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ALGEBRA - UNIDAD 1 | UNIDAD 2 - Coggle Diagram
ALGEBRA - UNIDAD 1 | UNIDAD 2
Lenguaje y simbolos
∈ pertenece · ∉ no pertenece · ⊂ subconjunto · ∅ vacío
∀ para todo · ∃ existe al menos uno · ∃! existe uno solo
⇒ implica ("si… entonces") · ⇔ si y solo si (equivale)
∧ y · ∨ o · ¬ no · ∪ unión · ∩ intersección
ℕ naturales · ℤ enteros · ℚ racionales · ℝ reales · ℂ complejos
{x / condición} = "los x tales que condición"
T1 Lógica de proposiciones
Proposición: enunciado que es V o F (no las dos a la vez). Ej: 2+2=4 sí · ¿qué hora es? no
Tablas de verdad (con 2 proposiciones salen 4 filas: VV VF FV FF)
Negación ¬R: cambia V por F
Conjunción R ∧ S: solo V si las dos son V → V F F F
Disyunción R ∨ S: V si al menos una es V → V V V F
Implicación R ⇒ S: solo F cuando R=V y S=F → V F V V
Idea: es una promesa; solo se rompe si R se cumple y S no. Si R es falsa, no se ha roto nada
R ⇒ S es lo mismo que ¬R ∨ S
Equivalencia R ⇔ S: es (R ⇒ S) ∧ (S ⇒ R) → V F F V (V cuando coinciden)
Tautología: siempre V (todas las filas V)
Fórmulas clave
Contrarrecíproco: (R ⇒ S) ⇔ (¬S ⇒ ¬R)
De Morgan: ¬(R ∧ S) ⇔ (¬R ∨ ¬S) y ¬(R ∨ S) ⇔ (¬R ∧ ¬S)
Transitividad: ((R ⇒ S) ∧ (S ⇒ T)) ⇒ (R ⇒ T)
Distributivas: R ∧ (S ∨ T) ⇔ (R ∧ S) ∨ (R ∧ T) y R ∨ (S ∧ T) ⇔ (R ∨ S) ∧ (R ∨ T)
Teorema: R ⇒ S (R hipótesis = lo que me dan, S tesis = lo que pruebo)
R es condición suficiente para S (con R basta) · S es necesaria para R (sin S no hay R)
Si R ⇔ S: condición necesaria y suficiente
Métodos de demostración
Directa: suponer R y llegar a S
Contrarrecíproco: probar ¬S ⇒ ¬R
Reducción al absurdo: suponer R ∧ ¬S y llegar a una contradicción
Inducción: P(0) cierta y ∀n, P(n) ⇒ P(n+1) (fichas de dominó)
Ej: 1+2+…+n = n(n+1)/2. Base n=1: 1=1 OK. Paso: n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2 OK
Cuantificadores: ∀ para todo (se refuta con un contraejemplo) · ∃ existe al menos uno
Negación: ¬(∀x P) ⇔ ∃x ¬P · ¬(∃x P) ⇔ ∀x ¬P
T2 Conjuntos, aplicaciones y grupos
Conjunto: colección de elementos, finita o infinita. Sin elementos = vacío
Notación: x ∈ E (pertenece) · A ⊂ B (A subconjunto de B)
A ⊂ E ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ E
Propiedades de ⊂
A ⊂ A
A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A=B
A ⊂ B y B ⊂ C ⇒ A ⊂ C
Unión A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} · Intersección A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
Ej: A={1,2,3}, B={3,4} → A∪B={1,2,3,4} · A∩B={3}
Propiedades de ∪ y ∩
Idempotencia: A ∪ A=A · A ∩ A=A
Conmutativa y asociativa
Distributivas: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C) · A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C)
Absorción: A ∪ (A ∩ B)=A=A ∩ (A ∪ B)
Aplicación (función) f: A → B
Definición: ∀x ∈ A ∃! y ∈ B / f(x)=y (cada x tiene UNA única imagen; puede sobrar elementos en B)
