Тензоры
⚠ Что изучает?
Тензор – многокомпонентная величина, характеризующаяся своим поведением при преобразованиях координат.
📝 Обозначается: tlmn…ijk…
Основные понятия
Операции
Особые классы тензоров
Особые виды теноров
Спектры тензоров
Тензорный анализ
Ранг aka валентность – число индексов тензора
⚠ не связано с понятием ранг матрицы!
Координаты
Сложение
\(c_{ijk \ldots m}=a_{ijk \ldots m}+b_{ijk \ldots m}\)
Симметричные
\(a_{ij}=a_{ji}\)
Тензорное произведение aka Внешнее произведение
- Ранг увеличивается: \(p=q+r\)
- \(c_{ijklm}=a_{ijk}b_{lm}\)
Метрический тензор – определяет геометрическую структуру пространства
📝 Обозначается: \(g_{ik}\)
\(g_{ik} = e_i \cdot e_k\)
Ковариантные координаты
(преобразуются как базисные векторы)
📔 обозначаются: \(x_k\)
Преобразование для тензора первого ранга:
\(x_k = A_k^j x_j\)
Тензорное поле – поле, в котором каждой точке пространства задан тензор определенного ранга.
\(a_{ijk}=a_{ijk}(x)\)
Свертка
Тензор Леви-Чивита
Контрвариантный метрический тензор
\[g^{kl}g_{lj} = \delta_j^k\]
Специальные виды метрик
Свойства
Скалярное произведение
\(x\cdot y = g_{ik} x^i y^k\)
Символ Леви-Чивита aka Кососимметричный символ Кронекера
\(\epsilon_{ijk} = 1\) (\(ijk=123\) и циклически сдвигаем налево)
\(\epsilon_{ijk} = -1\) (\(ijk=321\) и циклически сдвигаем налево)
\(\epsilon_{ijk} = 0\) (в остальных)
Дифференцирование
Псевдоевклидова метрика
Евклидова метрика
\[g_{ik} = \delta_{ik}\]
Сопряженный базис aka Взаимный базис
Если \(e_i\) – базисный вектор, то
\[e^k = g^{ki}e_i\]
Векторное произведение векторов
с использованием символа Леви-Чивиты
\(a_i \times a_j = \epsilon_{ijk} a_k\)
\(e^i\cdot e_j = g^{ik} g_{kj}\)
Контрвариантные координаты
(преобразуются противоположно базисным векторам, компенсируют изменение)
📔 обозначаются: \(x^k\)
Преобразование для тензора первого ранга:
\(x^k = A^k_j x^j\)
⚠ Зачем в физике?
Тензоры позволяют описать свойства реальности (физики) независимо от используемой системы координат
Опускание
\[x_k = g_{ik} x^i\]
Поднимание
\[x^k = g^{ik} x_i\]
👤 Основные разработчики
👤 Туллио Леви-Чивита
👤 Грегорио Риччи-Курбастро
👤 Альберт Эйнштейн
Строгое определение
👁 Тензор через другие сущности
Тензор через строку/столбец
Тензор через матрицу
Симметричный
\(g_{ik}=g_{ki}\)
⚠ надо, чтобы скалярное произведение было симметричным
Элемент расстояния
\(ds^2 = g_{ik}dx^i dx^k\)
Невырожденность
\(\det(g_{ik}) \neq 0\)
⚠ надо, чтобы можно было и опускать и поднимать индексы
Техника
Приведение тензора к диагональному виду
Шаг1.
Соглашение о суммировании Эйнштейна
Выражение вида:
\[\mathbf{x} = x_1 \mathbf{e_1} + x_2 \mathbf{e_2}+\dots+x_n \mathbf{e_n}=\sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e_i}\]
Можно записать так (без знака суммы, до \(n\) по повторяющемуся индексу):
\[\mathbf{x} = x_i \mathbf{e_i}\]
⚠ Основная задача
Выделять существенные свойства объекта отбрасывая зависимости от координат
⚠ Изучение инвариантных свойств объектов
\(p\)-линейная форма
Ортогональный тензор – геометрический объект, определенный коэффициентами полилинейной (\(p\)-линейной) формы, записанные в некотором ортонормированном базисе.
Сравнение
- Равны ранги
- Равны коэффициенты попарно (в любой системе координат)
Умножение на число
\(c_{ijk \ldots m}=\lambda a_{ijk \ldots m}\)
След
Перестановка индексов
\(c_{jki}=a_{ijk}\)
Антисимметричный тензор
\(a_{ij}=-a_{ji}\)
Ковектор
Пример: градиент
Вектор
Пример: обычный вектор
Псевдотензор
Тензор, для которого преобразование выполняется с весом \(|\gamma|^M\), т. е. определитель матрицы обратного преобразования координат в степени \(M\).
