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ÁLGEBRA - resumen examen (U1 y U2) - Coggle Diagram
ÁLGEBRA - resumen examen (U1 y U2)
U1 · T1
Lógica de proposiciones
Proposición: enunciado que es V o F (no las 2 a la vez)
Conjunto: colección de elementos, finita o infinita. Sin elementos ＝ vacío
Notación: x ∈ E (pertenece) · A ⊂ B (A subconjunto de B)
A ⊂ E ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ E
Propiedades
A ⊂ A
A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A＝B
A ⊂ B y B ⊂ C ⇒ A ⊂ C
Tablas de verdad (con 2 prop. salen 4 filas: VV VF FV FF)
Negación ¬R: cambia V por F
Conjunción R ∧ S: solo V si las dos son V → V F F F
Disyunción R ∨ S: V si al menos una es V → V V V F
Implicación R ⇒ S: solo F cuando R＝V y S＝F → V F V V
R ⇒ S es lo mismo que ¬R ∨ S
Equivalencia R ⇔ S: es (R ⇒ S) ∧ (S ⇒ R) → V F F V
Tautología: siempre V
Contrarrecíproco: (R ⇒ S) ⇔ (¬S ⇒ ¬R)
De Morgan: ¬(R ∧ S) ⇔ (¬R ∨ ¬S)
Transitividad: ((R ⇒ S) ∧ (S ⇒ T)) ⇒ (R ⇒ T)
Distributivas: R ∧ (S ∨ T) ⇔ (R ∧ S) ∨ (R ∧ T) y R ∨ (S ∧ T) ⇔ (R ∨ S) ∧ (R ∨ T)
Teorema: R ⇒ S (R hipótesis, S tesis)
R es condición suficiente para S, S es necesaria para R
Si R ⇔ S: condición necesaria y suficiente
Demostración directa: suponer R y llegar a S
Contrarrecíproco: probar ¬S ⇒ ¬R
Reducción al absurdo: suponer R ∧ ¬S y llegar a una contradicción
Inducción: P(0) cierta y ∀n, P(n) ⇒ P(n+1)
Cuantificadores: ∀ para todo · ∃ existe al menos uno
U1 · T2
Conjuntos y grupos
U1 · T3
Anillos y cuerpos
Anillo (A;+,·)
(A,+) grupo abeliano
(A,·) semigrupo (solo asociativa)
Distributiva: a·(b+c)＝a·b+a·c y (b+c)·a＝b·a+c·a
Cero del anillo 0A: neutro de la 1ª ley
Tipos de anillo
Unitario: tiene neutro de la 2ª ley (1A)
Abeliano: la 2ª ley es conmutativa
Íntegro (dominio de integridad): sin divisores de cero, a≠0 y b≠0 ⇒ a·b≠0
Subanillo S: a + (−b) ∈ S y a·b ∈ S
Ideal I: subanillo y ∀a ∈ A, ∀i ∈ I: a·i ∈ I e i·a ∈ I
Característica: Carac(A)＝p ⇔ a+a+…+a (p veces)＝0A
Homomorfismo de anillos
f(a+b)＝f(a)*f(b) y f(a·b)＝f(a) Δ f(b)
f(01)＝02
Núcleo N(f)＝{x / f(x)＝02}
Grupo multiplicativo U: elementos con inverso (0A nunca está)
Cuerpo (K;+,·)
Anillo abeliano
Todo elemento ≠0 tiene inverso: U_K＝K−{0}
Íntegro (sin divisores de cero)
Ej: ℝ y ℂ son cuerpos
Un cuerpo es íntegro: a·b＝0 y a≠0 ⇒ a⁻¹·a·b＝0 ⇒ b＝0
Ejemplo (ℤ;⊕,⊗) con a⊕b＝a+b+1 y a⊗b＝a+b+ab
Neutro de ⊕ es −1 (el cero del anillo) · simétrico a'＝−a−2
Neutro de ⊗ es 0 (el uno del anillo)
Es anillo abeliano y unitario
U2 · T1
El espacio vectorial
U2 · T2
El subespacio vectorial
Subespacio S de V: S es espacio vectorial con las mismas leyes
S es subespacio ⇔ ∀u,v ∈ S, ∀λ,μ ∈ K: λu+μv ∈ S
El 0 está siempre en todo subespacio (si no está, no es subespacio)
Ecuaciones implícitas: relacionan las componentes. Ej: x+y+z＝0
Ecuaciones paramétricas: x＝α+β, y＝β, z＝α
Nº de parámetros ＝ dimensión del subespacio
Base: un parámetro a 1 y los demás a 0
Regla: nº de incógnitas＝nº de ecuaciones implícitas + nº de parámetros
Incógnitas ＝ dim del espacio · parámetros ＝ dim del subespacio
Si dim(E)＝dim(V) ⇒ E＝V
Ej: E＝L{(1,0,1),(1,1,0)} → x＝α(1,0,1)+β(1,1,0), implícita x＝y+z, dim 2
Ej que NO es subespacio: x+z＝3 (no contiene el 0)
U2 · T3
La suma directa
Intersección: S1 ∩ S2＝{x / x ∈ S1 ∧ x ∈ S2} (siempre es subespacio)
Suma: S1+S2＝{x / x＝x1+x2, x1 ∈ S1, x2 ∈ S2} (siempre es subespacio)
Unión: S1 ∪ S2＝{x / x ∈ S1 ∨ x ∈ S2} (en general NO es subespacio)
Solo lo es si S1 ⊆ S2 o S2 ⊆ S1
Teorema de Grassmann
dim(S1)+dim(S2)＝dim(S1+S2)+dim(S1 ∩ S2)
Suma directa S1 ⊕ S2＝V
Independientes: S1 ∩ S2＝{0}
Suplementarios: S1+S2＝V
Suma directa ＝ independientes y suplementarios
Cómo se calcula
Intersección: juntar las implícitas de los dos
Suma: coger los vectores l.i. de la unión de las dos bases
Ej: S1 ∩ S2＝{x+y＝0, y+z＝0} sale (α,−α,α), base {(1,−1,1)}, dim 1 → dim(S1+S2)＝2+2−1＝3＝ℝ³
U2 · T4
El cambio de base
El vector no cambia, cambian sus componentes según la base
Dos bases B y B'. Matriz de cambio de base C: sus columnas son los vectores de B' (la nueva) escritos en B (la antigua)
B → B' con C · B' → B con C⁻¹
De B' a B: C·(a,b,c)B'＝(x,y,z)B
De B a B': C⁻¹·(x,y,z)B＝(a,b,c)B'
Inversa: C⁻¹＝Adj(C)ᵗ/|C|
Ej: v1＝u1+2u2+u3, v2＝u1+u3, v3＝u2+u3
C tiene por columnas (1,2,1), (1,0,1), (0,1,1)
z＝(1,1,1)B' pasa a C·(1,1,1)＝(2,3,3)B