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ÁLGEBRA · Unidades 1 y 2 - Coggle Diagram
ÁLGEBRA · Unidades 1 y 2
UNIDAD 1
UNIDAD 1 · Lógica, conjuntos, grupos, anillos y cuerpos
T1 · Lógica de proposiciones
Proposición
Enunciado que es V o F, pero NO las dos a la vez
La lógica es V/F, igual que los 0 y 1 del ordenador
Notación (la base de todo)
x ∈ E → x pertenece a E (es un elemento de E)
A＝B → A y B son el mismo conjunto
A ⊂ B → A está contenido en B (A es subconjunto de B)
Conjunto
Colección de objetos, finita o infinita
Sin elementos → conjunto vacío
Ej finito: letras del abecedario · Ej infinito: puntos de la recta real
Subconjunto
A ⊂ E ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ E
(todo elemento de A está también en E)
Propiedades de los conjuntos
A ⊂ A (todo conjunto está contenido en sí mismo)
A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A＝B (tienen los mismos elementos)
A ⊂ B y B ⊂ C ⇒ A ⊂ C (transitiva)
Conjunto con una condición: A＝{x ∈ E / R(x)} → los x de E donde R es verdadera
Ej: D＝{(x,y) ∈ ℝ×ℝ : x²+y² ≤ 1} → puntos dentro o en el borde de la circunferencia x²+y²＝1
Tabla de verdad
Sirve para ver si una proposición es V o F según sus componentes
Con 2 proposiciones salen 4 filas: VV, VF, FV, FF
Negación ¬R
Si R es V → ¬R es F, y al revés
Ej: R＝"todos los hombres son calvos" (F) → ¬R＝"existe al menos un hombre que no lo es" (V)
OJO: la negación de "todos" es "existe al menos uno que no"
Conjunción R ∧ S ("R y S")
Solo es V si R y S son V las dos
VV→V · VF→F · FV→F · FF→F
Disyunción R ∨ S ("R o S")
Es V si al menos una es V
VV→V · VF→V · FV→V · FF→F
Implicación R ⇒ S ("si R, entonces S")
R ＝ antecedente · S ＝ consecuente
Solo es FALSA cuando R es V y S es F
VV→V · VF→F · FV→V · FF→V
Truco: (R ⇒ S) ⇔ (¬R ∨ S)
Equivalencia R ⇔ S ("R equivale a S")
Es (R ⇒ S) ∧ (S ⇒ R)
V si las dos son V o las dos son F
VV→V · VF→F · FV→F · FF→V
Tautología
Proposición compuesta que SIEMPRE es V, pase lo que pase con sus componentes
Contrarrecíproco: (R ⇒ S) ⇔ (¬S ⇒ ¬R)
De Morgan: ¬(R ∧ S) ⇔ (¬R ∨ ¬S)
Transitividad: ((R ⇒ S) ∧ (S ⇒ T)) ⇒ (R ⇒ T)
Distributiva de ∧ sobre ∨: (R ∧ (S ∨ T)) ⇔ ((R ∧ S) ∨ (R ∧ T))
Distributiva de ∨ sobre ∧: (R ∨ (S ∧ T)) ⇔ ((R ∨ S) ∧ (R ∨ T))
Teorema
Proposición verdadera de la forma R ⇒ S
R ＝ hipótesis · S ＝ tesis
Demostración directa: suponemos R verdadera y deducimos que S es verdadera
R es condición SUFICIENTE para S · S es condición NECESARIA para R
Si R ⇔ S → condición necesaria y suficiente (las dos cosas)
Ej: A＝B ⇒ A ⊂ B (suficiente, pero el recíproco NO se cumple)
Ej: n múltiplo de 5 ⇔ su última cifra es 0 o 5
Demostrar por contrarrecíproco
Para probar R ⇒ S, pruebo ¬S ⇒ ¬R (es equivalente)
Ej: "n par o m par ⇒ n·m par" se prueba con "n·m impar ⇒ n y m impares"
Demostrar por reducción al absurdo
Parto de R ∧ ¬S y busco llegar a una contradicción
Se basa en que R ⇒ S ⇔ ¬(R ∧ ¬S)
Ej: a y b paralelas a c → si no fueran paralelas entre sí se cortarían en P y habría dos paralelas a c por P → contradice el axioma de Euclides
