Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

Классическая механика (Формализм Гамильтона Описание механической…

- - - - Уравнение Эйлера-Лагранжа – уравнение движения механической системы для \(i\)-ой степени свободы:
        \[\frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} = 0\]
        :warning: Важно: Уравнение второго порядка для \(q(t)\).
        :warning: Важно: Уравнение инварианты замене координат.
        :warning: Важно: каждое уравнение дает решение с 2-мя произвольными const \(\to\) надо начальное условие!
        Уравнение Эйлера-Лагранжа в вариационном исчислении
        Уравнение движения
    - - Свойства
        
        Неточность
        Определена с точностью до добавки в виде \(\frac{df(q,t)}{dt}\)
        
        В инерциальных системах отсчета
        Инерциальная система отсчета
        
        Инвариантность направлению вектора скорости
        Зависит от скорости, но от абсолютной величины (от квадрата скорости)
        :warning: следствие изотропии пространства
        
        Инвариантность радиус-вектору
        Не содержит радиус-вектор
        :warning: следствие однородности пространства
        
        Особые механические системы
        
        Свободная материальная точка
        \[L = \alpha v^2 = \frac{m}{2} v^2\]
        \(m\) – масса частицы
        :!?: получается из требования инвариантности инерциальным системам отсчета
        
        Для разных систем координат
        
        Декартова система
        \[L = \frac{m}{2} \left( \dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2\right)\]
        
        Сферическая система
        \[L = \frac{m}{2} \left( \dot r^2 + r^2 \dot \theta^2 + r^2\dot \phi^2\right)\]
        
        Цилиндрическая система
        \[L = \frac{m}{2} \left( \dot r^2 + r^2 \dot \phi^2 + \dot z^2\right)\]
        
        Следствие: \(m \ge 0\)
        :!?: для отрицательной массы действие не имело бы минимума
        
        Система материальных точек
        
        Система взаимодействующих материальных точек (замкнутая система)
        \[L = \sum_{\alpha = 1}^{N} \frac{m_\alpha}{2} v_\alpha^2 - U(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N) = T(v^2) - U(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N)\]
        \(U(\mathbf{r}_1, \ldots, \mathbf{r}_N)\) – потенциальная энергия (определена с точностью до постоянной)
        \(T(v^2)\) – кинетическая энергия
        :warning: не работает в случае неинерциальных систем, наличии трения, теор. относительности, магнитного поля
        
        В обобщенных координатах
        \[L = \sum_{i, k} \alpha_{ik} \dot q_i \dot q_k - U(q) \]
        
        Система взаимодействующих материальных точек (незамкнутая система) aka взаимодействие с внешним полем
        Рассматривается система состоящая из двух подсистем, одна из которых – исследуемая система (A), а другая определяет внешнее воздействие (B) aka поле.
        \[L_{A+B} = T_A(q_A, \dot q_A) + T_B (q_B, \dot q_B) - U_{AB}(q_A, q_B)\]
        Если \(q_B = f(t)\), то
        \[L_{A+B} = T_A(q_A, \dot q_A) - U_{AB}(q_A, q_B(t))\]
        
        Уравнение Ньютона
        \[\underbrace{-\frac{\partial U}{\partial r_\alpha}}_{F_\alpha} = m\frac{d v_\alpha}{dt}\]
        \(F_\alpha\) – сила, действующая на \(\alpha \)-точку.
        
        Система невзаимодействующих материальных точек
        \[L = \sum_{\alpha = 1}^{N} \frac{m_\alpha}{2} v_\alpha^2\]
        :warning: мультипликативный коэффициент меняет единицу измерения массы, поэтому он выбран 1
        Свойство асимптотической аддитивности
        
        Инвариантность времени
        Не содержит времени
        :warning: следствие однородности времени
        
        Асимптотическая аддитивность
        Если система состоит из независимых (не взаимодействующих) подсистем A и B, то
        \[L_{AB} = L_A + L_B\]
        :warning: Важно: свойство ограничивает произвольность выбора масштабного коэффициента функции Лагранжа (выбирают \(k=1\))
  - - - Энергия
        (однородность времени)
        :thermometer: Размерность: Дж (СИ), эрг (СГС)
        \(\frac{d}{dt} \underbrace{ \left(\sum_i \dot q_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}-L\right)}_{E} = 0\)
        
