Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
fluid fakta - Coggle Diagram
fluid fakta
kapitel 1: Introduktion till strömningsmekanik / Introduction to Fluid Mechanics
Fluid vs. Fast kropp / Fluid vs. Solid:
En fluid deformeras kontinuerligt (strömmar) under inverkan av en pålagd skjuvspänning, oavsett hur liten den är. Saknar skjuvmodul (zero shear modulus).
En fast kropp (solid) kan motstå en skjuvspänning genom en finit, statisk elastisk deformation (static deflection); en fluid kan det inte.
Kontinuumantagandet / The Continuum Assumption:
Antagandet att fluidens makroskopiska egenskaper (densitet, hastighet, tryck etc.) varierar kontinuerligt i rum och tid, vilket möjliggör användning av differentialkalkyl.
Gäller när kontrollvolymen är tillräckligt stor för att innehålla ett statistiskt stabilt antal molekyler (inga mikroskopiska täthetsfluktuationer), men tillräckligt liten för att inte släta ut makroskopiska gradienter.
Euleriansk beskrivning / Eulerian Frame of Reference:
Flödesegenskaper (hastighet, tryck, densitet) betraktas som funktioner av fasta positioner i rummet och tid:
$$\mathbf{V}(x, y, z, t)$$
Standardmetoden inom strömningsmekanik.
Lagrangiansk beskrivning / Lagrangian Frame of Reference:
Man följer enskilda fluidpartiklar eller ett slutet system med fix massa och identitet när det rör sig genom rum och tid:
$$\mathbf{r}(t)$$
Standardmetoden inom fastkroppsmekanik.
Acceleration och materiell derivata / Acceleration and Substantial Derivative:
Fluidpartikelns acceleration i eulerianska koordinater:
$$\mathbf{a} = \frac{D\mathbf{V}}{Dt} = \frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla)\mathbf{V}$$
Lokal acceleration / Local acceleration (tidsberoende i fast punkt):
$$\frac{\partial \mathbf{V}}{\partial t}$$
Konvektiv acceleration / Convective acceleration (acceleration p.g.a. rörelse genom rumsliga hastighetsgradienter):
$$(\mathbf{V} \cdot \nabla)\mathbf{V}$$
Viskositet / Fluid Viscosity:
Symbol:
$$\mu$$
Ett mått på fluidens inre motstånd mot deformation/flöde.
Kopplar den lokala skjuvspänningen till fluidens deformationshastighet (strain rate):
$$\frac{d\theta}{dt} = \frac{du}{dy}$$
Newtonskt fluid / Newtonian Fluid:
En fluid där skjuvspänningen är strikt linjärt proportionell mot hastighetsgradienten:
$$\tau = \mu \frac{du}{dy}$$
Viskositeten är oberoende av skjuvningshastigheten (t.ex. vatten, luft, olja).
Icke-newtonska fluider / Non-Newtonian Fluids:
Fluider där sambandet mellan skjuvspänning och hastighetsgradient inte är linjärt:
Dilatant / Dilatant (Shear-thickening): Viskositeten ökar med ökande deformationshastighet:
$$\frac{d\mu}{d\dot{\gamma}} > 0$$
Exempel: majsstärkelse i vatten, sand i vatten.
Pseudoplastisk / Pseudoplastic (Shear-thinning): Viskositeten minskar med ökande deformationshastighet:
$$\frac{d\mu}{d\dot{\gamma}} < 0$$
Exempel: målarfärg, blodplasma.
Bingham-plast / Bingham Plastic: Kräver en minsta initial flytspänning innan deformation/flöde startar; därefter ofta linjärt samband. Tröskelspänning:
$$\tau_0$$
Exempel: ketchup, tandkräm.
Viskositetens temperaturberoende / Viscosity Variation with Temperature:
Vätskor / Liquids: Viskositeten minskar vid ökad temperatur eftersom de kohesiva intermolekylära krafterna försvagas.
Gaser / Gases: Viskositeten ökar vid ökad temperatur på grund av ökad molekylär slumpmässig rörelse och högre frekvens av momentumutbyte vid kollisioner.
Häftvillkoret / The No-Slip Condition:
Vid en fast gränsyta antar den viskösa fluiden samma hastighet och samma temperatur som ytan på grund av intermolekylär bindning/adhesion:
$$\mathbf{V}_{\text{fluid}} = \mathbf{V}_{\text{vägg}}$$
Tvingar fluidens relativa hastighet mot en stillastående vägg till noll.
Reynolds tal / The Reynolds Number:
Dimensionslöst tal som beskriver förhållandet mellan tröghetskrafter och viskösa krafter:
$$Re = \frac{\rho V L}{\mu} = \frac{V L}{\nu} = \frac{\text{Tröghetskrafter / Inertial forces}}{\text{Viskösa krafter / Viscous forces}}$$
Avgör om en strömning är laminär eller turbulent.
Ångtryck och Kavitering / Vapor Pressure and Cavitation:
Ångtryck / Vapor Pressure: Det tryck vid vilket en vätska kokar vid en given temperatur och befinner sig i termodynamisk jämvikt med sin egen ånga:
$$p_v$$
Kavitering / Cavitation: Bildandet av lokala ångblåsor i en strömmande vätska när det lokala statiska trycket sjunker under vätskans ångtryck på grund av hög fluidhastighet:
$$p < p_v$$
Blåsornas efterföljande kollaps i högtrycksområden orsakar kraftiga tryckstötar och yterosion.
Flödesvisualiseringslinjer / Flow Visualization Lines:
Strömlinje / Streamline: En linje som vid ett givet ögonblick tangerar hastighetsvektorn överallt i fältet:
$$d\mathbf{r} \times \mathbf{V} = \mathbf{0}$$
Partikelbana / Pathline: Den faktiska trajektoria (bana) som en specifik, enskild fluidpartikel tillryggalägger under ett tidsintervall.
Rökslinga / Streakline: Den geometriska linje som bildas av alla fluidpartiklar som vid något tillfälle har passerat genom en och samma fasta punkt i rummet.
Tidslinje / Timeline: En kurva som bildas av en sammanhängande linje av intilliggande fluidpartiklar vid ett fixt tidsögonblick.
Tentaregel: Vid stationär strömning (steady flow) sammanfaller strömlinjer, partikelbanor och rökslingor helt.
Klassificering av strömning / Classification of Fluid Flows:
Stationär vs. Instationär / Steady vs. Unsteady Flow:
Stationär: Egenskaperna i varje fix punkt i rummet är oberoende av tid:
$$\frac{\partial}{\partial t} = 0$$
Instationär: Egenskaper varierar med tiden i fasta punkter:
$$\frac{\partial}{\partial t} \neq 0$$
Inkompressibel vs. Kompressibel / Incompressible vs. Compressible Flow:
Inkompressibel: Densitetsvariationer är försumbara (typiskt vätskor eller gaser med Mach-tal under 0.3):
$$\rho \approx \text{konst}$$
Kompressibel: Betydande variationer i densitet uppstår:
$$Ma > 0.3$$
Viskös vs. Friktionsfri / Viscous vs. Inviscid Flow:
Viskös: Skjuvspänningar och friktionsförluster beaktas:
$$\mu \neq 0$$
Friktionsfri (Inviscid): Skjuvspänningar försummas utanför tunna gränsskikt:
$$\mu \approx 0$$
Laminär vs. Turbulent / Laminar vs. Turbulent Flow:
Laminär: Ordnat skiktat flöde i parallella lager utan kaotisk tvärmixning (lågt Reynolds-tal).
Turbulent: Kaotiskt, tredimensionellt flöde med virvelstrukturer och kraftig makroskopisk omblandning (högt Reynolds-tal).
