Квантовая механика

Состояния квантовой системы

Состояния квантовой системы описываются волновой функцией $\psi$

Основные постулаты

👁
Формализмы

Принцип дополнительности Бора

Есть физические величины, которые не могут быть измерены одновременно

Выражается в некоммутативности операторов физических величин
Соотношение неопределенностей для эрмитовых операторов

Смешанные квантовые состояния

Смесь чистых состояний, описывается статистическим оператором aka матрицей плотности $\hat \rho$

$\hat \rho = \sum_i p_i |\psi_i \rangle \langle \psi_i|$

⚠ описывает неизолированные системы
⚠ на квантовую природу накладывается классическая статистика

Чистые квантовые состояния

$| \psi \rangle$

⚠ описывает изолированные системы
⚠ только квантовая природа

Постулат №3

Среднее значение физической величины определяется
\[ \langle \hat L \rangle = \int \psi^* L \psi \; dq \]

Постулат №2

Точное измерение физической величины может быть только собственное значение оператора физической величины.
\[\hat L \psi = l \psi\]

⚠ $l$ – вещественное число (следствие эрмитовости оператора физической величины)

Формализм Дирака

Постулат №1

Каждой физической величине сопоставляется линейный эрмитов оператор
\[\hat L\]

Матричный формализм
Гейзенберга

Принцип неопределенности Гейзенберга

$\Delta \hat A \Delta \hat B \ge \sqrt{\left(\overline{ \hat C}\right)^2} $

где $\hat A \hat B - \hat B \hat A = 2 i \hat C $
$\Delta \hat A = \sqrt{D_a \hat A}$

Формализм волновых функций
Шредингера

Постулат №4

Эволюция состояния квантовой системы определяется:
\[i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat H \psi \]

⚠ $ \hat H $ – Гамильтониан

Формализм Вигнера

Формализм вторичного квантования

Матрица плотности

Интегралы по траекториям
Фейнман

Свойства матрицы плотности

Матрица плотности для чистого состояния

$\hat \rho = |\psi \rangle \langle \psi|$

$\hat \rho^2 = \hat \rho$

Чистое состояние

Принцип

$|\psi \rangle$ – вектор состояния квантовой системы.

💚 позволяет абстрагироваться от представлений:
$\psi$-функция есть "проекция" $|\psi \rangle$ на представление

Координата и импульс

\[\Delta \hat x \Delta \hat p_x \ge \frac{\hbar}{2} \]

Эрмитовость
$\hat \rho = (\hat \rho^*)^T $

Нормированность

$\mathrm{Tr}(\hat \rho)=1$

Эволюция состояний описывается унитарным оператором

$ |\psi(t) \rangle = \hat U |\psi(0) \rangle$

Эволюция квантовой системы в смешанном состоянии описывается уравнение фон Неймана aka квантовым уравнением Лиувиля

\[i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = [\hat H, \hat \rho] \]

⚠ дополнение к постулату №4

Диагональные элементы – вероятности

Принцип

$\psi(x,t) $ – волновая функция описывает состояние системы в $x$-представлении.

⛔ Необходимо всегда указывать в каком представлении волновая функция описывает состояние системы

Среднее значение физической величины в смешанном состоянии

\[ \langle \hat L \rangle = \mathrm{Tr}(\hat \rho \hat L) \]

⚠ дополнение к постулату №3

👁
Представления

Обозначения

Представление Гейзенберга

Состояния постоянны
Операторы эволюционируют

Представление Дирака
aka Представление взаимодействия

Состояния эволюционируют (от невозмущенного $\hat H_0$)
Операторы эволюционируют (от возмущения $\hat V$)

Представление Шредингера

Состояния эволюционируют
Операторы постоянны

Бра-вектор aka сопряженное состояниеие
$\langle \psi |$

Кет-вектор aka состояние
$|\psi\rangle$

Скалярное произведение
$\langle \psi |\phi \rangle = r$

Действие оператора на вектор состояния
$\hat L |\psi \rangle$

$\langle \psi | \hat L^{+}$

Оператор
$\hat L = |\psi \rangle\langle \phi |$

Матричный элемент оператора
$\langle \phi | \hat L | \psi \rangle$

Нормированные состояния
$\langle \psi |\psi \rangle = 1$

Ортонормированные состояния
$\langle \psi_i |\psi_j \rangle = \delta_{ij}$