        Консервативные системы – системы,
        для которых сохраняется энергия
        \[T+U = \text{const}\]
        :warning: остальные законы сохранения могут не выполняться
      - Момент aka момент импульса
        (изотропность пространства)
        :thermometer: Размерность: кг м^2/с (СИ), г см^2/с (СГС)
        \(\frac{d}{dt} \underbrace{\sum_i [r_i p_i]}_{M} = 0\)
        
        Сохранение в симметрчиных полях
        
        Проекция момента на ось, относительно которой поле симметрично, сохраняется.
      - Импульс
        (однородность пространства)
        :thermometer: Размерность: кг м/с (СИ), г см/с (СГС)
        \(\frac{d}{dt} \underbrace{\sum_i \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}}_{P} = 0\)
        
        Обобщенная сила
        :thermometer: Размерность: ньютон (СИ), дина (СГС)
        \(\frac{\partial L}{\partial q_i} = F_i\)
        
        Уравнение Лагранжа
        через импульс и силу
        \(\dot p_i = F_i\)
        
        Свойства
        
        Зависимость от системы отсчета
        \(p=p'+v\sum_i m_i\)
        
        Центр инерции
        \(R = \frac{\sum_i m_i r_i}{\sum_i m_i}\)
        :warning: Удобно пользоваться такой системой отсчета, в которой центр инерции покоится (убирается из рассмотрения движение всей системы).
        
        Внутренняя энергия тела – энергия покоящегося как целого тела, включающую в себя кинетическую энергию частиц + потенциальную энергию их взаимодействия.
      - Теорема Неттер
- - - - Зависимость от параметра \(\lambda\)
        \[\left(\frac{\partial H}{\partial \lambda}\right)_{p, q} = - \left(\frac{\partial L}{\partial \lambda}\right)_{q, \dot q} \]
      - Если действуют непотенциальные силы, то надо прибавить соответствующие обобщенные силы.
      - Особые случаи
        
        Для циклических координат
        Для \(q_i\) циклической координаты:
        \[\frac{\partial H}{\partial q_i} = 0\]
        Решение:
        \(p_i=\alpha_i\)
        \(q_i=\beta_i t + C_i\)
        :warning: Интегрирование уравнения Гамильтона можно заменить задачей поиска циклических координат
        
        Канонические преобразования – преобразования канонических переменных:
        \[q \to Q(p,q), \; p \to P(p,q)\]
        которое сохраняет свойства скобок Пуассона для \(p,q\).
        \( \lbrace p_i, q_k \rbrace = \delta_{ik}\), \( \lbrace p_i, p_k \rbrace = 0\), \( \lbrace q_i, q_k \rbrace = 0\)
        
        Производящая функция \(F(q,Q,t)\)
        характеризует каноническое преобразование
        \(dF= \sum_ip_i dq_i - \sum_i P_i dQ_i + (H'-H)\;dt\)
        
        Производящая функция \(\Phi(q,P,t)\)
        характеризует каноническое преобразование
        \(d\Phi = \sum_i p_i dq_i - \sum_i Q_i dP_i + (H'-H)\;dt\)
        
        Свойства
        
        Сохраняют элемент фазового объема
        
        Сохраняют интеграл
        
        :warning: Движение – каноническое преобразование
        
        Циклическая координата – та, которая явно не входит в функцию Гамильтона
        
        Функция Рауса
  - - - Общая формулировка механики
        \[\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial t} + \lbrace H,f \rbrace\]
      - Особые случаи
        
        Для \(p\)
        \[ \lbrace f, p_k \rbrace = -\frac{\partial f }{\partial q_k}\]
        
        \[ \lbrace p_i, p_k \rbrace = 0\]
        
