Please enable JavaScript.

Coggle requires JavaScript to display documents.

Статистическая физика (Статистическое описание материи (Газ (Квантовый газ…

- - - - Идеальный квантовый газ
        
        Статистика Бозе-Эйнштейна
        
        Распределение
        
        Электромагнитное излучение
        
        Формула Планка
        
        Приближения
        
        Закон Стефана-Больцмана
        
        Закон Вина
        
        Закон Рэлея-Джинса
        
        Статистика Ферми-Дирака
        
        Распределение
        
        Электронный газ
        
        Вырожденный электронный газ
        
        Эффект Ричардсона aka термоэлектронная эмиссия
      - Неидеальный квантовый газ
    - - Реальные
        
        Газ Ван-дер-Ваальса
        
        Уравнение Ван-дер-Ваальса
        
        Уравнение состояния для реального газа
        
        Модели потенциала взаимодействия
        
        Потенциал Леннадра-Джонса aka LJ-потенциал
        
        \[U(r) = 4 \epsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^6 \right] \]
        
        Потенциал Букингема
      - Идеальный
        
        Распределение Больцмана
        
        Распределение Максвелла-Больцмана
        
        Скорость
        
        Наиболее вероятная
        
        Средняя
        
        Средняя энергия
        
        Уравнение состояния для идеального газа
        
        Газовая постоянная
- - - - Микросостояния
      - Макросостояния
    - - Метод ансамблей Гиббса
        
        Принцип
        
        Используют 6N-мерное фазовое пространство микросостояний (3N - координат, 3N - импульсов)
        
        Рассматривается множество копий системы в одинаковых макроскопических условиях (эргодическая гипотеза) – ансамбль Гиббса
        
        :warning: ансамбль Гиббса описывает макросостояние
        
        Эргодическая гипотеза
        Усреднение по времени эквивалентно усреднению по ансамблю
        
        Способы выбора ансамбля
        
        Общий вид функции распределения
        \(\rho_e = e^{-\Phi-\sum_m F_m A_m(p,q)}\)
        здесь \(\Phi\) и \(F_m\) – множители Лагранжа, определяемые через:
        
        Условие нормировки: \(\int \rho_e \; d\Gamma' = 1\)
        
        Выражение для маропараметра: \(\int A_m \rho_e \; d\Gamma' = \langle A_m \rangle \)
        
        :!?: находится через максимальный энтропийный принцип (с учетом ограничений) #
        
        Общий вид энтропии
        \(\rho_e = \Phi+\sum_m F_m \langle A_m \rangle \)
        
        Термодинамическая эквивалентность равновесных ансамблей
        Соотношения между термодинамическими величинами в термодинамическом пределе совпадают для любого ансамбля
        
        Теорема Гиббса о каноническом распределении
        Малая часть микроканонического ансамбля распределена канонически
        
        Термодинамический предел
        \(N \to \infty \) и \(V \to \infty \) при \(n=\frac{N}{V}=\text{const}\)
        
        Простейшие равновесные распределения ансамбля Гиббса
        
        :star:
        Большой канонический ансамбль
        Изолированность: :no_entry:
        Постоянный объем: :check:
        Постоянное количество частиц: :no_entry:
        Равновесие с тепловым резервуаром: :check:
        Внешние параметры: \(V, \bar N, \bar E\).
        Равновесное большое каноническое распределение Гиббса (функция распределения)
        \[\rho_{e,N} = e^{-\Psi - \beta H_N - \nu N} \]
        Большая статистическая сумма
        \[\Sigma = \sum_{N=0}^\infty e^{-\nu N} \int e^{-\beta H_N} \; d\Gamma_N' = \sum_{N=0}^\infty Z_N e^{-\nu N} \]
        Термодинамические величины: \(T, \mu, V\).
        
        Функция распределения
        \[\rho_{e, N} = \frac{\Omega-H_N+\mu N}{k_B T}\]
        здесь \(\Omega\) – большой термодинамический потенциал
        
        3 more items...
        
