega_0 > \lambda\)
\(x=ae^{-\lambda t} \cos(\omega t + \alpha) + b \cos(\gamma t + \delta)\)
где
\(b=\frac{f}{\mu(x) \sqrt{(\omega_0^2-\gamma^2)^2 + 4\lambda^2\gamma^2}}\)
\(\mathrm{tg}(\delta) = \frac{2\lambda \gamma}{\gamma^2 - \omega_0^2}\)
Поглощаемая энергия
\(I(\gamma)=\lambda \mu b^2\gamma^2\)
Дисперсионная зависимость
(около резонанса)
\(I(\epsilon)=\frac{f^2}{4\mu} \frac{\lambda}{\epsilon^2 + \lambda^2}\)
здесь \(\epsilon\) – частота, малое отклонение от резонансной частоты
Комбинационные частоты
На нормальные колебания системы накладываются комбинационные частоты