Fluidenergi per massenhet / Fluid Energy per Unit Mass:
Uttrycks som:
$$e = \hat{u} + \frac{1}{2}V^2 + gz$$
Inre termisk energi / Internal energy (mikroskopisk molekylär energi, funktion av temperatur):
$$\hat{u}$$
Kinetisk energi / Kinetic energy (makroskopisk rörelseenergi):
$$\frac{1}{2}V^2$$
Potentiell energi / Potential energy (energi bunden till läget i gravitationsfältet):
$$gz$$
Ljudhastighet och Ideala gaser / Speed of Sound and Ideal Gases:
Allmänt uttryck:
$$a = \sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s} = \sqrt{\frac{K_s}{\rho}}$$
där följande betecknar isentropisk bulkmodul / isentropic bulk modulus:
$$K_s$$
För en ideal gas:
$$p = \rho R T$$
$$a = \sqrt{\gamma R T}$$
där specifika värmekvoten / ratio of specific heats ges av:
$$\gamma = \frac{c_p}{c_v}$$
och följande är den gasspecifika gaskonstanten:
$$R$$
Primära och sekundära dimensioner / Dimensions:
Primära dimensioner / Primary dimensions: Oberoende grunddimensioner i fluidmekanik, vanligen Massa (M), Längd (L), Tid (T) och Temperatur ($\Theta$).
Sekundära dimensioner / Secondary dimensions: Sammansatta storheter härledda från de primära, t.ex. kraft:
$$[F] = MLT^{-2}$$
tryck:
$$[p] = ML^{-1}T^{-2}$$
viskositet:
$$[\mu] = ML^{-1}T^{-1}$$
Dimensionshomogenitet / Dimensional homogeneity: Alla additiva termer i en fysikalisk ekvation måste ha identiska fysikaliska dimensioner.
kapitel 6: Viskös strömning i kanaler och rör / Viscous Flow in Ducts
Strömningsregimer och kritiskt Reynolds tal / Flow Regimes and Critical Reynolds Number:
Reynolds tal för rör baseras på innerdiametern:
$$Re_D = \frac{\rho V D}{\mu} = \frac{V D}{\nu}$$
Laminär strömning / Laminar flow:
$$Re_D < 2300$$
Övergångsområde / Transition region:
$$2300 < Re_D < 4000$$
Fullt turbulent strömning / Turbulent flow:
$$Re_D > 4000$$
Kritiskt Reynolds tal / Critical Reynolds number:
$$Re_{\text{crit}} \approx 2300$$
Inloppssträcka och fullt utvecklad strömning / Entrance Length and Fully Developed Flow:
Inloppssträcka för laminärt flöde:
$$\frac{L_e}{D} \approx 0.06 Re_D$$
Inloppssträcka för turbulent flöde:
$$\frac{L_e}{D} \approx 4.4 Re_D^{1/6} \approx 20\text{--}50$$
Fullt utvecklad strömning innebär att hastighetsprofilen inte längre förändras i strömningsled:
$$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$$
Darcys friktionsfaktor och tryckförluster / Darcy Friction Factor and Head Loss:
Darcys friktionsfaktor definierad ur tryckfallshöjden:
$$f = \frac{h_f}{\frac{L}{D}\frac{V^2}{2g}} = \frac{\Delta p}{\frac{L}{D}\frac{1}{2}\rho V^2} = \frac{4\tau_w}{\frac{1}{2}\rho V^2}$$
Darcy-Weisbachs ekvation:
$$\Delta p_f = f \frac{L}{D} \frac{\rho V^2}{2} \quad \Leftrightarrow \quad h_f = f \frac{L}{D} \frac{V^2}{2g}$$
Engångsförluster / Minor losses:
$$h_m = K \frac{V^2}{2g}$$
Fullt utvecklad laminär rörströmning / Fully Developed Laminar Pipe Flow (Hagen-Poiseuille):
Parabolisk hastighetsprofil:
$$u(r) = u_{\max}\left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right) = -\frac{dp}{dx}\frac{R^2}{4\mu}\left(1 - \frac{r^2}{R^2}\right)$$
Medelhastighet:
$$V = \frac{1}{2} u_{\max}$$
Friktionsfaktor (oberoende av råhet):
$$f = \frac{64}{Re_D}$$
Jämförelse av laminär vs. turbulent hastighetsprofil / Profile Comparison:
Vid samma massflöde ger ett turbulent flöde markant högre väggskjuvspänning och tryckfall än laminärt flöde:
$$\tau_w = \mu \left.\frac{\partial u}{\partial y}\right\vert{}_w$$
1/7-potenslagen approximerar den turbulenta kärnan:
$$\frac{u}{u_{\max}} = \left(\frac{y}{R}\right)^{1/7}$$
Turbulenskaraktäristik / Characteristics of Turbulence:
Fluktuationer: Kaotiska och stokastiska variationer.
Dissipativ: Kinetisk energi överförs via virvlar ned till Kolmogorov-skalan där den omvandlas till inre termisk energi via molekylär viskös dissipation.
Reynolds-uppdelning / Reynolds Decomposition:
Variabler delas upp i medelvärde och fluktuation:
$$u = \bar{u} + u', \quad v = \bar{v} + v', \quad w = \bar{w} + w', \quad p = \bar{p} + p'$$
Tidsmedelvärdet av fluktuationen är strikt noll:
$$\overline{u'} = 0$$
Medelvärdet av kvadratiska fluktuationer är skilt från noll:
$$\overline{u'^2} \neq 0, \quad \overline{u'v'} \neq 0$$
Turbulensintensitet:
$$I = \frac{\sqrt{\frac{1}{3}(\overline{u'^2} + \overline{v'^2} + \overline{w'^2})}}{V_{\text{avg}}}$$
RANS och slutningsproblemet / RANS and The Closure Problem:
RANS i x-led för inkompressibelt flöde:
$$\rho \left( \bar{u}\frac{\partial \bar{u}}{\partial x} + \bar{v}\frac{\partial \bar{u}}{\partial y} + \bar{w}\frac{\partial \bar{u}}{\partial z} \right) = -\frac{\partial \bar{p}}{\partial x} + \rho g_x + \frac{\partial}{\partial x}\left( \mu \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} - \rho \overline{u'^2} \right) + \frac{\partial}{\partial y}\left( \mu \frac{\partial \bar{u}}{\partial y} - \rho \overline{u'v'} \right) + \frac{\partial}{\partial z}\left( \mu \frac{\partial \bar{u}}{\partial z} - \rho \overline{u'w'} \right)$$
Den dominerande Reynoldsska skjuvspänningen:
$$-\rho \overline{u'v'}$$
Slutningsproblemet innebär att medelvärdesbildningen genererar 6 nya okända spänningskorrelationer utan att ge nya ekvationer.
Boussinesqs hypotes och virvelviskositet / Boussinesq Assumption and Eddy Viscosity:
Modellerar den turbulenta skjuvspänningen med en turbulent virvelviskositet:
$$\tau_{\text{turb}} = -\rho \overline{u'v'} = \mu_t \frac{\partial \bar{u}}{\partial y}$$
Total skjuvspänning:
$$\tau_{\text{tot}} = \tau_{\text{lam}} + \tau_{\text{turb}} = (\mu + \mu_t)\frac{\partial \bar{u}}{\partial y}$$
Det turbulenta gränsskiktets zoner / Near-Wall Layer Structure:
Friktionshastighet / Friction velocity:
$$u^* = \sqrt{\frac{\tau_w}{\rho}}$$
Dimensionslösa väggvariabler:
$$y^+ = \frac{y u^*}{\nu} = \frac{\rho y u^*}{\mu}, \quad u^+ = \frac{\bar{u}}{u^*}$$
Viskösa underskiktet / Viscous sublayer:
$$y^+ < 5 \implies u^+ = y^+$$
Buffertzonen / Buffer layer:
$$5 < y^+ < 30$$
Logaritmiska zonen (Log-skiktet) / Log-law region:
$$30 < y^+ < 500 \implies u^+ = \frac{1}{\kappa} \ln(y^+) + B$$
där von Kármáns konstant är:
$$\kappa \approx 0.41, \quad B \approx 5.0$$
Yttre zonen / Outer wake region:
$$y^+ > 500$$
Prandtls blandningslängd / Prandtl's Mixing-Length Theory:
Skjuvspänning som funktion av blandningslängd:
$$\tau_{\text{turb}} = \rho \ell_m^2 \left( \frac{d\bar{u}}{dy} \right)^2 \quad \implies \quad \mu_t = \rho \ell_m^2 \left\vert{} \frac{d\bar{u}}{dy} \right\vert{}$$
Nära väggen antas:
$$\ell_m = \kappa y$$
Ytråhet och dess inverkan / Wall Roughness Effects:
Hydrauliskt slätt / Hydraulically smooth:
$$\epsilon^+ < 5 \implies f = f(Re)$$
Övergångsrått / Transitional roughness:
$$5 < \epsilon^+ < 70 \implies f = f(Re, \epsilon/D)$$
Helt rått rör / Fully rough regime:
$$\epsilon^+ > 70 \implies f = f(\epsilon/D)$$
Friktionsfaktorn blir helt oberoende av Reynolds tal.