Principio de inducción
Para demostrar que P(n) vale para TODO n natural
1º) Caso base: P(0) es verdadera
2º) Paso inductivo: ∀n ∈ ℕ, P(n) ⇒ P(n+1)
Versión fuerte: (P(0) ∧ P(1) ∧ … ∧ P(n)) ⇒ P(n+1)
Cuantificadores
∀ (para todo): (∀a ∈ E)(R(a)) → R(a) es V para cualquier elemento de E
Ej: todo triángulo tiene ángulos internos que suman π
∃ (existe): (∃a ∈ E)(R(a)) → hay al menos un elemento de E con R(a) V
Ej: existe un triángulo con 3 lados iguales
T2 · Conjuntos y grupos
Repaso de conjuntos
Conjunto ＝ colección finita o infinita · vacío ＝ sin elementos
A ⊂ E ⇔ ∀x ∈ A ⇒ x ∈ E
A ⊂ A · (A ⊂ B y B ⊂ A ⇒ A＝B) · (A ⊂ B y B ⊂ C ⇒ A ⊂ C)
Igualdad de conjuntos
A＝B ⇔ A ⊂ B y B ⊂ A
(uno dentro del otro y viceversa)
Unión A ∪ B
A ∪ B＝{x ∈ U / x ∈ A ∨ x ∈ B} → los que están en uno O en el otro
Idempotencia: A ∪ A＝A
Conmutativa: A ∪ B＝B ∪ A
Asociativa: (A ∪ B) ∪ C＝A ∪ (B ∪ C)
Distributiva respecto a ∩: A ∪ (B ∩ C)＝(A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Absorción: A ∪ (A ∩ B)＝A＝A ∩ (A ∪ B)
Intersección A ∩ B
A ∩ B＝{x ∈ U / x ∈ A ∧ x ∈ B} → los que están en los dos a la vez
Idempotencia: A ∩ A＝A
Conmutativa: A ∩ B＝B ∩ A
Asociativa: (A ∩ B) ∩ C＝A ∩ (B ∩ C)
Distributiva respecto a ∪: A ∩ (B ∪ C)＝(A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Absorción: A ∪ (A ∩ B)＝A＝A ∩ (A ∪ B)
Correspondencia
Relación entre elementos de un conjunto y los de otro
Solo hay que definirla, no tiene que cumplir nada especial
Aplicación f: A → B
Correspondencia donde ∀x ∈ A existe UN SOLO (∃!) y ∈ B tal que f(x)＝y
A ＝ conjunto inicial (de partida) · B ＝ conjunto final (de llegada)
OJO: todo x de A tiene que tener imagen, y solo una
Conjunto imagen
Im(f)＝{y ∈ B / ∃x ∈ A, y＝f(x)}
Son los elementos de B a los que llega alguna flecha
Es un subconjunto del conjunto final
Inyectiva
Elementos distintos de A → imágenes distintas en B
f inyectiva ⇔ x1≠x2 ⇒ f(x1)≠f(x2)
O lo mismo: f(x1)＝f(x2) ⇒ x1＝x2
A cada elemento de B le llega como mucho 1 flecha (pero no hace falta que a todos les llegue)
Sobreyectiva
f sobreyectiva ⇔ ∀y ∈ B ∃x ∈ A / f(x)＝y
A todos los de B les llega alguna flecha (puede ser más de una)
Biyectiva
Inyectiva Y sobreyectiva a la vez
Mismo nº de elementos en inicial y final
Ley de composición interna (LCI)
Ley
tal que ∀a,b ∈ G, a
b＝c ∈ G (el resultado se queda en el conjunto)
Ej: la suma en ℕ → 2+3＝5 ∈ ℕ
Grupo (G,*)
Conjunto G con una LCI * que cumple 3 axiomas
Axioma 1 · Asociativa: ∀a,b,c ∈ G, a
(b
c)＝(a
b)
c
Axioma 2 · Elemento neutro e: ∀a ∈ G ∃! e ∈ G / a
e＝e
a＝a
Es ÚNICO y no depende de a
En (ℤ,+) el neutro es 0 · en (ℝ,·) el neutro es 1
Axioma 3 · Simétrico a': ∀a ∈ G ∃a' ∈ G / a
a'＝a'
a＝e
Simétrico ＝ lo que operado con a da el neutro
Si la ley es suma → se llama OPUESTO (el de 2 en ℤ es −2)
Si la ley es producto → se llama INVERSO (el de 2 en ℝ es 1/2)
Grupo abeliano ＝ la ley es conmutativa (a
b＝b
a)
Reglas de exponentes (grupo no abeliano)
aⁿ＝a
a
…*a (n veces)
aⁿ * aᵐ＝aⁿ⁺ᵐ
(aⁿ)ᵐ＝aⁿ·ᵐ
(a
b
c)'＝c'
b'