A = conjunto inicial · B = conjunto final
Imagen: Im(f)={y ∈ B / ∃x ∈ A, y=f(x)} (lo que realmente se alcanza)
NO es función si algún x no tiene imagen o tiene dos (ej: a Ana le asignan dos asientos)
Inyectiva: x1≠x2 ⇒ f(x1)≠f(x2) (o f(x1)=f(x2) ⇒ x1=x2). Nadie comparte destino
Ej: f(x)=2x sí · f(x)=x² en ℝ no, porque f(2)=f(−2)=4
Para refutarla: encontrar dos elementos distintos con la misma imagen
Sobreyectiva: ∀y ∈ B ∃x ∈ A / f(x)=y (Im(f)=B). No queda ningún elemento de B vacío
Ej: f(x)=x³ sí · f(x)=x² de ℝ a ℝ no, porque −1 no es imagen de nadie
Para refutarla: encontrar un y de B al que no llega nadie
Biyectiva: inyectiva y sobreyectiva (se puede "deshacer": existe inversa)
Método para clasificar: 1) ¿función? 2) ¿inyectiva? 3) ¿sobreyectiva? 4) biyectiva = 2 y 3
Operación y grupo
LCI (ley de composición interna): ∀a,b ∈ G, a*b ∈ G (el resultado no se sale del conjunto). Ej: la resta no es LCI en ℕ (2−5 ∉ ℕ)
Grupo (G,*): LCI + 3 axiomas
Asociativa: a(bc) = (ab)c
Neutro e: ae=ea=a (único). Es "el que no hace nada": 0 en la suma, 1 en el producto
Simétrico a': aa'=a'a=e
Si la ley es + se llama opuesto, si es · se llama inverso
Abeliano: además es conmutativa (ab=ba)
Ojo: (abc)'=c'b'a' (orden contrario, como zapatos y calcetines)
Ej: (ℤ,+) es grupo abeliano · (ℕ,+) no (sin opuestos) · (ℝ,·) no (el 0 no tiene inverso) · (ℝ−{0},·) sí
Grupos finitos
Orden del grupo = nº de elementos
Tabla de Cayley: ningún elemento se repite en filas ni columnas (necesario, pero hay que comprobar además la asociativa). Si es abeliano la tabla es simétrica
Ej (ℤ3,+): 0+x=x · 1+2=0 · 2+2=1. Neutro 0, 1'=2, 2'=1
Orden de un elemento: o(a)=n, el menor n tal que a
a
…*a (n veces)=e
Ej en (ℤ6,+): o(1)=6, o(2)=3, o(3)=2
Teorema de Lagrange: el orden de elementos y subgrupos divide al orden del grupo
Cíclico: un elemento (generador) genera todo el grupo (su orden = orden del grupo)
Todo cíclico es abeliano (al revés no)
Subgrupo generado por A: [A]
Ej: G={1,−1,i,−i} con ·: o(1)=1, o(−1)=2, o(i)=o(−i)=4 (i²=−1, i³=−i, i⁴=1) → cíclico generado por i
Subgrupo H de (G,*)
Definición: subconjunto que con la misma operación sigue siendo grupo
Test: H no vacío y ∀x,y ∈ H, x*y' ∈ H
Mismo neutro que G · Triviales: {e} y G
Intersección de subgrupos = subgrupo · unión NO (solo si uno contiene al otro)
Ej: 2ℤ (los pares) es subgrupo de (ℤ,+) · los impares no (no tienen el 0)
Subgrupo normal: ghg' ∈ H, o gHg'=H, o gH=Hg (vale con probar una). En un grupo abeliano todo subgrupo es normal
Homomorfismo f: (G1,*) → (G2,Δ)
Definición: aplicación que respeta la operación. f(a*b)=f(a) Δ f(b) y f(e1)=e2
Inyectivo: monomorfismo · sobreyectivo: epimorfismo · biyectivo: isomorfismo
Si G1=G2: endomorfismo (biyectivo: automorfismo)