Moody-diagrammet och Colebrooks ekvation / The Moody Chart and Colebrook Equation:
Colebrooks ekvation:
$$\frac{1}{\sqrt{f}} = -2.0 \log_{10} \left( \frac{\epsilon/D}{3.7} + \frac{2.51}{Re_D \sqrt{f}} \right)$$
Hydraulisk diameter för icke-cirkulära kanaler / Hydraulic Diameter:
Definieras ur tvärsnittsarean A och våta omkretsen P:
$$D_h = \frac{4 A}{P}$$
För en bred spalt:
$$D_h \approx 2h$$
kapitel 9: Kompressibel strömning / Compressible Flow
Mach-talsregimer / Mach Number Regimes:
Inkompressibel strömning / Incompressible flow:
Ma<0.3Ma < 0.3Ma<0.3
Subsonisk strömning / Subsonic flow:
0.3<Ma<0.80.3 < Ma < 0.80.3<Ma<0.8
Transonisk strömning / Transonic flow:
0.8<Ma<1.20.8 < Ma < 1.20.8<Ma<1.2
Supersonisk strömning / Supersonic flow:
1.2<Ma<5.01.2 < Ma < 5.01.2<Ma<5.0
Hypersonisk strömning / Hypersonic flow:
Ma>5.0Ma > 5.0Ma>5.0
Termodynamiska grundbegrepp / Thermodynamic Fundamentals:
Ideal gaslag:
p\=ρRTp = \rho R Tp\=ρRT
Gasspecifik gaskonstant:
R\=cp−cvR = c_p - c_vR\=cp−cv
Specifik värmekvot:
γ\=cpcv\gamma = \frac{c_p}{c_v}γ\=cvcp
Kaloriskt perfekt gas:
u^\=cvT,h\=cpT\=γRTγ−1\hat{u} = c_v T, \quad h = c_p T = \frac{\gamma R T}{\gamma - 1}u^\=cvT,h\=cpT\=γ−1γRT
Isentropiska relationer (adiabatisk och reversibel):
p2p1\=(ρ2ρ1)γ\=(T2T1)γγ−1\frac{p_2}{p_1} = \left(\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)^\gamma = \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}}p1p2\=(ρ1ρ2)γ\=(T1T2)γ−1γ
Ljudhastighet / Speed of Sound:
Allmänt:
a\=(∂p∂ρ)sa = \sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s}a\=(∂ρ∂p)s
För en ideal gas:
a\=γRTa = \sqrt{\gamma R T}a\=γRT
Stagnationstillstånd och kritiska tillstånd / Stagnation and Critical States:
Stagnationsentalpi:
h0\=h+12V2\=konsth_0 = h + \frac{1}{2}V^2 = \text{konst}h0\=h+21V2\=konst
Stagnationstemperatur (konstant vid adiabatiskt flöde):
T0T\=1+γ−12Ma2\frac{T_0}{T} = 1 + \frac{\gamma - 1}{2}Ma^2TT0\=1+2γ−1Ma2
Stagnationstryck och totaldensitet (konstanta endast vid isentropiskt flöde):
p0p\=(1+γ−12Ma2)γγ−1,ρ0ρ\=(1+γ−12Ma2)1γ−1\frac{p_0}{p} = \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}Ma^2\right)^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}}, \quad \frac{\rho_0}{\rho} = \left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}Ma^2\right)^{\frac{1}{\gamma - 1}}pp0\=(1+2γ−1Ma2)γ−1γ,ρρ0\=(1+2γ−1Ma2)γ−11
Kritiska soniska referenstillstånd:
T∗T0\=2γ+1,p∗p0\=(2γ+1)γγ−1\frac{T^*}{T_0} = \frac{2}{\gamma + 1}, \quad \frac{p^*}{p_0} = \left(\frac{2}{\gamma + 1}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma - 1}}T0T∗\=γ+12,p0p∗\=(γ+12)γ−1γ
Isentropisk kvasie-1D strömning / Quasi-1D Flow and Area Changes:
Area-hastighetsrelationen:
dAA\=(Ma2−1)dVV\=−(Ma2−1)dpρV2\frac{dA}{A} = (Ma^2 - 1)\frac{dV}{V} = -(Ma^2 - 1)\frac{dp}{\rho V^2}AdA\=(Ma2−1)VdV\=−(Ma2−1)ρV2dp
Vid subsonisk strömning accelererar flödet då arean minskar:
Ma<1 ⟹ dA<0 ⟹ dV\>0Ma < 1 \implies dA < 0 \implies dV > 0Ma<1⟹dA<0⟹dV\>0
Vid supersonisk strömning accelererar flödet då arean ökar:
Ma>1 ⟹ dA>0 ⟹ dV>0Ma > 1 \implies dA > 0 \implies dV > 0Ma>1⟹dA>0⟹dV>0
Sonisk strömning kan endast ske i dysans midja:
Ma\=1 ⟹ dA\=0Ma = 1 \implies dA = 0Ma\=1⟹dA\=0
Area-Mach-talsrelationen:
(AA∗)2\=1Ma2[2γ+1(1+γ−12Ma2)]γ+1γ−1\left(\frac{A}{A^*}\right)^2 = \frac{1}{Ma^2}\left[ \frac{2}{\gamma + 1}\left(1 + \frac{\gamma - 1}{2}Ma^2\right) \right]^{\frac{\gamma + 1}{\gamma - 1}}(A∗A)2\=Ma21[γ+12(1+2γ−1Ma2)]γ−1γ+1
Strypt flöde / Choked Flow:
Maximalt massflöde nås då midjan är sonisk:
m˙max\=m˙choked\=p0A∗T0γR(2γ+1)γ+12(γ−1)\dot{m}_{\max} = \dot{m}_{\text{choked}} = \frac{p_0 A^*}{\sqrt{T_0}} \sqrt{\frac{\gamma}{R}} \left(\frac{2}{\gamma + 1}\right)^{\frac{\gamma + 1}{2(\gamma - 1)}}m˙max\=m˙choked\=T0p0A∗Rγ(γ+12)2(γ−1)γ+1
Normala stötvågor / Normal Shocks:
Rankine-Hugoniots ekvation:
ρ2ρ1\=1+γ+1γ−1p2p1γ+1γ−1+p2p1\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1 + \frac{\gamma + 1}{\gamma - 1}\frac{p_2}{p_1}}{\frac{\gamma + 1}{\gamma - 1} + \frac{p_2}{p_1}}ρ1ρ2\=γ−1γ+1+p1p21+γ−1γ+1p1p2
Entropikravet kräver att inflödet är överljud:
Δs>0 ⟹ Ma1>1,p2p1>1\Delta s > 0 \implies Ma_1 > 1, \quad \frac{p_2}{p_1} > 1Δs>0⟹Ma1>1,p1p2>1
Mach-tal efter normal stöt är alltid underljud:
Ma22\=(γ−1)Ma12+22γMa12−(γ−1) ⟹ Ma2<1Ma_2^2 = \frac{(\gamma - 1)Ma_1^2 + 2}{2\gamma Ma_1^2 - (\gamma - 1)} \implies Ma_2 < 1Ma22\=2γMa12−(γ−1)(γ−1)Ma12+2⟹Ma2<1
Tryck- och temperaturkvoter över stöten:
p2p1\=2γMa12−(γ−1)γ+1\frac{p_2}{p_1} = \frac{2\gamma Ma_1^2 - (\gamma - 1)}{\gamma + 1}p1p2\=γ+12γMa12−(γ−1)
T2T1\=[2γMa12−(γ−1)][(γ−1)Ma12+2](γ+1)2Ma12\frac{T_2}{T_1} = \frac{\left[2\gamma Ma_1^2 - (\gamma - 1)\right]\left[(\gamma - 1)Ma_1^2 + 2\right]}{(\gamma + 1)^2 Ma_1^2}T1T2\=(γ+1)2Ma12[2γMa12−(γ−1)][(γ−1)Ma12+2]
Över en stöt ökar tryck, temperatur, densitet och entropi. Mach-tal, hastighet och stagnationstryck minskar. Stagnationstemperaturen förblir konstant.