a' → el simétrico de varios es el de cada uno en ORDEN CONTRARIO (la más importante)
Subgrupo
Parte no vacía H de (G,*) que es grupo con la misma ley
Truco para demostrarlo: H subgrupo de G ⇔ ∀x,y ∈ H, x*y' ∈ H
Ej: los pares en (ℤ,+): 6+(−8)＝−2 que es par → subgrupo
Propiedades
El neutro de H es el mismo que el de G
El neutro de G está en todos los subgrupos
La intersección de subgrupos SIEMPRE es subgrupo
La unión de subgrupos en general NO es subgrupo
Subgrupos triviales (impropios): {e} y el propio G
Subgrupo normal (invariante)
H subgrupo de (G,*) es normal si se cumple UNA de estas (con probar una vale):
1) ∀g ∈ G, ∀h ∈ H: g
h
g' ∈ H
2) ∀g ∈ G: g
H
g'＝H
3) ∀g ∈ G: g
H＝H
g
OJO: no es conmutatividad elemento a elemento, es igualdad de conjuntos completos
Homomorfismo de grupos
f: (G1,
) → (G2,Δ) con ∀a,b ∈ G1: f(a
b)＝f(a) Δ f(b)
Tiene que llevar el neutro al neutro: f(e1)＝e2
Tipos (G1≠G2 / G1＝G2＝G)
Aplicación → Homomorfismo / Endomorfismo
Inyectiva → Monomorfismo / Endomorfismo inyectivo
Sobreyectiva → Epimorfismo / Endomorfismo sobreyectivo
Biyectiva → Isomorfismo / Automorfismo
Núcleo N(f)＝{x ∈ G1 / f(x)＝e2}
Es subgrupo del inicial
Si f es inyectivo → N(f)＝{e1}
Imagen Im(f)＝{y ∈ G2 / ∃x ∈ G1, f(x)＝y}
Es subgrupo del final
Si f es sobreyectivo → Im(f)＝G2
Grupos finitos
Orden de un grupo (o subgrupo) ＝ nº de elementos
Grupo finito ＝ orden finito
Se comprueba con la TABLA DE CAYLEY
Elementos en fila y columna en el mismo orden, y dentro todas las operaciones
Si no se repite ninguno en cada fila/columna y todos son del grupo → es grupo
Si el grupo es abeliano → la tabla es simétrica
Ej: G＝{1,−1,i,−i} con el producto
1 es el neutro
−1 es autosimétrico (−1·−1＝1)
i y −i son simétricos entre sí (i·(−i)＝1)
Teorema de Lagrange
El orden de cada elemento DIVIDE al orden del grupo
El orden de cada subgrupo DIVIDE al orden del grupo
Orden de un elemento: o(a)＝n ⇔ a
a
…*a (n veces)＝e, siendo n el MENOR posible
Neutro → orden 1 · Autosimétricos → orden 2
Ej: G＝{1,−1,i,−i} tiene orden 4 → o(1)＝1 · o(−1)＝2 · o(i)＝4 · o(−i)＝4
Grupo cíclico
Hay un elemento a que con * genera todos los demás (elemento cíclico)
Su orden coincide con el orden del grupo
Ej: −i da −i, −1, i, 1 y vuelve a empezar (de ahí lo de cíclico)
Todo grupo cíclico es abeliano
OJO: al revés no, un abeliano no tiene por qué ser cíclico
Subgrupo generado por A → [A]
Es la intersección de todos los subgrupos que contienen a A
Se saca operando los elementos de A entre ellos todas las veces posibles
Ej: [−1]＝{1,−1} → orden 2, que divide a 4 (cumple Lagrange)
T3 · Anillos y cuerpos
Anillo (A; +, ·)
Terna: A no vacío con dos LCI ("+" y "·" son solo nombres, no tienen por qué ser suma y producto)
Axioma 1: (A,+) es grupo ABELIANO
Axioma 2: (A,·) es semigrupo (solo asociativa)
Axioma 3: distributiva de · respecto a +
a·(b+c)＝(a·b)+(a·c)
(b+c)·a＝(b·a)+(c·a)
OJO: hay que probar las dos (izq. y dcha.) porque · no tiene por qué ser conmutativa
Neutro de la 1ª ley → "cero del anillo" (0A)
El neutro de la 2ª ley puede no existir