        Для \(q\)
        \[ \lbrace f, q_k \rbrace = \frac{\partial f }{\partial p_k}\]
        
        \[ \lbrace q_i, q_k \rbrace = 0\]
        
        \[ \lbrace p_i, q_k \rbrace = \delta_{ik}\]
      - Свойства
        
        Тождество Якоби
        \( \lbrace f, \lbrace g, h \rbrace \rbrace + \lbrace g, \lbrace h, f \rbrace \rbrace + \lbrace h, \lbrace f, g \rbrace \rbrace = 0\)
        
        \( \lbrace f, c \rbrace = 0 \), где \( c\) – const
        
        \( \lbrace f_1 f_2, g \rbrace = f_1\lbrace f_2, g \rbrace + f_2 \lbrace f_1, g \rbrace\)
        
        Теорема Пуассона
        \[ \lbrace f, g \rbrace = \text{const} \] если \( f\) и \( g\) – интегралы движения
        
        \( \lbrace f_1 + f_2, g \rbrace = \lbrace f_1, g \rbrace + \lbrace f_2, g \rbrace\)
        
        \[ \lbrace f, g \rbrace = - \lbrace g, f \rbrace \]
        
        \( \frac{\partial}{\partial t} \lbrace f, g \rbrace = \lbrace \frac{\partial f}{\partial t} , g \rbrace + \lbrace f, \frac{\partial g}{\partial t} \rbrace\)
  - - - Период
        \[T=2\pi \frac{\partial I_k}{\partial E}\]
      - Адиабатическое изменение
        (ἀδιάβατος — «непроходимый»)
        Медленное изменение параметра системы (которая колеблется с период \(T\)) под действием внешней причины.
        Условие медленности:
        \[T\frac{d \lambda}{dt} \ll \lambda\]
      - Особые случаи
        
        Гармонический одномерный осциллятор
        \[I=\frac{E}{\omega}\]
        :!?: из закона сохранения \(H=E\) записывается уравнение эллипса, откуда находится площадь \(I=S=\pi a b\) (полуоси)
      - Среднее скорость изменения
        \[\overline{\frac{dI}{dt}} = 0\]
    - - Связь с уравнениями Гамильтона
        Уравнения Гамильтона являются уравнениями характеристик для уравнения Гамильтона-Якоби
      - Интегрирование
    - - Укороченное действие
        \[S_0=\int_A^B \sum_i p_i dq_i \]
        :warning: Особенность: зависит только от координат
        
        Принцип Мопертюи
- - - - Бесконечно малое смещение
        \[d\mathbf{\mathtt{r}} = d\mathbf{R} + [d\mathbf{\phi} \cdot \mathbf{r}]\]
        здесь \(d\mathbf{R}\) – перемещение радиус-вектора
        
        Угловая скорость
        \[\mathbf{v} = \mathbf{V} + [\mathbf{\Omega} \cdot \mathbf{r}]\]
        здесь \(v\) – скорость поступательного движения
        здесь \(\Omega\) – угловая скорость
        
        :!?: если разделить бесконечное малое смещение на \(dt\)
        
        Свойства
        
        Универсальность угловой скорости
        Угловая скорость не зависит от системы координат
        \(\mathbf{\Omega}' = \mathbf{\Omega}\)
        \(\mathbf{V}' = \mathbf{V} + [\mathbf{\Omega} \cdot \mathbf{a}]\)
        
        Можно обнулить скорость поступательного движения выбрав точку начала отсчета \(O'\)
        
        Мгновенная ось вращения – ось, так подобранная, что тело при движении совершает только вращение вокруг нее.
      - Тензор инерции тела
        :memo: Обозначается: \(I_{ik}\)
        :book:: Определение:
        \(I_{ik} = \sum m (x_l^2 \delta_{ik}-x_i x_k)\)
        
        Свойства
        
        Аддитивен
        Для всего тела равен сумме для подчастей
        
        Симметричный
        \(I_{ik} = I_{ki}\)
        
        Связь с другими величинами
        
        Кинетическая энергия
        \(T = \frac{1}{2} I_{ik}\Omega_i\Omega_k\)
        