Núcleo N(f)={x ∈ G1 / f(x)=e2} (lo que se aplasta al neutro) · Im(f)={y ∈ G2 / ∃x, f(x)=y}
Propiedad: f inyectivo ⇔ N(f)={e1}. N(f) es subgrupo normal de G1 e Im(f) es subgrupo de G2
Ej: f(x)=3x de (ℤ,+) a (ℤ,+): f(a+b)=3a+3b=f(a)+f(b) OK · N(f)={0} · Im(f)=múltiplos de 3
T3 Anillos y cuerpos
Anillo (A;+,·): dos operaciones enlazadas (como los números)
(A,+) grupo abeliano
(A,·) semigrupo (solo asociativa)
Distributiva: a·(b+c)=a·b+a·c y (b+c)·a=b·a+c·a
Cero del anillo 0A: neutro de la 1ª ley
Tipos de anillo
Unitario: tiene neutro de la 2ª ley (1A)
Abeliano: la 2ª ley es conmutativa
Íntegro (dominio de integridad): sin divisores de cero, a≠0 y b≠0 ⇒ a·b≠0
Divisor de cero: a≠0 y b≠0 con a·b=0. Ej: en ℤ6, 2·3=0 → ℤ6 NO es íntegro · ℤ sí lo es
Subanillo S: a + (−b) ∈ S y a·b ∈ S
Ideal I: subanillo y ∀a ∈ A, ∀i ∈ I: a·i ∈ I e i·a ∈ I ("absorbe"). Ej: los pares en ℤ
Característica: Carac(A)=p, el menor p tal que a+a+…+a (p veces)=0A. En ℤ6 es 6 · en ℤ es 0
Homomorfismo de anillos
f(a+b)=f(a)+f(b) y f(a·b)=f(a)·f(b)
f(0A)=0B
Núcleo N(f)={x / f(x)=0B}
Grupo multiplicativo U: elementos con inverso (0A nunca está)
Cuerpo (K;+,·): se puede sumar, restar, multiplicar y dividir
Anillo abeliano
Todo elemento ≠0 tiene inverso: U_K=K−{0}
Íntegro (sin divisores de cero)
Ej: ℚ, ℝ y ℂ son cuerpos · ℤ no (el 2 no tiene inverso entero) · ℤn es cuerpo ⇔ n es primo
Un cuerpo es íntegro: a·b=0 y a≠0 ⇒ a⁻¹·a·b=0 ⇒ b=0
Ejemplo resuelto (ℤ;⊕,⊗) con a⊕b=a+b+1 y a⊗b=a+b+ab
Neutro de ⊕: a+e+1=a ⇒ e=−1 (el cero del anillo)
Simétrico en ⊕: a+a'+1=−1 ⇒ a'=−a−2
Neutro de ⊗: a+e+ae=a ⇒ e(1+a)=0 ⇒ e=0 (el uno del anillo)
Conclusión: anillo abeliano y unitario
Chuleta Unidad 1
¿Es grupo? LCI + asociativa + neutro + simétrico
¿Es subgrupo? No vacío y x*y' ∈ H
¿Es anillo? (A,+) abeliano + (A,·) asociativa + distributiva
¿Es cuerpo? Anillo abeliano y unitario con inverso de todo elemento ≠0
¿Homomorfismo inyectivo? Núcleo = {neutro}
Tabla de verdad: columnas iguales = equivalentes
T1 El espacio vectorial
Vector en ℝⁿ: lista de n números. En ℝ² es una flecha en el plano, en ℝ³ en el espacio
Piezas: (V,+) grupo abeliano (vectores) y K cuerpo (escalares)
LCE (ley externa): λ·v ∈ V, con λ ∈ K y v ∈ V
Axiomas
1·v=v
λ·(μ·v) = (λ·μ)·v
(λ+μ)·v=λv+μv y λ·(u+v)=λu+λv
ℝⁿ: x = (x1,…,xn), λx = (λx1,…,λxn), x+y = (x1+y1,…,xn+yn)
Ej: (1,2)+(3,−1) = (4,1) · 3·(1,2) = (3,6)
Combinación lineal: L{vi}=λ1v1+…+λpvp (vector fabricado con los vi como ingredientes)
Independencia lineal (l.i.): λ1v1+…+λpvp=0 ⇒ todos los λ=0 (ninguno se fabrica con los demás)
Dependencia lineal (l.d.): se puede con algún λ≠0 (sobra alguno)
Sistema generador: todo vector de V es combinación lineal de ellos
Base: sistema generador y l.i. (ni falta ni sobra)
Nº de vectores de la base = dimensión
Todas las bases tienen el mismo nº de vectores
El vector nulo no puede estar en una base