Ejemplo (ℤ; ⊕, ⊗)
a⊕b＝a+b+1 y a⊗b＝a+b+a·b
Las dos son internas (sumas y productos de enteros)
Neutro de ⊕ ＝ −1 (el cero del anillo es −1, no 0)
Simétrico de a: a'＝−a−2 (ej: el de 3 es −5 porque 3⊕(−5)＝3−5+1＝−1)
⊗ es asociativa y se cumplen las 2 distributivas → ES anillo
Además es abeliano y unitario: neutro de ⊗ ＝ 0 (el "uno" del anillo es 0)
"Apellidos" del anillo
Unitario → tiene neutro con la 2ª ley (el "uno", 1A)
∃! 1A ∈ A / 1A·a＝a·1A＝a ∀a
Abeliano → la 2ª ley es conmutativa (a·b＝b·a)
Íntegro (dominio de integridad) → sin divisores de cero
∀a≠0A, b≠0A: a·b≠0A
Ej: (ℝ;+,·): 2·5＝10≠0
Subanillo
Parte no vacía S del anillo que cumple una de estas:
Cumple todos los axiomas de anillo
O bien: ∀a,b ∈ S → a+(−b) ∈ S (subgrupo con la 1ª ley) y a·b ∈ S (2ª ley interna)
Hereda del anillo
El 0A es el mismo
Si el anillo es unitario, el 1A es el mismo
Si el anillo es abeliano → los subanillos también
Si es dominio de integridad → los subanillos también
Subanillo ideal
I es ideal de (A;+,·) si I es subanillo y ∀a ∈ A, ∀i ∈ I → a·i ∈ I e i·a ∈ I
Es como un "sumidero": todo lo que multiplica a un elemento del ideal cae dentro del ideal
Ej: I＝{0} en (ℝ;+,·) → a·0＝0 ∈ I
La intersección y la suma de ideales son ideales
Característica de un anillo
Carac(A)＝p ⇔ a+a+…+a (p veces)＝0A
p es un número único (cuando existe)
Homomorfismo de anillos
f: (A1;+,·) → (A2;*,Δ)
f(a+b)＝f(a)*f(b)
f(a·b)＝f(a) Δ f(b)
Lleva el cero al cero: f(01)＝02
Se clasifica igual que en grupos (inyectivo, sobreyectivo, biyectivo)
Núcleo N(f)＝{x ∈ A1 / f(x)＝02} → subanillo del inicial (si f inyectivo: {01})
Imagen Im(f)＝{y ∈ A2 / ∃x ∈ A1, f(x)＝y} → subanillo del final (si f sobreyectivo: A2)
Grupo multiplicativo de un anillo
U ＝ elementos que tienen inverso con la 2ª ley; (U,·) es grupo
El cero NUNCA está en U: 0A·a＝0A≠1A ⇒ 0A ∉ U
Cuerpo (K; +, ·)
Es un anillo con la 2ª ley tan potente como la 1ª
Axioma 1: (K;+,·) es anillo abeliano
(K,+) grupo abeliano · (K,·) semigrupo · distributivas · a·b＝b·a
Axioma 2: todos tienen inverso menos el cero → ∀a≠0 ∃a⁻¹ ∈ K
Grupo multiplicativo: UK＝K−{0K}
Axioma 3: K es íntegro (sin divisores de cero) → a≠0, b≠0 ⇒ a·b≠0
Ej: los reales y los complejos son cuerpos
Demostración: un cuerpo es íntegro
Si a·b＝0 y a≠0 → existe a⁻¹
a⁻¹·(a·b)＝a⁻¹·0 ⇒ (a⁻¹·a)·b＝0 ⇒ 1·b＝0 ⇒ b＝0
Luego si el producto es 0, uno de los dos es 0 → todo cuerpo es dominio de integridad
UNIDAD 2 · Espacios vectoriales
(en los apuntes los vectores llevan flechita; aquí los escribo como u, v, w, x)
T1 · El espacio vectorial
Piezas del espacio vectorial
Grupo abeliano (V,+) → sus elementos son los VECTORES (v ∈ V)
Cuerpo (K;+,·) → sus elementos son los ESCALARES (λ ∈ K, letras griegas)
Ley de composición EXTERNA (LCE): · : V×K → V
∀v ∈ V, ∀λ ∈ K → λ·v＝w ∈ V
La LCE es lo que convierte V(K) en espacio vectorial
3 axiomas
Axioma 1 · Ley modular: ∀v ∈ V → 1K·v＝v
Axioma 2 · Asociativa con escalares: λ·(μ·v)＝(λ·μ)·v
Axioma 3 · Doble distributiva
Respecto a escalares: (λ+μ)·v＝(λ·v)+(μ·v)