Konvergerande-divergerande dysa (Laval-dysa) / Convergent-Divergent Nozzle:
Överexpanderad (over-expanded): mottrycket är högre än utloppstrycket, anpassning sker via sneda stötar utanför mynningen.
Underexpanderad (under-expanded): utloppstrycket är högre än mottrycket, expansion sker via expansionsfläktar utanför mynningen.
Akustiska vågor och Mach-vågor / Sound Waves and Mach Waves:
Mach-vinkel / Mach angle:
sin(μ)\=1Ma\sin(\mu) = \frac{1}{Ma}sin(μ)\=Ma1
En Mach-våg är en infinitesimal och isentropisk störning.
Sneda stötvågor / Oblique Shocks:
Analyseras med normala komponenten:
Man1\=Ma1sinβMa_{n1} = Ma_1 \sin\betaMan1\=Ma1sinβ
Man2\=Ma2sin(β−θ)Ma_{n2} = Ma_2 \sin(\beta - \theta)Man2\=Ma2sin(β−θ)
Tangentiella hastighetskomponenten bevaras:
Vt1\=Vt2V_{t1} = V_{t2}Vt1\=Vt2
Samband mellan avlänkningsvinkel, stötvinkel och Mach-tal:
tanθ\=2cotβ[Ma12sin2β−1Ma12(γ+cos(2β))+2]\tan\theta = 2\cot\beta \left[ \frac{Ma_1^2 \sin^2\beta - 1}{Ma_1^2(\gamma + \cos(2\beta)) + 2} \right]tanθ\=2cotβ[Ma12(γ+cos(2β))+2Ma12sin2β−1]
Om kilvinkeln överstiger maximal avlänkningsvinkel bildas en avlossad stöt (detached bow shock):
θ>θmax\theta > \theta_{\max}θ>θmax
Prandtl-Meyer-expansionsvågor / Prandtl-Meyer Expansion Waves:
Isentropisk expansion kring hörn som beskrivs av Prandtl-Meyers funktion:
ν(Ma)\=γ+1γ−1arctan(γ−1γ+1(Ma2−1))−arctan(Ma2−1)\nu(Ma) = \sqrt{\frac{\gamma + 1}{\gamma - 1}}\arctan\left(\sqrt{\frac{\gamma - 1}{\gamma + 1}(Ma^2 - 1)}\right) - \arctan\left(\sqrt{Ma^2 - 1}\right)ν(Ma)\=γ−1γ+1arctan(γ+1γ−1(Ma2−1))−arctan(Ma2−1)
Samband över expansionen:
ν(Ma2)\=ν(Ma1)+θ\nu(Ma_2) = \nu(Ma_1) + \thetaν(Ma2)\=ν(Ma1)+θ
Genom expansionen ökar hastighet och Mach-tal, medan tryck, temperatur och densitet sjunker. Stagnationstryck och stagnationstemperatur förblir konstanta.
Stöt-expansionsteori och vågmotstånd / Shock-Expansion Theory and Wave Drag:
Vågmotstånd uppstår p.g.a. irreversibla tryckförluster över stötvågor som skapar en asymmetrisk tryckfördelning med högre statiskt tryck på framsidan än på baksidan:
CD,waveC_{D,\text{wave}}CD,wave
Kapitel 2: Tryckfördelning i en fluid / Pressure Distribution in a Fluid
Tryck / Pressure:
Symbol:
$$p$$
Skalär storhet och termodynamisk tillståndsstorhet.
Har ingen riktning i sig, men ger upphov till en ytkraft vinkelrät (normalt) mot varje omslutande yta:
$$d\mathbf{F} = -p\,\mathbf{n}\,dA$$
I en fluid i vila är trycket oberoende av orientering i en given punkt (isotropt tryck).
Fluidstatik / Fluid Statics:
Strömningstillstånd där fluiden är helt i vila relativt koordinatsystemet:
$$\mathbf{V} = \mathbf{0}, \quad \mathbf{a} = \mathbf{0}$$
Inga hastighetsgradienter existerar, vilket per definition innebär att alla skjuvspänningar är noll:
$$\tau = 0$$
Endast tryckkrafter (ytkrafter) och gravitationskrafter (volymkrafter) verkar på fluidelementet.
Hydrostatiska grundekvationen / Hydrostatic Equation:
Erhålls ur Newtons andra lag för ett infinitesimalt element i vila:
$$\nabla p = \rho \mathbf{g}$$
Med vertikalaxeln z riktad uppåt mot gravitationen:
$$\mathbf{g} = -g\hat{\mathbf{k}}$$
$$\frac{dp}{dz} = -\rho g = -\gamma$$
där fluidens specifika tyngd / specific weight betecknas med:
$$\gamma = \rho g$$
Trycket beror enbart på djupet och ändras uteslutande i gravitationens riktning.
Ytor med konstant tryck / Isobaric Surfaces (Surfaces of Constant Pressure):
Tryckgradienten är vinkelrät mot ytor med konstant tryck:
$$\nabla p$$
Eftersom:
$$\nabla p = \rho \mathbf{g}$$
måste ytans normalvektor vara parallell med gravitationsvektorn. Ytor med konstant tryck är således alltid horisontella plan i ett standardiserat gravitationsfält.
Tryck i inkompressibla vätskor / Hydrostatic Pressure in Liquids:
Densiteten antas konstant:
$$\rho = \text{konst}$$
$$p_2 - p_1 = -\rho g (z_2 - z_1) = -\gamma (z_2 - z_1)$$
Tryck på djupet under en fri vätskeyta med referenstryck:
$$h = z_1 - z_2$$
$$p = p_a + \rho g h$$
Tryck i kompressibla fluider (gaser) / Hydrostatic Pressure in Gases:
Densiteten varierar med tryck och temperatur enligt ideala gaslagen:
$$\rho = \frac{p}{RT}$$
Differentialekvationen integreras med hänsyn till temperaturprofilen:
$$\frac{dp}{p} = -\frac{g}{R T(z)}\,dz$$
För en isoterm atmosfär:
$$T = T_0 = \text{konst}$$
$$p(z) = p_0 \exp\left(-\frac{g z}{R T_0}\right)$$
Pascals lag / Pascal's Law:
Två godtyckliga punkter på samma höjd i en sammanhängande volym av samma statiska fluid har identiskt tryck:
$$z_1 = z_2 \implies p_1 = p_2$$
Utgör grundprincipen för beräkning av U-rörsmanometrar / manometers: man vandrar längs vätskepelarna och sätter:
$$p_{\text{nedåt}} = p + \rho g h$$
$$p_{\text{uppåt}} = p - \rho g h$$
Arkimedes princip / Archimedes' Principle:
En kropp nedsänkt i en fluid påverkas av en vertikalt uppåtriktad lyftkraft som är exakt lika med tyngden av den undanträngda fluidvolymen:
$$F_B = \rho_{\text{fluid}} \, g \, V_{\text{undanträngd}}$$
För en helt nedsänkt kropp (submerged body):
$$V_{\text{undanträngd}} = V_{\text{kropp}}$$
För en flytande kropp (floating body) tränger kroppen undan en fluidmassa vars tyngd motsvarar kroppens totala tyngd:
$$F_B = W_{\text{kropp}}$$
$$\rho_{\text{fluid}} \, V_{\text{undanträngd}} = \rho_{\text{kropp}} \, V_{\text{kropp}}$$
Lyftkraftens angreppspunkt / Center of Buoyancy (B):
Lyftkraften angriper i tyngdpunkten för den undanträngda fluidvolymen (center of gravity of the displaced volume).