Теорема
О разложении любого тензора второго ранга на сумму симметричного и антисимметричного
\[S_{ij}=\frac{a_{ij}+a_{ji}}{2}\]
\[A_{ij}=\frac{a_{ij}-a_{ji}}{2}\]
Метрика Минковского
\[g_{ik} = - \delta_{ik},\; g_{00} = 1\]
⚠ в специальной теории относительности
Детерминант
с использованием символа Леви-Чивиты
\(\det(\mathbf{M})= \epsilon_{ijk} a_i b_j c_k\)
здесь \(a, b, c\) – строки матрицы
Внутреннее произведение
Суммирование по свободному индексу
\(c_{i}=a_{ij}b^j=a_{i1}b^1+a_{i2}b^2+a_{i3}b^3\)
⚠ уменьшение ранга
Теорема
О собственных векторах симметричного тензора второго ранга
Собственные вектора симметричного тензора второго ранга вещественны.
Ковариантное дифференцирование
Независящая от системы координат производная по направлению.
\[\boldsymbol{\nabla}_{\mathbf{V}} \mathbf{A}\]
Основные понятия
Набла aka Оператор Гамильтона
Векторный дифференциальный оператор
📝 Обозначается: \(\nabla\)
В декартовых координат:
\(\boldsymbol{\nabla} = \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k}\)
Градиент
вектор для скалярного поля
📝 Обозначается: \(\mathrm{grad}_i \phi\)
Через оператор набла:
\(\mathrm{grad}_i \phi = \boldsymbol{\nabla}_i\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x_i}\)
Дивергенция
скаляр для векторного поля
📝 Обозначается: \(\mathrm{div}_i \mathbf{A}\)
Через оператор набла:
\(\mathrm{div}_i \mathbf{A} = \boldsymbol{\nabla}_i\mathbf{A} = \frac{\partial A_i}{\partial x_i}\)
⚠ характеризует плотность источников поля
Ротор
вектор для векторного поля
📝 Обозначается: \(\mathrm{rot}_i \mathbf{A}\)
Через оператор набла:
\(\mathrm{rot}_i \mathbf{A} = \boldsymbol{\nabla}_i\times\mathbf{A} = \epsilon_{ijk}\frac{\partial A_k}{\partial xj}\)
Здесь \(\epsilon_{ijk}\) – символ Леви-Чивита
Классы векторных полей
Безвихривое aka Потенциальное
Признак:
\(\boldsymbol{\nabla}_i\times\mathbf{A} = 0\)
Вихревое aka Соленоидальное
Признак:
\(\boldsymbol{\nabla}_i \mathbf{A} = 0\)
Важные теоремы
Теорема
Гаусса-Остроградского
\[\iiint_V\ \; \boldsymbol{\nabla}_i\mathbf{A} \; d V = \iint_S\ \; \mathbf{A} \; d \mathbf{S}\]
Теорема
Стокса
\[\oint_L\ \; \mathbf{A} \; d \mathbf{r} = \iint_S\ \; \boldsymbol{\nabla}_i\times\mathbf{A} \; d \mathbf{S}\]
Лапласиан
скаляр для скалярного поля
📝 Обозначается: \(\Delta = \nabla \nabla\)
Теорема
Грина
\[\oint_L\ \; M \; dx + L\; dy = \iint_S\ \; \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial L}{\partial x} \; dxdy \]
Криволинейные координаты
Функция преобразования координат \(\lbrace q\rbrace \to \lbrace q'\rbrace \)
\(q'^i=f^i(q^k)\)
\[J=\left|\frac{\partial q'^i}{\partial q^k}\right| \neq 0 \]
Коэффициенты Ламе
Якобиан
\[J=\sqrt{\det(g_{ij})}\]
Поток
скаляр векторного поля
\[\iint_S\ \; \mathbf{A} d \mathbf{S}\]
Работа поля вдоль кривой
скаляр векторного поля
\[\int_L\ \; \mathbf{A} d \mathbf{r}\]
Циркуляция векторного поля вдоль замкнутой кривой
скаляр векторного поля
\[\oint_L\ \; \mathbf{A} d \mathbf{r}\]
Производная по направлению
вектор для скалярного поля
Через оператор набла:
\((\mathbf{l}\boldsymbol{\nabla}_i)\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x_i}l_i\)
\[\nabla (\nabla \mathbf{A}) = \mathrm{grad} \,\mathrm{div} \,\mathbf{A}\]
Символ Кристоффеля
Частные случаи
Первого рода
\[\Gamma_{nij}\]
Второго рода
\[\Gamma^{k}_{ij}\]