Respecto a vectores: λ·(u+v)＝(λ·u)+(λ·v)
Vector nulo 0: neutro del grupo V → λ·0＝0 y 0+v＝v
Espacio vectorial real ℝⁿ(ℝ)
El más importante en ingeniería y física (sobre todo ℝ³)
Vector de ℝ³: x＝(x1,x2,x3) → flecha en el espacio con magnitud, dirección y sentido
Cada componente ＝ lo que mide en esa dirección respecto al sistema de referencia
Escalar por vector: λx＝(λx1,λx2,λx3) · Ej: 3·(1,1,1)＝(3,3,3)
Suma: x+y＝(x1+y1, x2+y2, x3+y3) · Ej: (1,1,1)+(3,2,5)＝(4,3,6)
Combinación lineal
L{vi}＝λ1·v1+λ2·v2+…+λp·vp＝Σ λi·vi (de i＝1 a p)
Es sumar p vectores, cada uno multiplicado por su escalar
Independencia lineal (l.i.)
λ1·v1+…+λp·vp＝0 ⇔ λ1＝λ2＝…＝λp＝0
Al igualar a 0 TODOS los escalares tienen que salir 0
Dependencia lineal (l.d.)
λ1·v1+…+λp·vp＝0 con algún λi≠0
(se puede anular la combinación sin que todos los escalares sean 0)
Ejemplos l.i. / l.d. en ℝ³
{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} → λ1+λ2+λ3＝0, λ1+λ2＝0, λ1＝0 → todos 0 → l.i.
{(1,1,1),(1,1,0),(0,0,1)} → λ1＝α, λ2＝−α, λ3＝−α → con α＝1 no son 0 → l.d.
Dimensión
Nº máximo de vectores l.i. que hay en V
O sea, el nº de parámetros para escribir un vector cualquiera
En ℝⁿ la dimensión es n
Sistema generador
{vi} genera V ⇔ ∀u ∈ V ∃αi ∈ ℝ / u＝α1·v1+…+αp·vp
Cualquier vector de V sale como combinación lineal de ellos
Base
Base＝sistema GENERADOR + sistema LIBRE (l.i.)
Tiene tantos vectores como la dimensión (en ℝ³, 3 vectores)
x＝(x1,x2,x3)B＝x1·u1+x2·u2+x3·u3
Las componentes son los escalares con los que combino los vectores de la base
El vector nulo nunca está en una base
Todas las bases tienen el mismo nº de vectores
Se demuestra por reducción al absurdo con B1＝{u1…um}, B2＝{v1…vn} y m>n
Se van cambiando vectores de B2 por los de B1 (sistemas equivalentes)
Al final u(n+1) sería combinación lineal de u1…un → B1 no sería base → absurdo
Igual con m<n → entonces m＝n
Ejemplos de bases en ℝ³
B1＝{(1,2,3),(1,0,1),(0,2,2)} → α＝(1,−1,−1) → no es libre → NO es base
B2 (4 vectores) → tampoco es libre → NO es base
B3＝{(1,2,3),(1,0,1),(0,2,1)} → todos los α＝0 → libre
Para cualquier (a,b,c) el sistema tiene solución → genera ℝ³ → SÍ es base
T2 · El subespacio vectorial
Subespacio vectorial
Subconjunto de un espacio vectorial que es espacio vectorial con las mismas leyes
Ej: M2 (matrices 2×2) es subespacio de las matrices n×m
Cómo se comprueba (linealidad)
S ⊂ V es subespacio ⇔ ∀u,v ∈ S, ∀λ,μ ∈ K ⇒ λu+μv ∈ S
Son 2 condiciones juntas: suma cerrada (u+v ∈ S) y producto por escalar cerrado (λu ∈ S)
El vector nulo está SIEMPRE en todo subespacio: 0 ∈ V ⇒ 0 ∈ S
Truco: si no contiene el 0 → ya NO es subespacio
Ej: matrices simétricas S2 dentro de M2
A＝(α β; β γ) y B＝(δ ε; ε φ)
λA+μB＝(λα+μδ λβ+με; λβ+με λγ+μφ) → sigue siendo simétrica → es subespacio
Subespacio en ℝⁿ dado por generadores
E＝L{(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1)}
(1,0,1)+(1,1,0)＝(2,1,1) → son l.d. → quito el 3º → E＝L{(1,0,1),(1,1,0)}
x＝α(1,0,1)+β(1,1,0)＝(α+β, β, α) → λu+μv mantiene esa forma → subespacio
dim(E)＝2 (base de 2 vectores l.i.)
