Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
JAKUB GALLIK - KMITAVÝ POHYB - Coggle Diagram
JAKUB GALLIK - KMITAVÝ POHYB
ZRÝCHLENIE KMITAVÉHO POHYBU
Podstata a charakter zrýchlenia
Kmitavý pohyb je NEROVNOMERNE zrýchlený / spomalený pohyb
Veľkosť zrýchlenia sa neustále periodicky mení od 0 po maximum
Odvodenie vzťahu pre okamžité zrýchlenie
Priemet dostredivého zrýchlenia kruhového pohybu a_d do osi y
Dostredivé zrýchlenie: a_d = ω² · r = ω² · y_m
Pravouhlý priemet: a_y = a_d · sin(φ) = ω² · y_m · sin(ωt)
Zohľadnenie orientácie: a_d smeruje do stredu, proti výchylke y
Kľúčové rovnice zrýchlenia
Časová závislosť: a = - ω² · y_m · sin(ωt)
Závislosť od výchylky: a = - ω² · y
Amplitúda zrýchlenia: a_m = ω² · y_m [m·s⁻²]
Orientácia a smer vektora zrýchlenia a
VŽDY má OPAČNÝ smer ako vektor okamžitej výchylky y (znamienko mínus)
VŽDY SMERUJE DO ROVNOVÁŽNEJ POLOHY (vratný charakter)
Priebeh pohybu v jednotlivých fázach kmitu
Pohyb z amplitúdy do rovnovážnej polohy → ZRÝCHLENÝ
Vektor zrýchlenia a má ROVNAKÝ smer ako pohyb telesa (rýchlosť v)
Teleso naberá rýchlosť, v rovnovážnej polohe dosiahne maximum v_m
Pohyb z rovnovážnej polohy do amplitúdy → SPOMALENÝ
Vektor zrýchlenia a má OPAČNÝ smer ako pohyb telesa (brzdí ho)
Teleso stráca rýchlosť, v amplitúde sa na okamih zastaví (v = 0)
Hodnoty zrýchlenia v hraničných polohách
V rovnovážnej polohe (y = 0): zrýchlenie je NULOVÉ (a = 0)
V amplitúde (y = ±y_m): zrýchlenie je MAXIMÁLNE (|a| = a_m)
Prečo v amplitúde max? Nastáva zmena smeru rýchlosti v (najväčšia zmena Δv / Δt)
ZLOŽENÉ KMITANIE (SUPERPOZÍCIA)
Princíp superpozície kmitov
Ak teleso koná súčasne viac harmonických kmitov rovnakého smeru
Výsledná okamžitá výchylka je algebrickým súčtom zložiek: y_v = y₁ + y₂ + ... + y_n
Príklad: teleso zavesené na dvoch rôznych sériových pružinách
Skladanie izochrónnych kmitov (f₁ = f₂, T₁ = T₂)
Izochrónne kmity: rovnaká frekvencia, prebiehajú v jednej priamke
Rovnaká fáza (Δφ = 0 rad) → ZOSILNENIE
Výsledné kmitanie je zosilnené
Výsledná amplitúda: y_mv = y_m1 + y_m2
Opačná fáza (Δφ = π rad) → ZOSLABENIE / RUŠENIE
Výsledné kmitanie je zoslabené
Výsledná amplitúda: y_mv = |y_m1 - y_m2|
ÚPLNÉ RUŠENIE KMITOV: ak y_m1 = y_m2 ⇒ y_mv = 0 (pokoj telesa)
Ľubovoľný fázový posun Δφ (Fázorový diagram)
Kmity znázornené rotujúcimi vektormi (fázormi) Y₁, Y₂
Výsledný fázor je VEKTOROVÝM SÚČTOM: Y_v = Y₁ + Y₂
Časový diagram vznikne bodovým sčítaním okamžitých výchyliek
