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SISTEMAS DE ECUACIONES/MATRICES - Coggle Diagram
SISTEMAS DE ECUACIONES/MATRICES
Sistemas de Ecuaciones A·X = B
Métodos Directos
Gauss: escalona la matriz (hace ceros debajo de la diagonal) y luego despeja las variables una por una. Es muy útil para sistemas grandes.
Gauss-Jordan: sigue operando hasta que la matriz de coeficientes se vuelve la identidad. Así la solución se lee directamente, sin despejar nada.
Cramer: usa determinantes. Es rapidísimo para sistemas de 2x2 y 3x3, pero se complica mucho en sistemas más grandes.
Matriz Inversa: calcula la inversa de A y la multiplica por los resultados. Sirve cuando hay que resolver varios sistemas con la misma matriz.
Métodos Iterativos
Jacobi: da valores iniciales y va calculando aproximaciones hasta acercarse a la solución.
Gauss-Seidel: parecido a Jacobi, pero usa los valores nuevos apenas los tiene. Por eso converge más rápido.
Determinantes
Definición: es un número que solo se calcula en matrices cuadradas. Si es distinto de cero, hay solución única. Si es cero, puede haber infinitas soluciones o ninguna.
Cofactores: forma de calcular determinantes de cualquier tamaño, expandiendo por una fila o columna.
Sarrus: regla rápida solo para matrices 3x3.
Aplicaciones: sirven para saber si una matriz tiene inversa, para el rango y para la independencia lineal.
Conceptos Clave
Matriz aumentada: es la matriz de coeficientes con una columna extra para los resultados. Se escribe [A|B].
Operaciones elementales: son las que se pueden hacer entre filas: intercambiar, multiplicar por un número o sumar una fila a otra.
Rango y Rouché-Capelli: el rango dice cuántas filas útiles hay. Si el rango de A y el de la aumentada son iguales, el sistema tiene solución.
Clasificación: los sistemas pueden tener solución única, infinitas soluciones o ninguna.