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ÁLGEBRA - Actividad 1 (Unidades 1 y 2) - Coggle Diagram
ÁLGEBRA - Actividad 1 (Unidades 1 y 2)
UNIDAD 1
Temas 1, 2 y 3
T1 Lógica de proposiciones
Proposición: enunciado que es V o F (no las 2 a la vez)
Conjunto: colección de elementos, finita o infinita. Sin elementos ＝ vacío
Notación: x ∈ E (pertenece) · A ⊂ B (A subconjunto de B)
A ⊂ E ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ E
Propiedades
A ⊂ A
A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A＝B
A ⊂ B y B ⊂ C ⇒ A ⊂ C
Tablas de verdad (con 2 prop. salen 4 filas: VV VF FV FF)
Negación ¬R: cambia V por F
Conjunción R ∧ S: solo V si las dos son V → V F F F
Disyunción R ∨ S: V si al menos una es V → V V V F
Implicación R ⇒ S: solo F cuando R＝V y S＝F → V F V V
R ⇒ S es lo mismo que ¬R ∨ S
Equivalencia R ⇔ S: es (R ⇒ S) ∧ (S ⇒ R) → V F F V
Tautología: siempre V
Contrarrecíproco: (R ⇒ S) ⇔ (¬S ⇒ ¬R)
De Morgan: ¬(R ∧ S) ⇔ (¬R ∨ ¬S)
Transitividad: ((R ⇒ S) ∧ (S ⇒ T)) ⇒ (R ⇒ T)
Distributivas: R ∧ (S ∨ T) ⇔ (R ∧ S) ∨ (R ∧ T) y R ∨ (S ∧ T) ⇔ (R ∨ S) ∧ (R ∨ T)
Teorema: R ⇒ S (R hipótesis, S tesis)
R es condición suficiente para S, S es necesaria para R
Si R ⇔ S: condición necesaria y suficiente
Demostración directa: suponer R y llegar a S
Contrarrecíproco: probar ¬S ⇒ ¬R
Reducción al absurdo: suponer R ∧ ¬S y llegar a una contradicción
Inducción: P(0) cierta y ∀n, P(n) ⇒ P(n+1)
Cuantificadores: ∀ para todo · ∃ existe al menos uno
T2 Conjuntos y grupos
Igualdad: A＝B ⇔ A ⊂ B y B ⊂ A
Unión A ∪ B＝{x / x ∈ A ∨ x ∈ B}
Intersección A ∩ B＝{x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
Propiedades de ∪ y ∩
Idempotencia: A ∪ A＝A · A ∩ A＝A
Conmutativa y asociativa
Distributivas: A ∪ (B ∩ C)＝(A ∪ B) ∩ (A ∪ C) · A ∩ (B ∪ C)＝(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Absorción: A ∪ (A ∩ B)＝A＝A ∩ (A ∪ B)
Aplicación f: A → B
∀x ∈ A ∃! y ∈ B / f(x)＝y (cada x tiene una única imagen)
A ＝ conjunto inicial · B ＝ conjunto final
Im(f)＝{y ∈ B / ∃x ∈ A, y＝f(x)}
Inyectiva: x1≠x2 ⇒ f(x1)≠f(x2) (o f(x1)＝f(x2) ⇒ x1＝x2)
Sobreyectiva: ∀y ∈ B ∃x ∈ A / f(x)＝y
Biyectiva: inyectiva y sobreyectiva
LCI (ley de composición interna): ∀a,b ∈ G, a*b ∈ G
Grupo (G,*): LCI + 3 axiomas
Asociativa: a
(b
c)＝(a
b)
c
Neutro e: a
e＝e
a＝a (único)
Simétrico a': a
a'＝a'
a＝e
Si la ley es + se llama opuesto, si es · se llama inverso
Abeliano: además es conmutativa (a
b＝b
a)
Ojo: (a
b
c)'＝c'
b'
a' (orden contrario)
Subgrupo H de (G,*)
H es subgrupo ⇔ ∀x,y ∈ H, x*y' ∈ H
Mismo neutro que G
Intersección de subgrupos ＝ subgrupo · unión NO (en general)
Triviales: {e} y G
Subgrupo normal: g
h
g' ∈ H, o g
H
g'＝H, o g
H＝H
g (vale con probar una)
Homomorfismo f: (G1,*) → (G2,Δ)
f(a*b)＝f(a) Δ f(b) y f(e1)＝e2
Inyectivo: monomorfismo · sobreyectivo: epimorfismo · biyectivo: isomorfismo
Si G1＝G2: endomorfismo (biyectivo: automorfismo)
Núcleo N(f)＝{x ∈ G1 / f(x)＝e2}
Im(f)＝{y ∈ G2 / ∃x, f(x)＝y}
Grupos finitos
Orden del grupo ＝ nº de elementos
Tabla de Cayley: no se repite ningún elemento en filas ni columnas → es grupo (si es abeliano la tabla es simétrica)
Orden de un elemento: o(a)＝n, el menor n tal que a
a
…*a＝e
Teorema de Lagrange: el orden de elementos y subgrupos divide al orden del grupo
Cíclico: un elemento genera todo el grupo (su orden ＝ orden del grupo)
Todo cíclico es abeliano (al revés no)
Subgrupo generado por A: [A]
Ej: G＝{1,−1,i,−i} con ·: o(1)＝1, o(−1)＝2, o(i)＝o(−i)＝4
T3 Anillos y cuerpos
Anillo (A;+,·)
(A,+) grupo abeliano
(A,·) semigrupo (solo asociativa)