Base canónica de ℝⁿ: e1 = (1,0,…,0), …, en = (0,…,0,1)
Dimensión: máximo nº de vectores l.i. (en ℝⁿ es n)
Cómo ver si es base en ℝ³: planteo α1u1+α2u2+α3u3=0 y miro si salen todos 0 (o determinante ≠ 0)
Ej: B={(1,2,3),(1,0,1),(0,2,2)} sale α = (1,−1,−1) porque (1,2,3)−(1,0,1)−(0,2,2)=0 → l.d. → no es base
T2 El subespacio vectorial
Subespacio S de V: S es espacio vectorial con las mismas leyes
Test: ∀u,v ∈ S, ∀λ,μ ∈ K: λu+μv ∈ S
El 0 está siempre en todo subespacio (si no está, no es subespacio)
Ecuaciones implícitas: relacionan las componentes. Ej: x+y+z=0
Ecuaciones paramétricas: x=α+β, y=β, z=α
Nº de parámetros = dimensión del subespacio
Base: un parámetro a 1 y los demás a 0
Regla: nº de incógnitas = nº de ecuaciones implícitas + nº de parámetros
Incógnitas = dim del espacio · parámetros = dim del subespacio
Si dim(E)=dim(V) ⇒ E=V
Ej: E=L{(1,0,1),(1,1,0)} → x=α(1,0,1)+β(1,1,0), implícita x=y+z, dim 2 (3 = 1 + 2 OK)
Ej que NO es subespacio: x+z=3 (no contiene el 0)
Ej: S={x+y+z=0} → base (1,−1,0) y (1,0,−1), dim 2
T3 La suma directa
Intersección: S1 ∩ S2={x / x ∈ S1 ∧ x ∈ S2} (siempre es subespacio)
Suma: S1+S2={x / x=x1+x2, x1 ∈ S1, x2 ∈ S2} (siempre es subespacio)
Unión: S1 ∪ S2={x / x ∈ S1 ∨ x ∈ S2} (en general NO es subespacio)
Solo lo es si S1 ⊆ S2 o S2 ⊆ S1
Ej: ejes X e Y de ℝ²: (1,0)+(0,1) = (1,1) no está en ninguno
Teorema de Grassmann: dim(S1)+dim(S2)=dim(S1+S2)+dim(S1 ∩ S2)
Suma directa S1 ⊕ S2=V
Independientes: S1 ∩ S2={0}
Suplementarios: S1+S2=V
Suma directa = independientes y suplementarios. Cada vector se escribe de forma ÚNICA como x1+x2
Cómo se calcula
Intersección: juntar las implícitas de los dos
Suma: coger los vectores l.i. de la unión de las dos bases
Ej: S1 ∩ S2={x+y=0, y+z=0} sale (α,−α,α), base {(1,−1,1)}, dim 1 → dim(S1+S2)=2+2−1=3=ℝ³ (suma, pero NO directa)
Ej suma directa: ℝ² = (eje X) ⊕ (eje Y); (3,5) = (3,0)+(0,5)
T4 El cambio de base
El vector no cambia, cambian sus componentes según la base (como dar una dirección en calles o en km)
Dos bases B y B'. Matriz de cambio de base C: sus columnas son los vectores de B' (la nueva) escritos en B (la antigua)
Fórmulas
De B' a B: C·(a,b,c)B' = (x,y,z)B
De B a B': C⁻¹·(x,y,z)B = (a,b,c)B'
Inversa: C⁻¹=Adj(C)ᵗ/|C|
Determinante 3x3 (Sarrus): 3 diagonales hacia abajo menos 3 hacia arriba
Cofactor: determinante 2x2 al tachar fila y columna, con signo + − + / − + − / + − +
Ej: v1=u1+2u2+u3, v2=u1+u3, v3=u2+u3
C tiene por columnas (1,2,1), (1,0,1), (0,1,1)
z = (1,1,1)B' pasa a C·(1,1,1) = (2,3,3)B
|C|=−2 · C⁻¹ = filas (½,½,−½), (½,−½,½), (−1,0,1) · comprobación: C⁻¹·(2,3,3) = (1,1,1) OK
Chuleta Unidad 2
¿Es base? l.i. + generador, nº de vectores = dimensión
¿Es subespacio? Contiene el 0 y λu+μv ∈ S
Dimensión de una suma: Grassmann
Cambio de base: C con columnas = base nueva escrita en la antigua