Skladanie neizochrónnych kmitov (f₁ ≠ f₂)
Celočíselný pomer frekvencií (napr. f₁ : f₂ = 1 : 2)
Výsledný pohyb je periodický, ale NIE JE harmonický (zložený tvar)
Blízke frekvencie (f₁ ≈ f₂, ω₁ → ω₂) → RÁZY (ZÁZNUSY)
Vzniká zložené kmitanie s periodickým kolísaním amplitúdy
Amplitúda sa pravidelne zväčšuje a zmenšuje
Akustika: periodické zosilňovanie a zoslabovanie hlasitosti zvuku
Praktické využitie: ladenie hudobných nástrojov podľa ladičky
ZHRNUTIE
Kľúčové porovnanie: Rovnovážna poloha vs. Amplitúda
V rovnovážnej polohe (y = 0)
Výchylka: y = 0
Rýchlosť: MAXIMÁLNA (|v| = v_m = ω · y_m)
Zrýchlenie: NULOVÉ (a = 0)
V amplitúde (krajná úvrať, y = ±y_m)
Výchylka: MAXIMÁLNA (|y| = y_m)
Rýchlosť: NULOVÁ (v = 0, bod obratu)
Zrýchlenie: MAXIMÁLNE (|a| = a_m = ω² · y_m)
Súhrn všetkých vzorcov
Perióda a frekvencia: T = 1 / f ; f = 1 / T
Uhlová frekvencia: ω = 2π / T = 2π · f
Okamžitá výchylka: y = y_m · sin(ωt + φ₀)
Okamžitá rýchlosť: v = v_m · cos(ωt + φ₀) ; v_m = ω · y_m
Okamžité zrýchlenie: a = - ω² · y_m · sin(ωt + φ₀) = - ω² · y
Amplitúda zrýchlenia: a_m = ω² · y_m
Superpozícia: y_v = y₁ + y₂
Zložená amplitúda pri rovnakej fáze: y_mv = y_m1 + y_m2
Zložená amplitúda pri opačnej fáze: y_mv = |y_m1 - y_m2|
Odpovede na testy z prezentácií
Zrýchlenie v rovnovážnej polohe? → NULOVÉ
Zrýchlenie v amplitúde? → MAXIMÁLNE (a_m = ω² y_m)
Smer vektora zrýchlenia? → Opačný ako okamžitá výchylka (do rovnováhy)
Pohyb z amplitúdy do rovnováhy? → Zrýchlený
Pohyb z rovnováhy do amplitúdy? → Spomalený
Izochrónne kmity majú? → Rovnakú frekvenciu f a periódu T
Fázor zloženého kmitania určíme? → Vektorovým súčtom fázorov (Y_v = Y₁ + Y₂)
Izochrónne kmitanie sa ruší pri? → Rovnakej amplitúde a opačnej fáze
Rázy vznikajú pri? → Skladaní kmitov s blízkymi frekvenciami (ω₁ ≈ ω₂)
ZÁKLADNÉ POJMY & OSCILÁTOR
Definícia kmitavého pohybu (kmitania)
Pohyb, ktorý sa pravidelne opakuje okolo rovnovážnej polohy
Teleso striedavo mení smer pohybu a vracia sa do počiatočného stavu
Mechanický oscilátor
Zariadenie schopné voľne kmitať bez vonkajšieho pôsobenia
Reálne príklady oscilátorov
Kyvadlo (pondusové / kyvadlové hodiny)
Teleso zavesené na pružine (bungee jumping)
Pružná tyč na jednom konci upevnená (drumbľa)
Kvapalina v U-trubici
Hodinový nepokoj (zotrvačník so špirálovou pružinou)
Príčina vzniku kmitania
Pôsobenie vratných síl smerujúcich do rovnovážnej polohy
Tiažová sila F_G (napr. kyvadlo, kvapalina)
Sila pružnosti F_p (napr. pružina, struna)
Kinematické vlastnosti kmitania