Distributiva: a·(b+c)＝a·b+a·c y (b+c)·a＝b·a+c·a
Cero del anillo 0A: neutro de la 1ª ley
Tipos de anillo
Unitario: tiene neutro de la 2ª ley (1A)
Abeliano: la 2ª ley es conmutativa
Íntegro (dominio de integridad): sin divisores de cero, a≠0 y b≠0 ⇒ a·b≠0
Subanillo S: a + (−b) ∈ S y a·b ∈ S
Ideal I: subanillo y ∀a ∈ A, ∀i ∈ I: a·i ∈ I e i·a ∈ I
Característica: Carac(A)＝p ⇔ a+a+…+a (p veces)＝0A
Homomorfismo de anillos
f(a+b)＝f(a)*f(b) y f(a·b)＝f(a) Δ f(b)
f(01)＝02
Núcleo N(f)＝{x / f(x)＝02}
Grupo multiplicativo U: elementos con inverso (0A nunca está)
Cuerpo (K;+,·)
Anillo abeliano
Todo elemento ≠0 tiene inverso: U_K＝K−{0}
Íntegro (sin divisores de cero)
Ej: ℝ y ℂ son cuerpos
Un cuerpo es íntegro: a·b＝0 y a≠0 ⇒ a⁻¹·a·b＝0 ⇒ b＝0
Ejemplo (ℤ;⊕,⊗) con a⊕b＝a+b+1 y a⊗b＝a+b+ab
Neutro de ⊕ es −1 (el cero del anillo) · simétrico a'＝−a−2
Neutro de ⊗ es 0 (el uno del anillo)
Es anillo abeliano y unitario
UNIDAD 2
Temas 1, 2, 3 y 4
T1 El espacio vectorial
Piezas: (V,+) grupo abeliano (vectores) y K cuerpo (escalares)
LCE (ley externa): λ·v ∈ V, con λ ∈ K y v ∈ V
Axiomas
1·v＝v
λ·(μ·v)＝(λ·μ)·v
(λ+μ)·v＝λv+μv y λ·(u+v)＝λu+λv
ℝⁿ: x＝(x1,…,xn), λx＝(λx1,…,λxn), x+y＝(x1+y1,…,xn+yn)
Combinación lineal: L{vi}＝λ1v1+…+λpvp
Independencia lineal (l.i.): λ1v1+…+λpvp＝0 ⇒ todos los λ＝0
Dependencia lineal (l.d.): se puede con algún λ≠0
Sistema generador: todo vector de V es combinación lineal de ellos
Base: sistema generador y l.i.
Nº de vectores de la base ＝ dimensión
Todas las bases tienen el mismo nº de vectores
El vector nulo no puede estar en una base
Dimensión: máximo nº de vectores l.i. (en ℝⁿ es n)
Cómo ver si es base en ℝ³: planteo α1u1+α2u2+α3u3＝0 y miro si salen todos 0
B＝{(1,2,3),(1,0,1),(0,2,2)} sale α＝(1,−1,−1) → l.d. → no es base
T2 El subespacio vectorial
Subespacio S de V: S es espacio vectorial con las mismas leyes
S es subespacio ⇔ ∀u,v ∈ S, ∀λ,μ ∈ K: λu+μv ∈ S
El 0 está siempre en todo subespacio (si no está, no es subespacio)
Ecuaciones implícitas: relacionan las componentes. Ej: x+y+z＝0
Ecuaciones paramétricas: x＝α+β, y＝β, z＝α
Nº de parámetros ＝ dimensión del subespacio
Base: un parámetro a 1 y los demás a 0
Regla: nº de incógnitas＝nº de ecuaciones implícitas + nº de parámetros
Incógnitas ＝ dim del espacio · parámetros ＝ dim del subespacio
Si dim(E)＝dim(V) ⇒ E＝V
Ej: E＝L{(1,0,1),(1,1,0)} → x＝α(1,0,1)+β(1,1,0), implícita x＝y+z, dim 2
Ej que NO es subespacio: x+z＝3 (no contiene el 0)
T3 La suma directa
Intersección: S1 ∩ S2＝{x / x ∈ S1 ∧ x ∈ S2} (siempre es subespacio)
Suma: S1+S2＝{x / x＝x1+x2, x1 ∈ S1, x2 ∈ S2} (siempre es subespacio)
Unión: S1 ∪ S2＝{x / x ∈ S1 ∨ x ∈ S2} (en general NO es subespacio)
Solo lo es si S1 ⊆ S2 o S2 ⊆ S1
Teorema de Grassmann
dim(S1)+dim(S2)＝dim(S1+S2)+dim(S1 ∩ S2)
Suma directa S1 ⊕ S2＝V
Independientes: S1 ∩ S2＝{0}
Suplementarios: S1+S2＝V
Suma directa ＝ independientes y suplementarios
Cómo se calcula
Intersección: juntar las implícitas de los dos
Suma: coger los vectores l.i. de la unión de las dos bases
Ej: S1 ∩ S2＝{x+y＝0, y+z＝0} sale (α,−α,α), base {(1,−1,1)}, dim 1 → dim(S1+S2)＝2+2−1＝3＝ℝ³
T4 El cambio de base
El vector no cambia, cambian sus componentes según la base
Dos bases B y B'. Matriz de cambio de base C: sus columnas son los vectores de B' (la nueva) escritos en B (la antigua)
B → B' con C · B' → B con C⁻¹
De B' a B: C·(a,b,c)B'＝(x,y,z)B
De B a B': C⁻¹·(x,y,z)B＝(a,b,c)B'
Inversa: C⁻¹＝Adj(C)ᵗ/|C|
Ej: v1＝u1+2u2+u3, v2＝u1+u3, v3＝u2+u3
C tiene por columnas (1,2,1), (1,0,1), (0,1,1)
z＝(1,1,1)B' pasa a C·(1,1,1)＝(2,3,3)B