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Simulação Numérica e Discretização, aproximar integral ∫f(x)dx - Coggle…
Simulação Numérica e Discretização
equações diferenciais ordinárias (EDOs)
equações que envolvem derivadas de funções
derivada = taxa de variação
velocidade e aceleração de objetos, crescimento populacional...
campos de direção
primeira ordem: primeira derivada segunda ordem: segunda derivada
...
entender sistemas que mudam com o tempo
modelagem de situações reais
definir leis da física
equação da onda
utt = (a^2)uxx
equação do calor
ut = (α^2)uxx
equações complexas sem solução definida
resolução por métodos numéricos
y'(t) = f(t, y(t)),
sistemas de EDOs
base da simulação computacional
pêndulo balançando sob ação da gravidade
mecânica orbital de satélites
métodos de Runge-Kutta
família de métodos de resolução de EDOs
método de euler
método do trapezoide
ideais para equações de ordem alta
ordem mais alta: mais precisão
métodos de um passo
simples de implementar
neurônio de Hodgkin-Huxley: modelo computacional simulando células neurais
modela voltagem e transporte de íons entre exterior e interior
equações de Lorenz: simula movimento do calor num fluido
interpolação polinomial
descobrir função polinomial aproximada dados os pontos
interpolações
Lagrange
Chebshev
busca reduzir explosões nas extremidades de polinômios com pontos equidistantes
Splines cúbicos
Aplicação
Descobrir como definir modelos para fenômenos naturais
interpolação != extrapolação
interpolação é mais precisa que a extrapolação
Diferenças divididas de Newton
algoritmo para encontrar os coeficientes da interpolação
Erro de interpolação e estabilidade
interpolação
estima valores desconhecidos entre pontos conhecidos
Erro de interpolação
é a diferença entre o valor estimado pelo modelo do valor real
Aplicação
Carregamento do celular
:
interpolação
: em 0min o celular está 0% e em 30min o celular está em 60%, então estima-se que em 1h o celular estará completamente carregado
erro de interpolação
: o carregamento não é constante e fica mais lento depois de 50%
Diferenciação numérica
ideia fundamental
cálculo da derivada aproximada de uma função a partir de pontos discretos
Aplicações
Cálculo da velocidade em smartwartch
:
o relógio calcula a taxa de variação da posição em relação ao tempo -> diferenciação da posição
Frequência cardíaca:
Medição de batimentos cardíacos com relação ao tempo
Consumo de combustível:
variação da gasolina por quilômetros percorridos
extrapolação de Richardson
ideia fundamental
aumentar a precisão de uma aproximação numérica
erro numérico
E(h) ≈ C·hᵖ
ordem p
Refinamento
h → h/2
duas aproximações
Iₕ
extrapolação
aproximação melhor
Iₕ/2
métodos de integração numérica
funções analíticas sem primitivas simples
sin(x) / x
estratégia de integração
métodos numéricos
erro associado
depende de h
regra do trapézio
retas
O(h²)
regra de simpson
parábolas
coeficientes 1:4:1
coeficientes 1:4:1
O(h⁴)
regra do ponto médio
retângulos
O(h²)
e^(-x²)
estabilidade e rigidez
splines
aproximar integral ∫f(x)dx
área sob uma curva