        Ансамбль Эренфеста
        
        :star:
        Микроканонический ансамбль
        Изолированность: :check:
        Постоянный объем: :check:
        Постоянное количество частиц: :check:
        Все системы имеют одинаковую энергию: \(E \gg \Delta E\)
        Внешние параметры: \(V, N, E\).
        Равновесное микроканоническое распределение Гиббса (функция распределения)
        \[\rho_e = e^{-\Phi} = \frac{1}{\Delta \Gamma'}\]
        (в интервале \([E,E+\Delta E]\), вне 0)
        
        Термодинамические величины: \(E, N, V\).
        
        Функция распределения
        \[\rho_e = \frac{\delta(H-E)}{\frac{d \Gamma'}{dE}}\]
        где \(\frac{d \Gamma'}{dE}\) – плотность состояний на поверхности постоянной энергии
        :!?: явно записываем интервальное ограничение через функцию Хэвисайда, затем предельным переходом приходим к дельта-функции
        
        1 more item...
        
        :star:
        Канонический ансамбль
        Изолированность: :no_entry:
        Постоянный объем: :check:
        Постоянное количество частиц: :check:
        Равновесие с тепловым резервуаром: :check:
        Внешние параметры: \(V, N, \bar E\).
        Равновесное каноническое распределение Гиббса (функция распределения)
        \[\rho_e = e^{-\Psi - \beta H} \]
        Статистический интеграл
        \[Z = \int e^{-\beta H} \; d\Gamma' \]
        Термодинамические величины: \(T, N, V\).
        
        Функция распределения
        \[\rho_e = \frac{F-H}{k_B T}\]
        здесь \(F\) – свободная энергия
        
        3 more items...
        
        :star:
        Изотермо-изобарический ансамбль aka \(p-T\)-ансамбль aka открытый ансамбль
        Изолированность: :no_entry:
        Постоянный объем: :check:
        Постоянное количество частиц: :check:
        Равновесие с тепловым резервуаром: :check:
        Постоянный объем: :no_entry:
        Внешние параметры: \(\bar V, N, \bar E\).
        Равновесное \(p-T\) распределение Гиббса (функция распределения)
        \[\rho_{e,V} = e^{-\Psi - \beta H_N - \gamma V} \]
        Статистическая сумма \(p-T\) ансамбля
        \[\Sigma = \int_{0}^\infty dV \; \int_{\Gamma_V} e^{-\beta H - \gamma V} \; d\Gamma' \]
        
        Термодинамические величины: \(T, N, P\).
        
        Функция распределения
        \[\rho_{e, V} = \frac{G-H_N+pV}{k_B T}\]
        здесь \(G\) – термодинамический потенциал Гиббса
        
        2 more items...
        
        Энтропия – характеристика
        статистического разброса (реализация \(i\)-ой копии в ансамбле)
        \(\omega_i\) – функция распределения (вероятность попасть в \(i\)-ую реализацию системы в ансамбле Гиббса)
        :warning: характеристика целого ансамбля
        
        Дискретный случай
        \(\sigma = -\sum_i \omega_i \ln(\omega_i)\)
        Нормировка
        \(\sum_i \omega_i = 1\)
        
        Энтропия как среднее
        \[\sigma= -\langle \ln(\omega) \rangle\]
        
        Экстремальный энтропийный принцип
        Поиск вида функции распределения \(\rho\) по двум критерия:
        
        Условие нормировки
        
        Равновесное состояние системы, то есть равновероятные состояния, то есть максимальная энтропия
        
        :!?: Используется метод множителей Лагранжа для вывода
        
        Свойства
        
        Аддитивность независимых подсистем
        :!?: из свойства логарифма
        
        Минимальное значение в упорядоченном состоянии
        \(\sigma \ge 0\)
        :!?: Подстановка \(\omega = \delta_{ij}\)
        
        Максимальное значение в хаотичном состоянии
        \(\sigma \le \ln(N)\)
        :!?: для дискретного случая: так как \(\ln\) – вогнутая функция, то применимо неравенство Йенсена (с знаком в другую сторону)
        
