Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Тензоры (Операции ("Жонглирование" индексами
Метрический…
Тензоры
:warning: Что изучает?
Тензор – многокомпонентная величина, характеризующаяся своим поведением при преобразованиях координат.
:memo: Обозначается: \(t_{ijk\ldots}^{lmn\ldots}\)
:warning: Зачем в физике?
Тензоры позволяют описать свойства реальности (физики) независимо от используемой системы координат
-
Строгое определение
\(p\)-линейная форма
Ортогональный тензор – геометрический объект, определенный коэффициентами полилинейной (\(p\)-линейной) формы, записанные в некотором ортонормированном базисе.
-
Основные понятия
-
-
Координаты
Ковариантные координаты
(преобразуются как базисные векторы)
:notebook_with_decorative_cover: обозначаются: \(x_k\)
Преобразование для тензора первого ранга:
\(x_k = A_k^j x_j\)
-
Контрвариантные координаты
(преобразуются противоположно базисным векторам, компенсируют изменение)
:notebook_with_decorative_cover: обозначаются: \(x^k\)
Преобразование для тензора первого ранга:
\(x^k = A^k_j x^j\)
-
Соглашение о суммировании Эйнштейна
Выражение вида:
\[\mathbf{x} = x_1 \mathbf{e_1} + x_2 \mathbf{e_2}+\dots+x_n \mathbf{e_n}=\sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e_i}\]
Можно записать так (без знака суммы, до \(n\) по повторяющемуся индексу):
\[\mathbf{x} = x_i \mathbf{e_i}\]
Операции
-
Тензорное произведение aka Внешнее произведение
- Ранг увеличивается: \(p=q+r\)
- \(c_{ijklm}=a_{ijk}b_{lm}\)
-
Свертка
Внутреннее произведение
Суммирование по свободному индексу
\(c_{i}=a_{ij}b^j=a_{i1}b^1+a_{i2}b^2+a_{i3}b^3\)
:warning: уменьшение ранга
Сравнение
- Равны ранги
- Равны коэффициенты попарно (в любой системе координат)
-
-
-
Особые классы тензоров
-
-
Псевдотензор
Тензор, для которого преобразование выполняется с весом \(|\gamma|^M\), т. е. определитель матрицы обратного преобразования координат в степени \(M\).
Особые виды теноров
Метрический тензор – определяет геометрическую структуру пространства
:memo: Обозначается: \(g_{ik}\)
\(g_{ik} = e_i \cdot e_k\)
-
Специальные виды метрик
Псевдоевклидова метрика
Метрика Минковского
\[g_{ik} = - \delta_{ik},\; g_{00} = 1\]
:warning: в специальной теории относительности
-
Свойства
-
Симметричный
\(g_{ik}=g_{ki}\)
:warning: надо, чтобы скалярное произведение было симметричным
-
Невырожденность
\(\det(g_{ik}) \neq 0\)
:warning: надо, чтобы можно было и опускать и поднимать индексы
Тензор Леви-Чивита
Символ Леви-Чивита aka Кососимметричный символ Кронекера\(\epsilon_{ijk} = 1\) (\(ijk=123\) и циклически сдвигаем налево)
\(\epsilon_{ijk} = -1\) (\(ijk=321\) и циклически сдвигаем налево)
\(\epsilon_{ijk} = 0\) (в остальных)
Векторное произведение векторов
с использованием символа Леви-Чивиты
\(a_i \times a_j = \epsilon_{ijk} a_k\)
Детерминант
с использованием символа Леви-Чивиты
\(\det(\mathbf{M})= \epsilon_{ijk} a_i b_j c_k\)
здесь \(a, b, c\) – строки матрицы
Тензорный анализ
Тензорное поле – поле, в котором каждой точке пространства задан тензор определенного ранга.
\(a_{ijk}=a_{ijk}(x)\)
Дифференцирование
Ковариантное дифференцирование
Независящая от системы координат производная по направлению.
\[\boldsymbol{\nabla}_{\mathbf{V}} \mathbf{A}\]
-
-
Классы векторных полей
Безвихривое aka ПотенциальноеПризнак:
\(\boldsymbol{\nabla}_i\times\mathbf{A} = 0\)
Вихревое aka СоленоидальноеПризнак:
\(\boldsymbol{\nabla}_i \mathbf{A} = 0\)
Основные понятия
Набла aka Оператор Гамильтона
Векторный дифференциальный оператор
:memo: Обозначается: \(\nabla\)
В декартовых координат:
\(\boldsymbol{\nabla} = \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k}\)
Градиент
вектор для скалярного поля
:memo: Обозначается: \(\mathrm{grad}_i \phi\)
Через оператор набла:
\(\mathrm{grad}_i \phi = \boldsymbol{\nabla}_i\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x_i}\)
Производная по направлению
вектор для скалярного поля
Через оператор набла:
\((\mathbf{l}\boldsymbol{\nabla}_i)\phi = \frac{\partial \phi}{\partial x_i}l_i\)
Дивергенция
скаляр для векторного поля
:memo: Обозначается: \(\mathrm{div}_i \mathbf{A}\)
Через оператор набла:
\(\mathrm{div}_i \mathbf{A} = \boldsymbol{\nabla}_i\mathbf{A} = \frac{\partial A_i}{\partial x_i}\)
:warning: характеризует плотность источников поля
Ротор
вектор для векторного поля
:memo: Обозначается: \(\mathrm{rot}_i \mathbf{A}\)
Через оператор набла:
\(\mathrm{rot}_i \mathbf{A} = \boldsymbol{\nabla}_i\times\mathbf{A} = \epsilon_{ijk}\frac{\partial A_k}{\partial xj}\)
Здесь \(\epsilon_{ijk}\) – символ Леви-Чивита
-
\[\nabla (\nabla \mathbf{A}) = \mathrm{grad} \,\mathrm{div} \,\mathbf{A}\]
Важные теоремы
Теорема
Гаусса-Остроградского
\[\iiint_V\ \; \boldsymbol{\nabla}_i\mathbf{A} \; d V = \iint_S\ \; \mathbf{A} \; d \mathbf{S}\]
Теорема
Стокса
\[\oint_L\ \; \mathbf{A} \; d \mathbf{r} = \iint_S\ \; \boldsymbol{\nabla}_i\times\mathbf{A} \; d \mathbf{S}\]
Теорема
Грина
\[\oint_L\ \; M \; dx + L\; dy = \iint_S\ \; \frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial L}{\partial x} \; dxdy \]
-
-
Циркуляция векторного поля вдоль замкнутой кривой
скаляр векторного поля
\[\oint_L\ \; \mathbf{A} d \mathbf{r}\]
-
-
-