Sammanfaller inte nödvändigtvis med kroppens egen tyngdpunkt (G).
Stabilitet hos flytande kroppar / Stability of Floating Bodies:
Tyngdpunkt / Center of Gravity (G): Angreppspunkt för kroppens totala tyngdkraft W.
Flytkraftscentrum / Center of Buoyancy (B): Tyngdpunkt för den undanträngda vätskevolymen. När kroppen kränger förskjuts B till ett nytt läge B'.
Metacentrum / Metacenter (M): Skärningspunkten mellan kroppens vertikala symmetrilinje och verkningslinjen för lyftkraften genom B' vid en liten rotationsvinkel.
Metacentrisk höjd / Metacentric Height: Avståndet mellan G och M:
$$\overline{MG} = \overline{MB} - \overline{GB} = \frac{I_0}{V_{\text{sub}}} - \overline{GB}$$
där yttröghetsmomentet för kroppens vattenlinjeyta kring tippaxeln ges av:
$$I_0$$
Stabilitetskriterier:
Stabil / Stable: M ligger ovanför G:
$$\overline{MG} > 0$$
Det uppstår ett rätande moment som återför kroppen till jämviktsläget.
Neutral / Neutral: M sammanfaller med G:
$$\overline{MG} = 0$$
Inget återställande eller stjälpande moment bildas.
Instabil / Unstable: M ligger under G:
$$\overline{MG} < 0$$
Det uppstår ett stjälpande moment som förstärker vinkelfelet.
kapitel 3: Integrala samband för en kontrollvolym / Integral Relations for a Control Volume
System vs. Kontrollvolym / System vs. Control Volume:
System / System: En godtycklig materia med fix identitet och konstant massa som avgränsas från sin omgivning av en systemgräns:
$$m = \text{konst}$$
Fysikens grundlagar formuleras ursprungligen för ett system.
Kontrollvolym / Control Volume (CV): En definierad volym i rummet genom vars begränsningsyta, kontrollytan / Control Surface (CS), fluid kan strömma in och ut. Kan vara fix, rörlig eller deformerbar.
Extensiva och intensiva storheter / Extensive and Intensive Properties:
Extensiv storhet / Extensive property (B): Beroende av systemets totala massa eller storlek (t.ex. total massa, rörelsemängd, energi, rörelsemängdsmoment).
Intensiv storhet / Intensive property ($\beta$): Oberoende av systemets massa; definieras som mängden av B per massenhet:
$$\beta = \frac{dB}{dm}, \quad \text{dvs.} \quad B_{\text{CV}} = \int_{\text{CV}} \rho \beta \, d\mathcal{V}$$
Exempel: för massa:
$$B=m \implies \beta=1$$
för rörelsemängd:
$$B=\mathbf{P} \implies \beta=\mathbf{V}$$
för energi:
$$B=E \implies \beta=e$$
Massflöde och volymflöde / Mass Flow and Volume Flow:
Massflöde / Mass flow:
$$\dot{m} = \int_{A} \rho (\mathbf{V} \cdot \hat{\mathbf{n}}) \, dA$$
där följande är den utåtriktade enhetsnormalen till kontrollytan (endast hastighetskomponenten vinkelrät mot ytan bidrar):
$$\hat{\mathbf{n}}$$
Volymflöde / Volume flow:
$$Q = \int_{A} (\mathbf{V} \cdot \hat{\mathbf{n}}) \, dA = V_{\text{avg}} A$$
För inkompressibel fluid:
$$\rho = \text{konst} \implies \dot{m} = \rho Q = \rho V_{\text{avg}} A$$
Medelhastighet / Area-averaged velocity:
$$V_{\text{avg}} = \frac{1}{A} \int_{A} u \, dA$$
Reynolds transportteorem / Reynolds Transport Theorem (RTT):
Matematisk länk som omvandlar tidsderivatan av en extensiv egenskap för ett slutet system till integraler över en öppen kontrollvolym:
$$\frac{d B_{\text{sys}}}{dt} = \frac{d}{dt}\left( \int_{\text{CV}} \rho \beta \, d\mathcal{V} \right) + \int_{\text{CS}} \rho \beta (\mathbf{V}_r \cdot \hat{\mathbf{n}}) \, dA$$
Fysikalisk tolkning av termerna:
Vänsterled: Tidsförändringen av systemets totala extensiva egenskap B.
Första termen i högerled: Tidsförändringstakten av B lagrad inuti kontrollvolymen.
Andra termen i högerled: Nettoutflödet (net flux) av B genom kontrollytan CS.
Fix kontrollvolym:
$$\frac{d\mathcal{V}}{dt} = 0, \quad \mathbf{V}_r = \mathbf{V}$$
$$\frac{d B_{\text{sys}}}{dt} = \int_{\text{CV}} \frac{\partial}{\partial t}(\rho \beta) \, d\mathcal{V} + \int_{\text{CS}} \rho \beta (\mathbf{V} \cdot \hat{\mathbf{n}}) \, dA$$
Endimensionella in- och utlopp (1D inlets/outlets): Hastighet och tillstånd antas konstanta över tvärsnittsarean:
$$\int_{\text{CS}} \rho \beta (\mathbf{V} \cdot \hat{\mathbf{n}}) \, dA = \sum_{\text{ut}} \dot{m}_{\text{ut}} \beta_{\text{ut}} - \sum_{\text{in}} \dot{m}_{\text{in}} \beta_{\text{in}}$$
Massans bevarande (Kontinuitetsekvationen) / Conservation of Mass (Continuity Equation):
Sätt:
$$B = m \implies \beta = 1, \quad \frac{d m_{\text{sys}}}{dt} = 0$$
$$\int_{\text{CV}} \frac{\partial \rho}{\partial t} \, d\mathcal{V} + \int_{\text{CS}} \rho (\mathbf{V} \cdot \hat{\mathbf{n}}) \, dA = 0$$
Förenklingar för fix kontrollvolym:
1D in- och utlopp:
$$\int_{\text{CV}} \frac{\partial \rho}{\partial t} \, d\mathcal{V} + \sum \dot{m}_{\text{ut}} - \sum \dot{m}_{\text{in}} = 0$$
Stationärt flöde (Steady-state):
$$\sum \dot{m}_{\text{in}} = \sum \dot{m}_{\text{ut}}$$
Inkompressibelt flöde:
$$\rho = \text{konst} \implies \sum Q_{\text{in}} = \sum Q_{\text{ut}}$$
Linjär rörelsemängdsekvation / Conservation of Linear Momentum:
Sätt:
$$B = m\mathbf{V} \implies \beta = \mathbf{V}, \quad \frac{d(m\mathbf{V})_{\text{sys}}}{dt} = \sum \mathbf{F}$$
$$\sum \mathbf{F} = \int_{\text{CV}} \frac{\partial}{\partial t}(\rho \mathbf{V}) \, d\mathcal{V} + \int_{\text{CS}} \rho \mathbf{V} (\mathbf{V} \cdot \hat{\mathbf{n}}) \, dA$$
Detta är en vektorekvation med tre oberoende skalära komponenter (x, y, z).
Ytkrafter / Surface forces:
$$\int -p\,\hat{\mathbf{n}}\,dA$$
samt viskösa skjuvkrafter och strukturkrafter/infästningskrafter från genomskurna fasta kroppar.
Volymkrafter / Body forces (gravitation):
$$\int_{\text{CV}} \rho \mathbf{g} \, d\mathcal{V}$$
Stationärt med 1D in-/utlopp:
$$\sum \mathbf{F} = \sum_{\text{ut}} (\dot{m} \mathbf{V})_{\text{ut}} - \sum_{\text{in}} (\dot{m} \mathbf{V})_{\text{in}}$$
Relativtryck / Gauge Pressure:
$$p_{\text{gauge}} = p - p_{\text{atm}}$$
Det omgivande atmosfärstrycket verkar jämnt runt hela kontrollvolymens slutna yta och tar ut sig självt i integralen:
$$\oint p_{\text{atm}} \hat{\mathbf{n}} \, dA = \mathbf{0}$$
Därför kan man använda relativt tryck (gauge pressure) direkt i kraftbalansen, vilket eliminerar atmosfärstryckstermer på fria strålar.
