Математический анализ
Векторный анализ
⚠ Что изучает?
Функции
Теория функций
Классы элементарных функций
Теорема
Общая теорема Стокса
Вариационное исчисление
Интегральное исчисление
Дифференциальное исчисление
Теория функций комплексной переменной aka ТФКП
⚠ Что изучает?
Методы поиска экстремумов функционалов
Функционал
Вариационная производная
📝 Обозначается: δvδf
🎮 Как считать:
⚠ Является производной Фреше
Приращение
Важные задачи
Виды экстремумов
Важные теоремы и леммы
Полиномы (многочлены)
\[P_n(x) = \sum_{i=0}^n \alpha_i x^i\]
Иррациональные функции
которые не рациональные, но могут быть выражены через композицию рациональных функций
Рациональные функции
\[\frac{P(x)}{Q(x)}\]
\(P(x)\) и \(Q(x)\) – полиномы и \(Q(x) \neq 0\)
Трансцендентальные функции
которые не рациональные и не иррациональные
Интегральные уравнения – уравнения с неизвестной в подынтегральном выражении
Важные теоремы
Приращение
Дифференциал функции – линейная часть приращения функции
📝 Обозначается: \(df(x) \)
🎮 Как считать: \(df(x) = f'(x_0) dx\)
Приращение функции: \( \Delta f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\)
Приращение представленное в виде суммы при \(\Delta x \to 0\): \( \Delta f(x_0) = \underbrace{A\Delta x}_{df(x_0)} + o(\Delta x)\)
⚠ \(A = f'(x_0) \Delta x\) при \(\Delta x \to 0\)
⚠ \(dx = \Delta x\) при \(\Delta x \to 0\)
Связь с определением производной
Частные случаи
Важные задачи
Производная функции
📝 Обозначается: \(f'(x) \)
🎮 Как считать:
Явно через предел
\[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]
По табличке производных элементарных функций + правила
⚠ Вычисление производной функции называется дифференцированием функции
Сильный экстремум
Если экстремум достигается на кривой по отношению к близким кривым в 0-м порядке
Дифференциальные уравнения
Слабый экстремум
Если экстремум достигается на кривой по отношению к близким кривым в 1-м порядке
Задача с подвижными границами
⭐ Вариация aka приращение функции \(y(x)\) функционала \(v[y(x)]\)
\[\delta y = y(x)-y_1(x)\]
аналогия с приращением аргумента функции
Приращение функционала \(v[y(x)]\)
\[\Delta v = v[y+\delta y] - v[y]\]
Лемма
Основаная лемма вариационного исчисления (лемма Лагранжа)
Если для непрерывной \(\eta(x)\) выполняется условие
\[\int_{x_1}^{x_2} \phi(x) \eta(x) \; dx = 0,\]
то
\[\phi(x)=0\]
Задача с неподвижными границами
Прямые методы
Переход от сложной вариационной задачи к задаче на поиск экстремума функции нескольких переменных и возврат обратно предельным переходом
Теорема
Об экстремуме функционала (необходимое условие)
Если функционал \(v[y(x)\) достигает максимума или минимума при \(y = y_0(x) \), то \[\delta v = 0 \]
Особые виды интегральных уравнений
Теорема Ролля
Теорема Лагранжа
Теорема Ферма
Теорема Коши
Приращение функции \(f(x)\):
\[\Delta f(x) = f(x+\Delta x) - f(x)\]
Приращение аргумента \(x\) функции \(f(x)\):
\[\Delta x = x -x_1\]
Связь с производной aka обозначение Лейбница
\[\frac{df(x_0)}{dx} = f'(x_0)\]
Как производная по направлению (производная Гато)
\[df(x) = \frac{\partial }{\partial a} f(x+a\Delta x) |_{a=0} \]
Поиск экстремума функции
👁
Интерпретации
Теорема Грина
Теорема Стокса
Как производная по направлению (производная Гато)
\[\delta y(x) = \frac{\partial }{\partial a} v(y(x)+a\Delta y) |_{a=0} \]
Близость кривых \(y_1(x)\) и \(y_2(x)\)
кривые близки, если \(|y_1(x)-y_2(x)|\) мало
⚠ Близкие в смысле \(k\)-го порядка, если малы и для производных, вплоть до \(k\)-го порядка
Особые точки –
точки, в которых одновременно обращаются
в нуль и \(P\) и \(Q\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{P(x,y)}{Q(x,y)}\)
Свойства производных
Простейшая задача вариационного исчисления
Найти экстремум функционала
\[v[y] = \int_{x_1}^{x_2} F\left(x,y(x),\frac{dy(x)}{dx}\right)\; dx \]
Конечно-разностный метод Эйлера
Метод Канторовича
Метод множителей Лагранжа
Зачем?
Для поиска экстремума \(f(x)=0\)
При условии \(\phi_i(x) = b_i\)
Как?
Составляется линейная комбинация (функция Лагранжа)
\( L(x, \lambda_i) = \lambda_0 f(x) + \sum_i \lambda_i (\phi_i(x)-b_i)\)
Решаются уравнения (условия стационарности):
\(\frac{\partial }{\partial x_i} L(x^*, \lambda_i^*) =0\)
Если \(\phi_i(x)\) линейно зависимы, то \(\lambda_0^* = 0\) иначе \(\lambda_0^* = 1\) (можно выбрать так).
Решение: \(x^*\) – потенциальная точка экстремума (необходимо проверять)
Уравнение Вольтера
Следствие: производная вариации
\[(\delta y(x))' = (y(x)-y_1(x))'=y'(x)-y'_1(x)=\delta y'(x)\]
👁
Интерпретации
Метод Ритца
Уравнение Фредгольма
Правило Лопиталя
Формула Тейлора
Условный экстремум
Геометрический смысл
\(df(x_0) \) является приращением ординаты касательной в \(x_0\)
Физический смысл
Линеаризация \(f(x)\) в окрестности точки \(x_0\)
Деление
Сложение
Умножение
Теорема Остроградского-Гаусса
Уравнение Эйлера-Лагранжа
Функционал достигает экстремума при экстремали \(y(x)\) удовлетворяющей уравнению:
\[\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'} = 0\]
Уравнение Вольтера 1-го рода
Физический смысл
\(f'(x_0)\) является мгновенной скоростью изменения функции в точке \(x_0\)
Геометрический смысл
\(f'(x_0)\) является тангенсом угла наклона касательной прямой в точку \(x_0\)
Уравнение Фредгольма 2-го рода
Остаточный член в форме Лагранжа
Уравнение Вольтера 2-го рода
Уравнение Фредгольма 1-го рода
Формула Маклорина
Остаточный член в форме Пеано
Простейшие случаи
Общения
Зависимость только от \(y'(x)\)
решение – семейство прямых
Зависит только от \(y\) и \(y'(x)\)
решается выражением \(y'(x)\) и разделением переменных
Линейная зависимость от \(y'(x)\)
задача теряет смысл, за исключением тривиальных ситуаций
Зависит только от \(x\) и \(y'(x)\)
решается выражением \(y'(x)\) или вводится параметр
Не зависит от \(y'(x)\), т. е. \(F=F(y, x)\)
не имеет решения, за исключением тривиальных ситуаций
Параметрическое описание
Несколько переменных
Уравнение Эйлера-Пуассона
Обобщение на случай высших производных:
\[\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'} +\dots+ (-1)^n \frac{d^n}{dx^n}\frac{\partial F}{\partial y^{(n)}} = 0\]