        Неравенство Йенсена
        для выпуклой функции
        \[\sum xf(y) \le f\left(\sum x y\right) \]
        
        Не зависит от времени энтропия полного ансамбля
        
        Непрерывный случай
        \(\sigma = -\int \rho(p, q) \ln(\rho(p, q)) \;d \Gamma' \)
        
        Нормировка
        \(\int \;d \Gamma' = 1\)
        
        Энтропия как среднее
        \[\sigma= -\langle \ln(\rho(p, q)) \rangle\]
        
        Основные понятия
        
        Фазовое пространство – математическое понятие, характеризующее "картину" изменений состояния системы.
        Координаты: \(q\) и \(p\)
        
        Функция статистического распределения – плотность распределения вероятностей в фазовом пространстве.
        :memo: Обозначается: \(\rho(p, q)\)
        Вероятность
        Вероятность обнаружения подсистемы в состоянии \(\Delta p \Delta q\) вводится как:
        \[\omega = \lim_{T\to\infty} \frac{\Delta t}{T}\]
        здесь \(\Delta t\) – интервал времени, в течение которого подсистема находилась в состоянии \(\Delta p \Delta q\)
        
        Квазизамкнутые подсистемы – подсистемы, количеством взаимодействующих частиц в которой можно пренебречь
        :warning: актуально в течение коротких промежутков времени
        :warning: на длинных интервалах времени взаимодействие существенно (оно приводит к равновесию всей системы)
        
        1 more item...
        
        Среднее значение физической величины
        Статистическое усреднение
        \[ \langle f \rangle = \bar f = \ \int f(p,q) \rho(p, q) \; d\Gamma' \]
        Временное усреднение
        \[ \langle f \rangle = \bar f = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T f(t) \; dt \]
        :warning: форма функции распределения \(f\) имеет пиковый характер (около \(\bar f\)).
        
        1 more item...
        
        Условие нормировки
        \[\int \rho(p, q) \; dp dq = 1\]
        
        1 more item...
        
        Средняя квадратичная флуктуация aka СКО
        \[ \sqrt{\langle (\Delta f)^2 \rangle } = \sqrt{\bar{ f^2} - (\bar f)^2}\]
        
        1 more item...
        
        Уравнение движения
        Уравнения Гамильтона
        
        2 more items...
        
        В фазовом пространстве микросостояний ансамбль Гиббса – "облако" точек, характеризуемый функцией распределения \(\rho\)
      - Комбинаторный метод aka метод Больцмана
        
        Принцип
        Используют 6-мерном фазовое пространство микросостояний
- - - - Приращение энтропия
        \[\delta Q = TdS\]
        
        Адиабатический процесс
        процесс, когда нет обмена теплом с внешней средой
        \[\delta Q = 0\]
      - Приращение работы
        \[\delta R = - PdV + \sum_i \Lambda_i d \lambda_i\]
  - - - Виды внешних параметров
        
        Механические
        \(E, V, N\)
        
        Статистические
        \(S, T, \mu\)
      - Количество термодинамических степеней свободы – количество независимых термодинамических параметров
      - Связи между изменениями термодинамических величина
        :warning: квазистатический процесс
        
        Основное термодинамическое соотношение
        \[dE = TdS - PdV + \mu dN + \sum_i \Lambda_i d \lambda_i\]
        где \(\Lambda_i = \langle\frac{\partial H_N}{\partial \lambda_i}\rangle\)
        
        Термодинамические потенциалы
        Хранят полные сведения о системе в равновесии
        
        Большой термодинамический потенциал
        \[\Omega = E-TS-\mu N\]
        
        Свободная энергия
        aka свободная энергия Геймгольца
        \[F = E-TS\]
        
        Энтальпия
        aka теплосодержание
        \[H = E+PV\]
        
        Свойства
        
        Минимальность в равновесии
        Термодинамические потенциалы минимальны в равновесии
        
        Термодинамический потенциал Гиббса
        \[G = \Phi = E-TS+PV\]