        Момент импульса
        \(M_{i} = I_{ik}\Omega_k\)
        
        Особые случаи
        
        Шаровой волчок
        \(M=\text{const} \to \Omega=\text{const}\)
        Вращение с постоянной угловой скоростью
        
        Ротатор
        
        Симметричный волчок
        \(\Omega_3 = \frac{M_3}{I_3} \cos(\theta)\)
        
        Регулярная прецессия волчка
        \(\Omega_{\text{p}}=\frac{M}{I_1}\)
        
        Главные моменты инерции
        :memo: Обозначается: \(I_1, I_2, I_3\)
        Диагональные компоненты тензора после приведения к диагональному виду
        
        Свойства
        
        \(I_i + I_j \ge I_k\)
        
        Классификация тел
        по главным моментам инерции
        
        Асимметричный волчок
        \(I_1 \neq I_2 \neq I_3\)
        
        Симметричный волчок
        \(I_1 =I_2 \neq I_3\)
        
        Шаровой волчок
        \(I_1 =I_2 = I_3\)
        
        Ротатор
      - Эйлеровы углы – углы, характеризующие ориентацию движущиеся системы координат относительно неподвижной.
        Углы: \(\phi, \psi, \theta\)
        
        Уравнения Эйлера
        характеризует вращение тела в подвижной системе координат
        \(I_1 \frac{d\Omega_1}{dt} + (I_3-I_2) \Omega_2 \Omega_3 = K_1\)
        \(I_2 \frac{d\Omega_2}{dt} + (I_1-I_3) \Omega_3 \Omega_1 = K_2\)
        
        \(I_3 \frac{d\Omega_3}{dt} + (I_2-I_1) \Omega_1 \Omega_2 = K_3\)
        
        Связь с компонентами угловой скорости
        \(\Omega_1 = \dot \phi \sin(\theta)\sin(\psi) + \dot \theta \cos(\psi)\)
        \(\Omega_2 = \dot \phi \sin(\theta)\cos(\psi) - \dot \theta \sin(\psi)\)
        \(\Omega_3 = \dot \phi \cos(\theta) + \dot \psi\)
      - Уравнение движения
        Для полного импульса и полной силы:
        \(\frac{dP}{dt}=F\)
        Для момента и суммы моментов сил
        \(\frac{dM}{dt}=K\)
        где \(K=\sum[rf]\)
        
        \(K=\sum[r_0 F]\)
        Радиус-вектор (определяется свойствами тела)
        \(r_0 = \frac{\sum_i e_i r_i}{\sum_i e_i}\)
  - - - Малые колебания
        
        Колебания без затухания
        
        Одномерные колебания
        
        Свободные одномерные колебания
        Вывод системы из состояния с наименьшей потенциальной энергией.
        
        Кинетическая энергия
        \[T(x)=\frac{a(x)\dot x^2}{2}\]
        
        Функция Лагранжа
        \[L=T-U=\frac{a(x)\dot x^2}{2}-\frac{kx^2}{2}\]
        
        1 more item...
        
        Потенциальная энергия
        \[U(x)=\frac{kx^2}{2}\]
        :!?: Если потребовать малость отклонения и разложить в ряд по \(x=r-r_0\).
        
        Уравнение движения
        \[a(x)\ddot x+kx = 0\]
        или
        \[\ddot x+\omega^2 x = 0\]
        Обозначение: \(\omega^2 = \frac{k}{a(x)}\).
        
        Решение уравнения движения
        \[x = A \cos(\omega t + \phi )\]
        где \(A\) – амплитуду, \(\phi\) – начальная фаза, \(\omega\) – циклическая частота.
        
        1 more item...
        
        Вынужденные
        На систему действует внешнее переменное поле (слабое, так как малые колебания)
        
        Функция Лагранжа
        \[L=T-U=\frac{a(x)\dot x^2}{2}-\frac{kx^2}{2} + xF(t)\]
        :!?: Разложение по степеням \(x\), опуская нулевой член (так как полный дифференциал времени)
        
        Уравнение движения
        \[a(x)\ddot x+kx = F(t)\]
        или
        \[\ddot x+\omega^2 x = \frac{1}{a(x)}F(t)\]
        Обозначение: \(\omega^2 = \frac{k}{a(x)}\).
        