Rörelsemängdsmoment / Conservation of Angular Momentum:
Sätt:
$$B = \mathbf{H}_O = \mathbf{r} \times (m\mathbf{V}) \implies \beta = \mathbf{r} \times \mathbf{V}$$
$$\sum \mathbf{M}_O = \int_{\text{CV}} \frac{\partial}{\partial t}\left( (\mathbf{r} \times \mathbf{V}) \rho \right) d\mathcal{V} + \int_{\text{CS}} (\mathbf{r} \times \mathbf{V}) \rho (\mathbf{V} \cdot \hat{\mathbf{n}}) \, dA$$
Används vid rotationssymmetriska maskiner (t.ex. radialpumpar, vattenspridare, turbiner) för att koppla axelvridmoment till förändringen i fluidens tangentialhastighet (Eulers turbinformel):
$$\mathbf{T}_{\text{shaft}} = \sum \mathbf{M}_O$$
Bernoullis ekvation / The Bernoulli Equation:
Samband mellan statiskt tryck, hastighet och geodetisk höjd:
$$p_1 + \frac{1}{2}\rho V_1^2 + \rho g z_1 = p_2 + \frac{1}{2}\rho V_2^2 + \rho g z_2 = \text{konst}$$
Fyra strikta antaganden vid härledningen:
Stationär strömning / Steady flow:
$$\frac{\partial}{\partial t} = 0$$
Inkompressibel fluid / Incompressible flow:
$$\rho = \text{konst}$$
Friktionsfri strömning / Frictionless (inviscid) flow:
$$\mu = 0$$
Strömning längs en strömlinje / Along a single streamline (konstanten varierar generellt mellan olika strömlinjer om flödet inte är virvelfritt):
$$\nabla \times \mathbf{V} = \mathbf{0}$$
Tryckkomponenter i Bernoullis ekvation:
Statiskt tryck / Static pressure (termodynamiskt tryck):
$$p$$
Dynamiskt tryck / Dynamic pressure:
$$q = \frac{1}{2}\rho V^2$$
Stagnationstryck eller totaltryck / Stagnation (Total) pressure (trycket då fluiden retarderas isentropiskt till vila):
$$p_0 = p + \frac{1}{2}\rho V^2$$
Hydrostatiskt tryckbidrag / Hydrostatic head:
$$\rho g z$$
Hastighets- och flödesmätare / Flow Measurement Instruments:
Prandtl-rör (Pitot-statiskt rör) / Prandtl tube (Pitot-static tube): Mäter differensen mellan totaltrycket i spetsen och det statiska trycket i sidohålen. Hastigheten ges via Bernoullis ekvation:
$$V = \sqrt{\frac{2(p_0 - p)}{\rho}}$$
Venturimeter / Venturi meter: En rörförträngning som mäter volymflöde:
$$Q = A_2 \sqrt{\frac{2(p_1 - p_2)/\rho}{1 - (A_2/A_1)^2}}$$
Energiekvationen för kontrollvolym / Conservation of Energy:
Utgår från termodynamikens 1:a huvudsats:
$$\frac{d E_{\text{sys}}}{dt} = \dot{Q}_{\text{net in}} - \dot{W}_{\text{net ut}}$$
Arbetsflödet delas upp:
$$\dot{W} = \dot{W}_{\text{axel}} + \dot{W}_{\text{tryck}} + \dot{W}_{\text{viskös}}$$
där tryckarbetet omvandlas med inre energin till entalpi:
$$h = \hat{u} + \frac{p}{\rho}$$
Utökad energiekvation på tryckhöjdsform (Head form):
$$\frac{p_1}{\rho g} + \frac{\alpha_1 V_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\rho g} + \frac{\alpha_2 V_2^2}{2g} + z_2 + h_f - h_p + h_t$$
där pumptryckhöjd / pump head ges av:
$$P_{\text{pump}} = \dot{m} g h_p$$
turbintryckhöjd / turbine head ges av:
$$P_{\text{turbin}} = \dot{m} g h_t$$
och följande är friktionsförlusthöjd / friction head loss:
$$h_f$$
Korrigeringsfaktor för kinetisk energi / Kinetic Energy Correction Factor ($\alpha$):
$$\alpha = \frac{1}{A} \int_A \left( \frac{u}{V_{\text{avg}}} \right)^3 dA$$
Laminär rörströmning:
$$\alpha = 2.0$$
Turbulent rörströmning:
$$\alpha \approx 1.04\text{--}1.11 \approx 1.0$$
Kapitel 4: Differentiella samband för fluidströmning / Differential Relations for Fluid Flow
Materiell derivata (Substantiell derivata) / Substantial (Material) Derivative:
Beskriver den totala tidsförändringen för en egenskap hos en fluidpartikel när den följs i ett eulerianskt koordinatsystem:
$$\frac{D}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} + (\mathbf{V} \cdot \nabla) = \frac{\partial}{\partial t} + u\frac{\partial}{\partial x} + v\frac{\partial}{\partial y} + w\frac{\partial}{\partial z}$$
Lokal tidsderivata / Local acceleration: noll vid stationärt flöde:
$$\frac{\partial}{\partial t}$$
Konvektiv derivata / Convective acceleration: förändring p.g.a. rörelse genom rumsliga variationer:
$$(\mathbf{V} \cdot \nabla)$$
Kontinuitetsekvationen på differentialform / Differential Continuity Equation:
Erhålls ur massbalans på ett infinitesimalt kontrollelement:
$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{V}) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y} + \frac{\partial (\rho w)}{\partial z} = 0$$
Alternativt med materiell derivata:
$$\frac{D\rho}{Dt} + \rho (\nabla \cdot \mathbf{V}) = 0$$
Inkompressibel fluid / Incompressible flow:
$$\rho = \text{konst} \implies \nabla \cdot \mathbf{V} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} = 0$$
Hastighetsfältet är divergensfritt (solenoidalt).
Stationärt flöde / Steady-state flow:
$$\nabla \cdot (\rho \mathbf{V}) = 0$$
Spänningstensorn / The Stress Tensor:
Beskriver ytkrafter per ytenhet på fluidelementets sidoytor:
$$\sigma_{ij} = -p\,\delta_{ij} + \tau_{ij}$$
där Kroneckers delta är:
$$\delta_{ij}$$
och trycket verkar i negativ yt-normalriktning.
Symmetriegenskap / Symmetry of Stress Tensor: Impulsmomentekvationen på ett infinitesimalt element visar att spänningstensorn är symmetrisk för att förhindra oändlig vinkelacceleration:
$$\tau_{ij} = \tau_{ji} \quad (\tau_{xy} = \tau_{yx}, \ \tau_{xz} = \tau_{zx}, \ \tau_{yz} = \tau_{zy})$$
Cauchys rörelseekvation / Cauchy's Equation of Motion:
Gäller för alla kontinuerliga medier:
$$\rho \frac{D\mathbf{V}}{Dt} = \rho \mathbf{g} + \nabla \cdot \sigma_{ij} = \rho \mathbf{g} - \nabla p + \nabla \cdot \tau_{ij}$$
Navier-Stokes ekvationer / Navier-Stokes Equations:
Uppstår för en newtonsk, inkompressibel fluid med konstant viskositet:
$$\tau_{ij} = \mu \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)$$
På vektorform:
$$\rho \frac{D\mathbf{V}}{Dt} = -\nabla p + \rho \mathbf{g} + \mu \nabla^2 \mathbf{V}$$
I skalära kartesiska komponenter:
$$x\text{-led:} \quad \rho \left( \frac{\partial u}{\partial t} + u\frac{\partial u}{\partial x} + v\frac{\partial u}{\partial y} + w\frac{\partial u}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial x} + \rho g_x + \mu \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right)$$
$$y\text{-led:} \quad \rho \left( \frac{\partial v}{\partial t} + u\frac{\partial v}{\partial x} + v\frac{\partial v}{\partial y} + w\frac{\partial v}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial y} + \rho g_y + \mu \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2} \right)$$
$$z\text{-led:} \quad \rho \left( \frac{\partial w}{\partial t} + u\frac{\partial w}{\partial x} + v\frac{\partial w}{\partial y} + w\frac{\partial w}{\partial z} \right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \rho g_z + \mu \left( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2} \right)$$
Fysikalisk tolkning av termerna:
Tröghetskrafter per volymenhet / Inertial forces:
$$\rho \frac{D\mathbf{V}}{Dt}$$
Nettotryckkraft per volymenhet / Pressure gradient force:
$$-\nabla p$$
Gravitationskraft per volymenhet / Body force:
$$\rho \mathbf{g}$$
Nettoviskösa diffusionskrafter per volymenhet / Viscous diffusion forces:
$$\mu \nabla^2 \mathbf{V}$$
Energiekvationen på differentialform / Differential Energy Equation:
Balans av inre energi per massenhet:
$$\rho \frac{D\hat{u}}{Dt} = -p(\nabla \cdot \mathbf{V}) + \nabla \cdot (k \nabla T) + \Phi$$
Reversibelt tryckarbete (noll vid inkompressibelt flöde):
$$-p(\nabla \cdot \mathbf{V})$$
Värmeledning enligt Fouriers lag:
$$\nabla \cdot (k \nabla T)$$
Viskös dissipation / Viscous dissipation function (arbetet som skjuvspänningarna oåterkalleligen omvandlar till termisk energi):
$$\Phi$$
Alla termer i dissipationsfunktionen är kvadratiska, vilket innebär att friktion alltid alstrar värme:
$$\Phi \ge 0$$
Ekvationssystemets slutenhet / Determinacy of Equations:
För ett inkompressibelt isotermt flöde med konstant densitet och viskositet finns 4 obekanta: $(u, v, w, p)$.