Trajektória: priamočiary (pružina), krivočiary (kyvadlo), otáčavý (nepokoj)
Rýchlosť: VŽDY nerovnomerný pohyb (rýchlosť sa neustále mení)
Základné periodické veličiny
Kmit
Jedna periodicky sa opakujúca časť pohybu (tam a späť)
Perióda (doba kmitu) T
Čas, za ktorý prebehne presne jeden kmit
Jednotka: [T] = s (sekunda)
Vzorec: T = 1 / f = f⁻¹
Frekvencia (kmitočet) f
Počet kmitov vykonaných za 1 sekundu
Jednotka: [f] = s⁻¹ = 1 Hz (Hertz, Heinrich Hertz)
Vzorec: f = 1 / T
Príklad zo života: srdce 75 tepov/min → T = 0,8 s, f = 1,25 Hz
KINEMATIKA HARMONICKÉHO KMITANIA
Harmonický kmitavý pohyb
Jednoduchý kmitavý pohyb, ktorého časovým diagramom je sínusoida
Analógia s rovnomerným pohybom po kružnici
Pravouhlý priemet kruhového pohybu do kolmej priamky = harmonický kmit
Priemet sprievodiča na os y → okamžitá výchylka y
Veľkosť sprievodiča r → amplitúda výchylky y_m (r = y_m)
Uhol otočenia sprievodiča φ → fáza kmitavého pohybu (φ = ωt)
Uhlová rýchlosť kruhu ω → uhlová frekvencia kmitania ω
Rovnica okamžitej výchylky y(t)
Základný tvar (t₀ = 0 s v rovnováhe): y = y_m · sin(ωt)
Odvodenie z trojuholníka: sin(φ) = y / r ⇒ y = y_m · sin(ωt)
Veličiny v rovnici
y ... okamžitá výchylka z rovnovážnej polohy [m]
y_m ... amplitúda výchylky (maximálna výchylka) [m]
ω ... uhlová frekvencia: ω = 2π / T = 2π · f [rad·s⁻¹]
t ... čas od začiatku kmitania [s]
Okamžitá rýchlosť kmitavého pohybu v(t)
Vzorec: v = v_m · cos(ωt) = ω · y_m · cos(ωt)
Amplitúda rýchlosti: v_m = ω · y_m [m·s⁻¹]
V rovnovážnej polohe (y = 0): rýchlosť je MAXIMÁLNA (|v| = v_m)
V amplitúde (y = ±y_m): rýchlosť je NULOVÁ (v = 0, obrat pohybu)
FÁZA KMITAVÉHO POHYBU
Všeobecná rovnica harmonického kmitania
Vzorec: y = y_m · sin(ωt + φ₀)
Celková fáza φ = ωt + φ₀ [rad]: jednoznačne určuje stav kmitania v čase t
Začiatočná fáza φ₀
Určuje polohu a smer pohybu oscilátora v počiatočnom čase t₀ = 0 s
Typické hodnoty φ₀ podľa polohy v čase t₀ = 0 s
φ₀ = 0 rad (0°) → rovnovážna poloha, smer NAHOR (+y)
φ₀ = π/2 rad (90°) → horná amplitúda (y = +y_m)
φ₀ = π rad (180°) → rovnovážna poloha, smer NADOL (-y)
φ₀ = 3π/2 rad (-π/2 rad, 270°) → dolná amplitúda (y = -y_m)
Fázový posun (fázový rozdiel) Δφ
Vzorec: Δφ = φ₂ - φ₁
Kmity s ROVNAKOU fázou (súfázové)
Δφ = 0 rad (alebo 2kπ)
Oscilátory prechádzajú rovnováhou aj amplitúdami súčasne rovnakým smerom
Kmity s OPAČNOU fázou (protifázové)
Δφ = π rad (alebo (2k+1)π)
Oscilátory sa pohybujú v každom okamihu presne opačnými smermi