Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

Математический анализ (Теория функций (Вариационное исчисление (Важные…

- - - - :star: Вариация aka приращение функции \(y(x)\) функционала \(v[y(x)]\)
        \[\delta y = y(x)-y_1(x)\]
        аналогия с приращением аргумента функции
        
        Как производная по направлению (производная Гато)
        \[\delta y(x) = \frac{\partial }{\partial a} v(y(x)+a\Delta y) |_{a=0} \]
        
        Близость кривых \(y_1(x)\) и \(y_2(x)\)
        кривые близки, если \(|y_1(x)-y_2(x)|\) мало
        :warning: Близкие в смысле \(k\)-го порядка, если малы и для производных, вплоть до \(k\)-го порядка
        
        Следствие: производная вариации
        \[(\delta y(x))' = (y(x)-y_1(x))'=y'(x)-y'_1(x)=\delta y'(x)\]
      - Приращение функционала \(v[y(x)]\)
        \[\Delta v = v[y+\delta y] - v[y]\]
    - - Задача с подвижными границами
      - Условный экстремум
        
        На функции, на которые входят в функционал, наложены связи (условия) #
        
        Метод множителей Лагранжа
        Зачем?
        Для поиска экстремума \(f(x)=0\)
        При условии \(\phi_i(x) = b_i\)
        Как?
        Составляется линейная комбинация (функция Лагранжа)
        \( L(x, \lambda_i) = \lambda_0 f(x) + \sum_i \lambda_i (\phi_i(x)-b_i)\)
        Решаются уравнения (условия стационарности):
        \(\frac{\partial }{\partial x_i} L(x^*, \lambda_i^*) =0\)
        Если \(\phi_i(x)\) линейно зависимы, то \(\lambda_0^* = 0\) иначе \(\lambda_0^* = 1\) (можно выбрать так).
        Решение: \(x^*\) – потенциальная точка экстремума (необходимо проверять)
      - Задача с неподвижными границами
        
        Простейшая задача вариационного исчисления
        Найти экстремум функционала
        \[v[y] = \int_{x_1}^{x_2} F\left(x,y(x),\frac{dy(x)}{dx}\right)\; dx \]
        
        Уравнение Эйлера-Лагранжа
        Функционал достигает экстремума при экстремали \(y(x)\) удовлетворяющей уравнению:
        \[\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'} = 0\]
        Следствие необходимого условия экстремума функционала
        
        Простейшие случаи
        
        Зависимость только от \(y'(x)\)
        решение – семейство прямых
        
        Зависит только от \(y\) и \(y'(x)\)
        решается выражением \(y'(x)\) и разделением переменных
        
        Линейная зависимость от \(y'(x)\)
        задача теряет смысл, за исключением тривиальных ситуаций
        
        Зависит только от \(x\) и \(y'(x)\)
        решается выражением \(y'(x)\) или вводится параметр
        
        Не зависит от \(y'(x)\), т. е. \(F=F(y, x)\)
        не имеет решения, за исключением тривиальных ситуаций
        
        Общения
        
        Параметрическое описание
        
        Несколько переменных
        
        Уравнение Эйлера-Пуассона
        Обобщение на случай высших производных:
        \[\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'} +\dots+ (-1)^n \frac{d^n}{dx^n}\frac{\partial F}{\partial y^{(n)}} = 0\]
      - Прямые методы
        Переход от сложной вариационной задачи к задаче на поиск экстремума функции нескольких переменных и возврат обратно предельным переходом
        
        Конечно-разностный метод Эйлера
        
        Метод Канторовича
        
        Метод Ритца
    - - Сильный экстремум
        Если экстремум достигается на кривой по отношению к близким кривым в 0-м порядке
      - Слабый экстремум
        Если экстремум достигается на кривой по отношению к близким кривым в 1-м порядке
    - - Лемма
        Основаная лемма вариационного исчисления (лемма Лагранжа)
        Если для непрерывной \(\eta(x)\) выполняется условие
        \[\int_{x_1}^{x_2} \phi(x) \eta(x) \; dx = 0,\]
        то
        \[\phi(x)=0\]
      - Теорема
        Об экстремуме функционала (необходимое условие)
        Если функционал \(v[y(x)\) достигает максимума или минимума при \(y = y_0(x) \), то \[\delta v = 0 \]
  - - - Особые виды интегральных уравнений
        
        Уравнение Вольтера
        
        Уравнение Вольтера 1-го рода
        
        Уравнение Вольтера 2-го рода
        
        Уравнение Фредгольма
        
        Уравнение Фредгольма 2-го рода
        
        Уравнение Фредгольма 1-го рода
  - - - Теорема Ролля
      - Теорема Лагранжа
        
        Формула Тейлора
        
        Остаточный член в форме Лагранжа
        
        Формула Маклорина
        
        Остаточный член в форме Пеано
      - Теорема Ферма
      - Теорема Коши
        
        Правило Лопиталя
    - - Приращение функции \(f(x)\):
        \[\Delta f(x) = f(x+\Delta x) - f(x)\]
      - Приращение аргумента \(x\) функции \(f(x)\):
        \[\Delta x = x -x_1\]
    - - Связь с производной aka обозначение Лейбница
        \[\frac{df(x_0)}{dx} = f'(x_0)\]
      - Как производная по направлению (производная Гато)
        \[df(x) = \frac{\partial }{\partial a} f(x+a\Delta x) |_{a=0} \]
      - :eye:
        Интерпретации
        
        Геометрический смысл
        \(df(x_0) \) является приращением ординаты касательной в \(x_0\)
        
        Физический смысл
        Линеаризация \(f(x)\) в окрестности точки \(x_0\)
    - - Поиск экстремума функции
        
        Условный экстремум
    - - Свойства производных
        
        Деление
        
        Сложение
        
        Умножение
      - :eye:
        Интерпретации
        
        Физический смысл
        \(f'(x_0)\) является мгновенной скоростью изменения функции в точке \(x_0\)
        
        Геометрический смысл
        \(f'(x_0)\) является тангенсом угла наклона касательной прямой в точку \(x_0\)
    - - Особые точки –
        точки, в которых одновременно обращаются
        в нуль и \(P\) и \(Q\)
        \(\frac{dy}{dx} = \frac{P(x,y)}{Q(x,y)}\)
- - - - Теорема Грина
      - Теорема Стокса
      - Теорема Остроградского-Гаусса