Dessa löses med 4 ekvationer: Kontinuitetsekvationen (1 st) + Navier-Stokes tre komponenter (3 st).
Randvillkor vid fast vägg / Boundary Conditions at a Solid Wall:
Hastighet: Häftvillkoret / No-slip condition:
$$\mathbf{V}_{\text{fluid}} = \mathbf{V}_{\text{vägg}}$$
samt inget genomträngningsflöde / no-penetration condition:
$$V_{n,\text{fluid}} = V_{n,\text{vägg}}$$
Temperatur: Termisk jämvikt eller föreskrivet värmeflöde via Fouriers lag:
$$T_{\text{fluid}} = T_{\text{vägg}} \quad \text{eller} \quad -k\frac{\partial T}{\partial n} = q_w$$
Rotation och Vorticite / Rotation and Vorticity:
Vinkelhastighet / Angular Velocity:
$$\mathbf{\omega} = \frac{1}{2}(\nabla \times \mathbf{V})$$
Vorticite / Vorticity: Mått på lokal rotation hos fluidpartikeln:
$$\mathbf{\zeta} = \nabla \times \mathbf{V} = 2\mathbf{\omega} = \left( \frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} \right)\hat{\mathbf{i}} + \left( \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} \right)\hat{\mathbf{j}} + \left( \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \right)\hat{\mathbf{k}}$$
Rotationsfri (Virvelfri) strömning / Irrotational Flow:
$$\nabla \times \mathbf{V} = \mathbf{0} \implies \mathbf{V} = \nabla \phi$$
där hastighetspotentialen betecknas med $\phi$ (potentialströmning).
Klassiska 2D Navier-Stokes-lösningar / Classical Exact 2D Solutions:
Couette-strömning / Couette Flow: Stationär, fullt utvecklad strömning mellan två plana plattor där den övre plattan rör sig med hastighet V och:
$$\frac{\partial p}{\partial x} = 0 \implies \frac{d^2 u}{dy^2} = 0$$
Linjär hastighetsprofil:
$$u(y) = V \frac{y}{h}$$
Couette-strömning är rotationsbehaftad (rotational) eftersom elementets bisektris roterar:
$$\omega_z = -\frac{1}{2}\frac{du}{dy} = -\frac{V}{2h} \neq 0$$
Poiseuille-strömning / Poiseuille Flow: Stationär, fullt utvecklad strömning driven av en konstant tryckgradient mellan två stillastående plattor:
$$\frac{\partial p}{\partial x} = \text{konst} < 0 \implies \mu \frac{d^2 u}{dy^2} = \frac{\partial p}{\partial x}$$
Parabolisk hastighetsprofil:
$$u(y) = \frac{1}{2\mu}\left(\frac{\partial p}{\partial x}\right)(y^2 - hy)$$
kapitel 7: Strömning runt nedsänkta kroppar / Flow Past Immersed Bodies
Gränsskiktsteori och storleksordningsanalys / Boundary-Layer Theory and Order-of-Magnitude Analysis:
Prandtls gränsskiktsantagande: Vid höga Reynolds tal koncentreras de viskösa effekterna till ett tunt skikt:
$$\delta \ll L \implies \delta^* = \frac{\delta}{L} \ll 1$$
Storleksordningar:
$$x^* = \frac{x}{L} \sim 1, \quad y^* = \frac{y}{L} \sim \delta^*, \quad u^* = \frac{u}{U} \sim 1, \quad p^* = \frac{p}{\rho U^2} \sim 1$$
Kontinuitet ger:
$$v^* \sim \delta^* \ll 1$$
Balans mellan tröghet och viskositet ger:
$$\frac{1}{Re} \sim \delta^{*2} \implies \delta \sim \frac{L}{\sqrt{Re_L}}$$
Tryckgradienten i tvärled är försumbar:
$$\frac{\partial p}{\partial y} \approx 0 \implies p(x, y) \approx p(x)$$
vilket kopplas till ytterströmningen via Bernoulli:
$$-\frac{1}{\rho}\frac{dp}{dx} = U \frac{dU}{dx}$$
Prandtls gränsskiktsekvationer / Prandtl's Boundary-Layer Equations (2D):
Laminär strömning / Laminar flow:
$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$$
$$u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = U \frac{dU}{dx} + \nu \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$
Turbulent strömning / Turbulent flow:
$$\frac{\partial \bar{u}}{\partial x} + \frac{\partial \bar{v}}{\partial y} = 0$$
$$\bar{u} \frac{\partial \bar{u}}{\partial x} + \bar{v} \frac{\partial \bar{u}}{\partial y} = -\frac{1}{\rho}\frac{d\bar{p}}{dx} + \nu \frac{\partial^2 \bar{u}}{\partial y^2} - \frac{\partial}{\partial y}(\overline{u'v'})$$
Integrala tjockleksmått / Integral Thickness Measures:
Gränsskiktstjocklek:
$$u(y=\delta) = 0.99 U$$
Förträngningstjocklek / Displacement thickness:
$$\delta^* = \int_0^\delta \left(1 - \frac{u}{U}\right) dy$$
Impulsförlusttjocklek / Momentum thickness:
$$\theta = \int_0^\delta \frac{u}{U}\left(1 - \frac{u}{U}\right) dy$$
Formfaktor / Shape factor:
$$H = \frac{\delta^*}{\theta}$$
Von Kármáns integralrelation / Von Kármán Momentum Integral Relation:
Generellt uttryck:
$$\frac{\tau_w}{\rho U^2} = \frac{c_f}{2} = \frac{d\theta}{dx} + (2 + H)\frac{\theta}{U}\frac{dU}{dx}$$
För en plan platta med konstant ytterhastighet:
$$\tau_w = \rho U^2 \frac{d\theta}{dx} \quad \Longleftrightarrow \quad c_f = 2 \frac{d\theta}{dx}$$
Totalt friktionsmotstånd för bredden b:
$$D(x) = b \int_0^x \tau_w(x)\,dx = \rho b U^2 \theta(x)$$
Blasius lösning för laminärt gränsskikt / Blasius Laminar Flat-Plate Solution:
Självformande variabel:
$$\frac{u}{U} = f'(\eta), \quad \eta = y \sqrt{\frac{U}{\nu x}} = \frac{y}{x}\sqrt{Re_x}$$
Blasius ODE:
$$f''' + \frac{1}{2}ff'' = 0$$
med randvillkoren:
$$f(0) = 0, \quad f'(0) = 0, \quad f'(\eta \to \infty) = 1.0$$
Vägggradient:
$$f''(0) \approx 0.332$$
Jämförelse mellan laminärt och turbulent gränsskikt på plan platta:
Laminärt (Blasius):
Skikttjocklek:
$$\frac{\delta}{x} \approx \frac{5.0}{\sqrt{Re_x}}$$
Förträngningstjocklek:
$$\frac{\delta^*}{x} \approx \frac{1.72}{\sqrt{Re_x}}$$
Impulsförlusttjocklek:
$$\frac{\theta}{x} \approx \frac{0.664}{\sqrt{Re_x}}$$
Formfaktor:
$$H \approx 2.59$$
Väggskjuvspänning:
$$\tau_w(x) = \frac{0.332 \rho U^2}{\sqrt{Re_x}}$$
Lokal friktionskoefficient:
$$c_f(x) = \frac{0.664}{\sqrt{Re_x}}$$
Total motståndskoefficient (en sida):