        2 more items...
        
        Колебания с многими степенями свободны
        
        Функция Лагранжа
        \[L=\sum_i\sum_k\frac{\mu_{ik}(x)\dot x_i \dot x_k}{2}-\frac{k_{ik}x_ix_k}{2}\]
        
        Уравнение движения (уравнение Лагранжа)
        Система уровнений, для \(i\)-ой:
        \[\sum_k \mu_{ik}(x) \ddot x_k + \sum_k k_{ik} x_k = 0\]
        
        Решение
        
        Ищем в виде \(x_k=A_k e^{i\omega t}\)
        
        Ограничение на \(A_k\) дается выражением:
        \( \sum_k (-\omega^2\mu_{ik}(x)+k_{ik} )A_k = 0\)
        
        с характеристическим уравнением (отличный от нуля определитель):
        \(|k_{ik} - \omega^2 \mu_{ik}(x)|=0\)
        дающим решение в виде \(\omega_{\alpha}\) (собственные частоты)
        :warning: количество решений равно количеству степеней свободы
        :warning: \( \omega_{\alpha} \) – положительная и вещественная (мнимость привела бы к нарушению закона сохранения энергии)
        Решение:
        \(x_k=\Delta_{k\alpha} C_{\alpha} e^{i\omega_{\alpha} t}\)
        здесь \(\Delta_{k\alpha} \) – минор характеристического уравнения
        
        \(x_k=\Re( \sum_k \Delta_{k\alpha} C_{\alpha} e^{i\omega_{\alpha} t}) = \sum_\alpha^s \Delta_{k\alpha} \Theta_{\alpha}\)
        
        2 more items...
        
        Затухающие колебания
        
        Одномерные колебания
        Добавляется воздействие силы трения \(F= -\alpha \dot x\)
        Пропорционально скорости так как на покоящееся тело сила трения не действует. Поэтому при разложении силы нулевой член равен нулю.
        
        Свободные
        
        Уравнение движения
        \[a(x)\ddot x + 2\lambda \dot x+\omega_0^2x = 0\]
        здесь \(\lambda\) – коэффициент затухания,\(\frac{\alpha}{\mu(x)} = 2 \lambda\)
        
        Решение
        \(x = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}\)
        \(r_{1,2} = - \lambda \pm \sqrt{\lambda^2 - \omega_0^2}\)
        
        1 more item...
        
        Вынужденные
        
        Уравнение движения
        \[\ddot x+ 2\lambda \dot x+\omega^2 x = \frac{1}{\mu(x)}F(t)\]
        Обозначение: \(\omega^2 = \frac{k}{\mu(x)}\).
        
        Гармоническое воздействие
        для случая \(\omega_0 > \lambda\)
        \(x=ae^{-\lambda t} \cos(\omega t + \alpha) + b \cos(\gamma t + \delta)\)
        где
        \(b=\frac{f}{\mu(x) \sqrt{(\omega_0^2-\gamma^2)^2 + 4\lambda^2\gamma^2}}\)
        \(\mathrm{tg}(\delta) = \frac{2\lambda \gamma}{\gamma^2 - \omega_0^2}\)
        
        Поглощаемая энергия
        \(I(\gamma)=\lambda \mu b^2\gamma^2\)
        
        Дисперсионная зависимость
        (около резонанса)
        \(I(\epsilon)=\frac{f^2}{4\mu} \frac{\lambda}{\epsilon^2 + \lambda^2}\)
        здесь \(\epsilon\) – частота, малое отклонение от резонансной частоты
        
        Колебания с многими степенями свободны
        Сила трения:
        \(f_i = - \sum_k \alpha_{ik}\dot x_k\)
        
        Диссипативная функция
        Определяет интенсивность диссипации энергии в системе
        
        \(F=\frac{1}{2} \sum_{i,k} \alpha_{ik} \dot x_i \dot x_k\)
        