Ecuaciones implícitas
Dicen cómo están ligadas las componentes de un vector cualquiera del subespacio
Ej: U＝{(x,y,z) ∈ ℝ³ / x+y+z＝0} → (2,−1,−1) ∈ U
Para E: x＝α+β, y＝β, z＝α → sustituyendo sale la implícita x＝y+z
Ecuaciones paramétricas
Para E: x＝α+β, y＝β, z＝α
Dan la DIMENSIÓN: nº de parámetros independientes (aquí 2)
Dan la BASE: pongo un parámetro a 1 y los demás a 0, y repito con cada uno
(α＝1,β＝0) → (1,0,1) · (α＝0,β＝1) → (1,1,0) → E＝L{(1,0,1),(1,1,0)}
⭐ Regla de las implícitas
Nº de incógnitas ＝ nº de ecuaciones implícitas + nº de parámetros
Nº de incógnitas ＝ dimensión del espacio
Nº de parámetros ＝ dimensión del subespacio
E subespacio de V ⇒ E ⊆ V · y si dim(E)＝dim(V) ⇒ E＝V
Subespacio a partir de implícitas
K＝{x+y＝0, y+z＝0} → 2 ecuaciones y 3 incógnitas → 1 parámetro
x＝α, y＝−α, z＝α → x＝α(1,−1,1) → λu+μv tiene la misma forma → es subespacio
Base B_K＝{(1,−1,1)} y dim(K)＝1
Cuando NO es subespacio
E＝{(x,y,z) ∈ ℝ³ / x+z＝3} → vectores (α, β, 3−α)
λu+μv＝(λa+μc, λb+μd, 3(λ+μ)−λa−μc) ∉ E (sale 3(λ+μ) en vez de 3)
Además no contiene el vector nulo (0+0≠3) → NO es subespacio
T3 · La suma directa
Subespacio intersección S1 ∩ S2
S1 ∩ S2＝{x ∈ V / x ∈ S1 ∧ x ∈ S2}
SIEMPRE es subespacio (el 0 está en los dos)
Se calcula juntando las implícitas de todos los subespacios
Subespacio suma S1 + S2
S1+S2＝{x ∈ V / x＝x1+x2, con x1 ∈ S1 y x2 ∈ S2}
SIEMPRE es subespacio
Su base: vectores l.i. sacados de la unión de las bases de S1 y S2
Subespacio unión S1 ∪ S2
S1 ∪ S2＝{x ∈ V / x ∈ S1 ∨ x ∈ S2}
En general NO es subespacio
Solo lo es si S1 ⊆ S2 o S2 ⊆ S1 (entonces la unión es el más grande de los dos)
⭐ Teorema de Grassmann
dim(S1)+dim(S2)＝dim(S1+S2)+dim(S1 ∩ S2)
Despejando: dim(S1+S2)＝dim(S1)+dim(S2)−dim(S1 ∩ S2)
Demostración (resumen)
Base de S1 ∩ S2: B＝{e1…ep} · dim S1＝n · dim S2＝m
Se amplía: B1＝{e1…ep,e(p+1)…en} base de S1 y B2＝{e1…ep,v(p+1)…vm} base de S2
B3＝{e1…en,v(p+1)…vm} es base de S1+S2 (es libre y genera)
Entonces dim(S1+S2)＝n+m−p
Suma directa S1 ⊕ S2＝V
INDEPENDIENTES: S1 ∩ S2＝{0} (solo comparten el vector nulo)
SUPLEMENTARIOS: S1+S2＝V (la suma es todo el espacio)
Suma directa ⇔ independientes Y suplementarios