$$C_D = \frac{1.328}{\sqrt{Re_L}}$$
Turbulent (Prandtls 1/7-delspotenslag):
Skikttjocklek:
$$\frac{\delta}{x} \approx \frac{0.16}{Re_x^{1/7}}$$
Förträngningstjocklek:
$$\frac{\delta^*}{x} \approx \frac{0.02}{Re_x^{1/7}}$$
Impulsförlusttjocklek:
$$\frac{\theta}{x} \approx \frac{0.016}{Re_x^{1/7}}$$
Formfaktor:
$$H \approx 1.29$$
Väggskjuvspänning:
$$\tau_w(x) = \frac{0.0135 \rho U^2}{Re_x^{1/7}}$$
Lokal friktionskoefficient:
$$c_f(x) = \frac{0.027}{Re_x^{1/7}}$$
Total motståndskoefficient (slät platta, helt turbulent):
$$C_D = \frac{0.031}{Re_L^{1/7}}$$
Omslag till turbulens / Transition to Turbulence:
Kritiskt Reynolds tal:
$$Re_{x,\text{crit}} \approx 5.0 \times 10^5$$
Tidigareläggs av ökad friströmsturbulens, motriktad tryckgradient eller råhet:
$$Re_\epsilon = \frac{U\epsilon}{\nu} > 680$$
Tryckgradienter och gränsskiktsavlösning / Pressure Gradients and Flow Separation:
Vid väggen gäller:
$$\left. \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right|_{y=0} = \frac{1}{\mu}\frac{dp}{dx}$$
Vid motriktad gradient uppstår en inflektionspunkt:
$$\frac{dp}{dx} > 0 \implies \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$
Separationskriterium:
$$\tau_w = \mu \left. \frac{\partial u}{\partial y} \right|_{y=0} = 0$$
Krafter på nedsänkta kroppar / Aerodynamic Forces:
Motståndskoefficient:
$$C_D = \frac{F_D}{\frac{1}{2}\rho V^2 A}$$
Lyftkraftskoefficient:
$$C_L = \frac{F_L}{\frac{1}{2}\rho V^2 A}$$
Uppdelning av motstånd:
$$F_D = F_{D,\text{friktion}} + F_{D,\text{tryck}} \quad \Longleftrightarrow \quad C_D = C_{D,\text{friction}} + C_{D,\text{pressure}}$$
Strömning runt cylinder och motståndskrisen / Flow Around a Cylinder and Drag Crisis:
Laminärt gränsskikt avlöser tidigt (vid ca 82 grader) vilket ger bred vak och högt formmotstånd:
$$C_D \approx 1.2$$
Turbulent gränsskikt fördröjer avlösningen (till ca 120 grader) vilket smalnar av vaken och sänker motståndet drastiskt:
$$C_D \approx 0.3$$
Dimples på golfbollar framkallar turbulent gränsskikt i förtid och minskar därmed formmotståndet med över hälften.
kapitel 5: Dimensionsanalys och likformighet / Dimensional Analysis and Similarity
Syfte med dimensionsanalys / Purpose of Dimensional Analysis:
Datareduktion / Data reduction: Minskar antalet oberoende parametrar så att stora mängder data kan sammanfattas i ett fåtal generella kurvor.
Skallagar / Scaling laws: Möjliggör överföring av mätdata från modellskala till fullskalig prototyp.
Fysikalisk insikt / Physical insight: Identifierar dominanta respektive försumbara krafter i ett givet strömningsproblem.
Buckinghams Pi-teorem / The Buckingham Pi Theorem:
Om ett fysikaliskt problem involverar n stycken fysikaliska variabler som beskrivs av k grundläggande dimensioner, kan sambandet skrivas om i termer av oberoende dimensionslösa grupper:
$$j = n - k$$
Reduktionsfaktorn k är normalt lika med antalet primära dimensioner (oftast 3 i fluidmekanik: M, L, T).
Upprepade variabler / Repeating variables (k st) måste innehålla alla primära dimensioner och får inte själva bilda en dimensionslös grupp.
Likformighetskriterier / Similarity Concepts:
Geometrisk likformighet / Geometric similarity: Alla längdmått i samtliga tre rymddimensioner skalas med samma konstanta längdskalefaktor:
$$\frac{L_m}{L_p} = \lambda_L = \text{konst}$$
Alla geometriska vinklar, nosradier och relativ ytråhet bevaras exakt.
Kinematisk likformighet / Kinematic similarity: Homologa partiklar befinner sig i homologa punkter vid homologa tider. Hastighetsvektorer skalas med en konstant faktor:
$$\frac{\mathbf{V}_m}{\mathbf{V}_p} = \lambda_V = \text{konst}$$
Dynamisk likformighet / Dynamic similarity: Alla krafter skalas med samma kraftskalefaktor:
$$\frac{\mathbf{F}_{i,m}}{\mathbf{F}_{i,p}} = \lambda_F = \text{konst}$$
Kräver att alla relevanta dimensionslösa tal matchas mellan modell (m) och prototyp (p):
Inkompressibel strömning utan fri yta:
$$Re_m = Re_p$$
Strömning med fri vätskeyta (fartyg, öppna rännor):
$$Fr_m = Fr_p$$
Kompressibel strömning:
$$Ma_m = Ma_p, \quad Re_m = Re_p, \quad \gamma_m = \gamma_p$$
Centrala dimensionslösa tal / Governing Dimensionless Parameters:
Reynolds tal / Reynolds number:
$$Re = \frac{\rho V L}{\mu} = \frac{\text{Tröghetskrafter / Inertia forces}}{\text{Viskösa krafter / Viscous forces}}$$
Froudes tal / Froude number:
$$Fr = \frac{V}{\sqrt{g L}} = \sqrt{\frac{\text{Tröghetskrafter / Inertia forces}}{\text{Gravitationskrafter / Gravity forces}}}$$
Mach-tal / Mach number:
$$Ma = \frac{V}{a} = \sqrt{\frac{\text{Tröghetskrafter / Inertia forces}}{\text{Kompressibilitetskrafter / Compressibility forces}}}$$
Webers tal / Weber number:
$$We = \frac{\rho V^2 L}{\Upsilon} = \frac{\text{Tröghetskrafter / Inertia forces}}{\text{Ytspänningskrafter / Surface tension forces}}$$
Strouhals tal / Strouhal number:
$$St = \frac{f L}{V} = \frac{\text{Oscillationsfrekvens $\times$ längd}}{\text{Strömningshastighet}}$$
Kavitationstal / Cavitation number:
$$\sigma = \frac{p - p_v}{\frac{1}{2}\rho V^2}$$
Kavitering inträffar när:
$$\sigma \le \sigma_{\text{crit}}$$
Tryckkoefficient / Pressure coefficient:
$$C_p = \frac{p - p_\infty}{\frac{1}{2}\rho V_\infty^2}$$
Motståndskoefficient / Drag coefficient:
$$C_D = \frac{F_D}{\frac{1}{2}\rho V^2 A}$$
Lyftkraftskoefficient / Lift coefficient:
$$C_L = \frac{F_L}{\frac{1}{2}\rho V^2 A}$$
Friktionskoefficient / Skin friction coefficient:
$$C_f = \frac{\tau_w}{\frac{1}{2}\rho V^2}$$