        Сила трения через диссипативную функцию
        \(f_i = -\frac{\partial F}{\partial \dot x_i}\)
        
        Убыль энергии в системе
        \(\frac{dE}{dt} = -2F\)
        
        Решение
        
        Ищем в виде \(x_k=A_k e^{irt}\)
        
        Ограничение на \(A_k\) дается выражением:
        \( \sum_k (-r^2\mu_{ik}(x)+\alpha_{ik}r+k_{ik} )A_k = 0\)
        
        с характеристическим уравнением (отличный от нуля определитель):
        \(|r^2 \mu_{ik}(x) + \alpha_{ik}r + k_{ik} |=0\)
        дающим решение в виде \(r_{\alpha}\)
        
        Ангармонические колебания aka нелинейные колебания
        Учет более высоких членов разложения в ряд по малым отклонениям от положения с минимумом потенциальной энергии
        
        Комбинационные частоты
        На нормальные колебания системы накладываются комбинационные частоты
    - - Параметрический резонанс
      - Резонанс в нелинейных колебаниях
    - - Частота
      - Период
- - - - Однородность пространства
        Можно перенести систему из точки 1 в точку 2 и законы не изменятся
      - Закон инерции
        \[\mathbf{v} = \text{const}\]
        :!?: получается из свойств функции Лагранжа для инерциальных систем отсчета: подставить явно в уравнение Эйлера-Лагранжа
        Для инерциальных систем отсчета функция Лагранжа зависит только от квадрата скорости
      - Однородность времени
      - Изотропность пространства
        Можно повернуть систему на угол и законы не изменятся
      - Принцип относительности Галилея
        Существует бесконечное количество инерциальных систем отсчета. Движутся относительно друг друга:
        
        Прямолинейно
        
        Равномерно
        
        Преобразование Галилея (в узком смысле)
        Для координаты:
        \[ \mathbf{r} = \mathbf{r}' + \mathbf{V} t \]
        Для времени:
        \[ t = t' \]
        
        Преобразования Галилея (в широком смысле)
        Для координаты:
        \[ \mathbf{r} = \mathbf{r}' + \mathbf{V} t \]
        Для времени:
        \[ t = t' + \tau \]
        Для поворота осей:
        \[ r_\alpha = С_{\alpha\alpha'} r_{\alpha'} \]
        
        Закон сложения скоростей
        \[ \mathbf{v} = \mathbf{v}' + \mathbf{V} \]
        
        Универсальность ускорения
        \[ \mathbf{a} = \mathbf{a}' \]
    - - Функция Лагранжа
        
        Ускорение
        \(L'=\frac{m\mathbf{v}'^2}{2}+m\frac{d\mathbf{V}}{dt}-U\)
        здесь:
        \(\mathbf{v}'\) – скорость движения относительно неинерциальной системы отсчета
        \(\mathbf{V}(t)\) – скорость неинерциальной системы отсчета
        
        Вращение
        \(L'=\frac{m\mathbf{v}'^2}{2}+m\frac{d\mathbf{V}}{dt}+mv[\Omega r] +\frac{m}{2}[\Omega r]^2-U\)
        
        Сила Кориолиса
        \(F = 2m[v\Omega]\)
        
        Центробежная сила
        \(F=m[\Omega[r \Omega]]\)
- - - - Особые типы
        
        Цилиндрическая
        \(x=r\cos(\phi)\)
        \(y=r\sin(\phi)\)
        \(z=z\)
        
        Полярная
        \(x=r\cos(\phi)\)
        \(y=r\sin(\phi)\)
        
        Сферическая
        \(x=r\sin(\theta)\sin(\phi)\)
        \(y=r\sin(\theta)\cos(\phi)\)
        \(z=r\cos(\theta)\)
      - Ортогональные криволинейные системы
        
        Коэффициенты Ламэ
        \(h_i = \sqrt{g_{ii}}\)
        здесь
        \(g_{ik} = e_i \cdot e_k = \frac{\partial x^k}{\xi^i}\frac{\partial x^k}{\xi^j}\)