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ALGEBRA - Unidades 1 y 2 (estudio) - Coggle Diagram

- - - - Notación: x ∈ E (pertenece) · A ⊂ B (A subconjunto de B)
      - A ⊂ E ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ E
      - Propiedades de ⊂
        
        A ⊂ A
        
        A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A=B
        
        A ⊂ B y B ⊂ C ⇒ A ⊂ C
      - Unión A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} · Intersección A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
        
        Ej: A={1,2,3}, B={3,4} → A∪B={1,2,3,4} · A∩B={3}
      - Propiedades de ∪ y ∩
        
        Idempotencia: A ∪ A=A · A ∩ A=A
        
        Conmutativa y asociativa
        
        Distributivas: A ∪ (B ∩ C)=(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) · A ∩ (B ∪ C)=(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
        
        Absorción: A ∪ (A ∩ B)=A=A ∩ (A ∪ B)
    - - Definición: ∀x ∈ A ∃! y ∈ B / f(x)=y (cada x tiene UNA única imagen; puede sobrar elementos en B)
      - A = conjunto inicial · B = conjunto final
      - Imagen: Im(f)={y ∈ B / ∃x ∈ A, y=f(x)} (lo que realmente se alcanza)
      - NO es función si algún x no tiene imagen o tiene dos (ej: a Ana le asignan dos asientos)
      - Inyectiva: x1≠x2 ⇒ f(x1)≠f(x2) (o f(x1)=f(x2) ⇒ x1=x2). Nadie comparte destino
        
        Ej: f(x)=2x sí · f(x)=x² en ℝ no, porque f(2)=f(−2)=4
        
        Para refutarla: encontrar dos elementos distintos con la misma imagen
      - Sobreyectiva: ∀y ∈ B ∃x ∈ A / f(x)=y (Im(f)=B). No queda ningún elemento de B vacío
        
        Ej: f(x)=x³ sí · f(x)=x² de ℝ a ℝ no, porque −1 no es imagen de nadie
        
        Para refutarla: encontrar un y de B al que no llega nadie
      - Biyectiva: inyectiva y sobreyectiva (se puede "deshacer": existe inversa)
      - Método para clasificar: 1) ¿función? 2) ¿inyectiva? 3) ¿sobreyectiva? 4) biyectiva = 2 y 3
    - - 1) A={1,2,3,4}, B={a,b,c}, f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c, f(4)=c
        
        Función SÍ (cada elemento de A tiene una imagen)
        
        Inyectiva NO (f(3)=f(4)=c con 3≠4) · Sobreyectiva SÍ (Im(f)={a,b,c}=B) · Biyectiva NO
      - 2) f: ℝ → ℝ, f(x)=x²
        
        Función SÍ (cada x tiene un único x²)
        
        Inyectiva NO (f(2)=f(−2)=4) · Sobreyectiva NO (x²=−1 sin solución; Im(f)=[0,∞)≠ℝ) · Biyectiva NO
      - 3) Estudiante → su correo institucional (A=matriculados, B=correos de la universidad)
        
        Función SÍ (cada estudiante tiene un único correo)
        
        Inyectiva SÍ (dos estudiantes no comparten correo) · Sobreyectiva NO (hay correos de profesores y departamentos sin estudiante) · Biyectiva NO
      - 4) Película → categoría principal (A=películas, B=categorías)
        
        Función SÍ (cada película tiene una única categoría principal)
        
        Inyectiva NO (dos comedias distintas tienen la misma categoría) · Sobreyectiva SÍ (cada categoría tiene al menos una película) · Biyectiva NO
    - - LCI (ley de composición interna): ∀a,b ∈ G, a*b ∈ G (el resultado no se sale del conjunto). Ej: la resta no es LCI en ℕ (2−5 ∉ ℕ)
      - Grupo (G,*): LCI + 3 axiomas
        
        Asociativa: a(bc)=(ab)c
        
        Neutro e: ae=ea=a (único). Es "el que no hace nada": 0 en la suma, 1 en el producto
        
        Simétrico a': aa'=a'a=e
        
        Si la ley es + se llama opuesto, si es · se llama inverso
      - Abeliano: además es conmutativa (ab=ba)
      - Ojo: (abc)'=c'b'a' (orden contrario, como zapatos y calcetines)
      - Ej: (ℤ,+) es grupo abeliano · (ℕ,+) no (sin opuestos) · (ℝ,·) no (el 0 no tiene inverso) · (ℝ−{0},·) sí
    - - Orden del grupo = nº de elementos
      - Tabla de Cayley: ningún elemento se repite en filas ni columnas (necesario, pero hay que comprobar además la asociativa). Si es abeliano la tabla es simétrica
        
        Ej (ℤ3,+): 0+x=x · 1+2=0 · 2+2=1. Neutro 0, 1'=2, 2'=1
      - Orden de un elemento: o(a)=n, el menor n tal que aa…*a (n veces)=e
        
        Ej en (ℤ6,+): o(1)=6, o(2)=3, o(3)=2
      - Teorema de Lagrange: el orden de elementos y subgrupos divide al orden del grupo
      - Cíclico: un elemento (generador) genera todo el grupo (su orden = orden del grupo)
        
        Todo cíclico es abeliano (al revés no)
      - Subgrupo generado por A: [A]
      - Ej: G={1,−1,i,−i} con ·: o(1)=1, o(−1)=2, o(i)=o(−i)=4 (i²=−1, i³=−i, i⁴=1) → cíclico generado por i
    - - Definición: subconjunto que con la misma operación sigue siendo grupo
      - Test: H no vacío y ∀x,y ∈ H, x*y' ∈ H
      - Mismo neutro que G · Triviales: {e} y G
      - Intersección de subgrupos = subgrupo · unión NO (solo si uno contiene al otro)
      - Ej: 2ℤ (los pares) es subgrupo de (ℤ,+) · los impares no (no tienen el 0)
      - Subgrupo normal: ghg' ∈ H, o gHg'=H, o gH=Hg (vale con probar una). En un grupo abeliano todo subgrupo es normal
    - - Definición: aplicación que respeta la operación. f(a*b)=f(a) Δ f(b) y f(e1)=e2
      - Inyectivo: monomorfismo · sobreyectivo: epimorfismo · biyectivo: isomorfismo
      - Si G1=G2: endomorfismo (biyectivo: automorfismo)
      - Núcleo N(f)={x ∈ G1 / f(x)=e2} (lo que se aplasta al neutro) · Im(f)={y ∈ G2 / ∃x, f(x)=y}
      - Propiedad: f inyectivo ⇔ N(f)={e1}. N(f) es subgrupo normal de G1 e Im(f) es subgrupo de G2
      - Ej: f(x)=3x de (ℤ,+) a (ℤ,+): f(a+b)=3a+3b=f(a)+f(b) OK · N(f)={0} · Im(f)=múltiplos de 3