S1 ⊕ S2＝V ⇔ S1 ∩ S2＝{0} y S1+S2＝V
Imagen mental en ℝ³: un plano (dim 2) + una recta que no esté en él (dim 1)
Ejemplo práctico: intersección
S1 ∩ S2＝{x+y＝0, y+z＝0} → 1 parámetro → (α,−α,α)＝α(1,−1,1)
Es subespacio (λu+μv mantiene la forma) → base {(1,−1,1)} y dim＝1
Grassmann: dim(S1+S2)＝2+2−1＝3＝dim ℝ³ → S1+S2＝ℝ³
Ejemplo práctico: suma
S1＝{x+y＝0, z＝0} → base {(1,−1,0)}
S2＝{z＝0} → base {(1,0,0),(0,1,0)}
Junto las bases: {(1,−1,0),(1,0,0),(0,1,0)} → son l.d. porque (1,−1,0)＝(1,0,0)−(0,1,0)
Base de S1+S2＝{(1,0,0),(0,1,0)}
T4 · El cambio de base
Idea: posiciones relativas
El vector NO cambia, lo que cambia son sus componentes según la base (el punto de vista)
Si sé dónde está x en una base y cómo se relacionan las bases → lo sé en todas
Dos bases en ℝ²
B＝{e1,e2} y B'＝{u1,u2}
x＝(1,1)B＝(−1/2,−1)B'
e1＝(1,0)B＝(0,−1)B' · u1＝(0,−2)B＝(1,0)B'
Relación entre dos bases
Vn(K) con B1＝{e1…en} y B2＝{e'1…e'n}
Coordenadas de B2 en B1: e'j＝Σ cij·ei
x＝Σ xi·ei (en B1)＝Σ x'j·e'j (en B2)
Cambio de coordenadas: xi＝Σ x'j·cij
Matriz de cambio de base C
(e'1…e'n)＝(e1…en)·C
Columna i de C ＝ coordenadas de e'i (base NUEVA) escritas en la base ANTIGUA
(x1…xn)＝(x'1…x'n)·Cᵀ
(x'1…x'n)＝(x1…xn)·(C⁻¹)ᵀ
Esquema B ⇄ B'
B → B' con C · B' → B con C⁻¹
Base nueva ＝ a la que llega la flecha · base antigua ＝ de la que sale
Necesito tener una base expresada en la otra
Caso en ℝ³
v1＝a1·u1+a2·u2+a3·u3
v2＝b1·u1+b2·u2+b3·u3
v3＝c1·u1+c2·u2+c3·u3
C tiene por columnas (a1,a2,a3), (b1,b2,b3), (c1,c2,c3) → los vectores de B' escritos en B
⭐ Fórmulas para pasar componentes
De B' a B: C·(a,b,c)B'＝(x,y,z)B
De B a B': C⁻¹·(x,y,z)B＝(a,b,c)B'
Por filas: (a b c)B'·Cᵀ＝(x y z)B y (x y z)B·(C⁻¹)ᵀ＝(a b c)B'
Inversa: C⁻¹＝Adj(C)ᵗ/|C| (o despejando los vectores de la base)
Ejemplo de cambio de base
v1＝u1+2u2+u3 · v2＝u1+u3 · v3＝u2+u3
C＝((1,1,0),(2,0,1),(1,1,1)) → columnas v1, v2, v3 escritas en B
C⁻¹＝((1/2,1/2,−1/2),(1/2,−1/2,1/2),(−1,0,1)) → columnas u1, u2, u3 escritas en B'
u1＝(1/2,1/2,−1)B' · u2＝(1/2,−1/2,0)B' · u3＝(−1/2,1/2,1)B'
Ejemplo de cambio de componentes
w＝(1,1,1)B → en B': C⁻¹·(1,1,1)＝(1/2,1/2,0)B'
z＝(1,1,1)B' → en B: C·(1,1,1)＝(2,3,3)B