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SB 5 Einfaktorielle Varianzanalyse und einfache lineare Regression, Was…
SB 5
Einfaktorielle Varianzanalyse und einfache lineare Regression
Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA)
Grundidee
Inferenzstatistisches Verfahren
Für metrisch skalierte Merkmale
Vergleicht Mittelwerte von mehreren Gruppen
Fragestellung
Unterscheiden sich die Mittelwerte
von mehr als zwei Gruppen?
Beispiel:
Unterscheiden sich 3 Gruppen
in ihrer Prüfungsleistung?
Hypothesen
H0
Keine Mittelwertsunterschiede zwischen den Gruppen
H1
Mindestens ein Mittelwert unterscheidet sich
→ Immer ungerichtete Hypothesen
Voraussetzungen
Unabhängigkeit
Die Beobachtungen/Fehlerwerte sind unabhängig
Keine abhängigen Stichproben
Varianzhomogenität
Varianzen der Gruppen sind gleich
Normalverteilung
Das Merkmal ist in allen Populationen normalverteilt
F-Verteilung
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Basiert auf zwei unabhängigen χ²-verteilten Variablen
Bestimmt sich über Freiheitsgrade
Durchführung
Gesamtvariation der Daten wird untersucht
Gesamtquadratsumme wird zerlegt
Dadurch wird geprüft, ob sich Gruppenmittelwerte unterscheiden
Welch-ANOVA / Welch-Korrektur
Alternative bei ungleichen Varianzen
→ Wenn Varianzhomogenität verletzt ist
Post-hoc-Tests / Paarvergleiche
ANOVA sagt nur:
Es gibt irgendwo einen Unterschied
Sie sagt nicht:
Welche Gruppen unterscheiden sich?
Post-hoc-Tests vergleichen einzelne Gruppenpaare
Bonferroni-Adjustierung
Passt das Signifikanzniveau α
an die Anzahl der Vergleiche an
Tukey-Test
Vergleicht Mittelwertsunterschiede
Mit angepasster Prüfverteilung
Effektstärke
Häufig η² (Eta-Quadrat)
Zeigt die Größe des Effekts
Poweranalyse
Zeigt die Wahrscheinlichkeit,
einen tatsächlich vorhandenen Effekt
als signifikant zu erkennen
Einfache lineare Regression
Grundidee
Vorhersage einer Variable Y
aus einer Variable X
Beispiel:
Wie gut sagt Lernzeit die Prüfungsleistung vorher?
Fragestellung
Ob und wie gut ein metrisches Merkmal
aus einem anderen Merkmal vorhergesagt werden kann
Hypothesen
H0
Kein entsprechender Zusammenhang / kein Effekt
H1
Entsprechender Zusammenhang / Effekt vorhanden
Regressionsgewicht
β₁ (Beta)
Voraussetzungen
Linearität
Zusammenhang zwischen X und Y ist linear
Varianzhomogenität / Homoskedastizität
Y-Werte streuen über X hinweg gleichmäßig
Normalverteilung
Y-Werte sind für jeden X-Wert normalverteilt
Unabhängigkeit
Residuen sind voneinander unabhängig
Durchführung
Regressionsgerade wird gesucht
Ziel:
Bestmögliche Vorhersage der Daten
Kleinste-Quadrate-Kriterium
Summe der quadrierten Vorhersagefehler
soll möglichst klein sein
Rechnen mit z-Werten
Variablen können standardisiert werden
→ Umrechnung in z-Werte
Konsequenzen
Achsenabschnitt = 0
Regressionsgerade geht durch den Ursprung
Regressionsgewicht zeigt Veränderung in Standardabweichungen
Regressionsgewicht = Pearson-Korrelation
Residuenanalyse / Regressionsdiagnostik
Residuen = Fehler der Vorhersage
Zeigen, wie stark beobachtete Werte
von vorhergesagten Werten abweichen
Güte der Vorhersage / Effektstärkemaße
Varianzen werden miteinander ins Verhältnis gesetzt
→ Zeigt, wie gut X die Werte von Y erklärt
Poweranalyse
A-priori-Poweranalyse
Vor der Untersuchung
Post-hoc-Poweranalyse
Nach der Untersuchung
Kann mit G*Power durchgeführt werden
Non-parametrische und alternative Verfahren
Werden verwendet,
wenn Voraussetzungen parametrischer Verfahren verletzt sind
Kruskal-Wallis-Test
Alternative zur einfaktoriellen ANOVA
Bei fehlender Normalverteilung
Besonders bei kleinen Stichproben
Vergleicht Mediane mehrerer Gruppen
Omnibus-Test
Zeigt nur, ob insgesamt Unterschiede bestehen
Nicht welche Gruppen sich unterscheiden
Erweiterung des U-Tests
Abweichende Regressionsmodelle
Wenn Voraussetzungen der linearen Regression verletzt sind
Gibt es nicht nur eine Alternative
Nicht-Linearität
Zusammenhang ist nicht gerade/linear
Varianzheterogenität
Varianzen sind nicht gleich
Nicht-Normalverteilung
Daten/Residuen sind nicht normalverteilt
Abhängigkeit
Beobachtungen bzw. Residuen sind nicht unabhängig
Was will ich untersuchen?
ANOVA
Frage:
Unterscheiden sich die Mittelwerte
von mehr als zwei Gruppen?
Beispiel:
Unterscheiden sich 3 Gruppen
in ihrer Prüfungsleistung?
Voraussetzungen
Normalverteilung
Varianzhomogenität
Unabhängigkeit
→ Voraussetzungen erfüllt
ANOVA
→ Varianzen ungleich
Welch-ANOVA
→ Keine Normalverteilung
Kruskal-Wallis-Test
ANOVA signifikant?
NEIN
→ Kein weiterer Gruppenvergleich
JA
→ Post-hoc-Tests
Bonferroni
Tukey
→ Welche Gruppen unterscheiden sich?
Effektstärke
η²
→ Wie groß ist der Effekt?
REGRESSION
Frage:
Kann X die Variable Y vorhersagen?
Beispiel:
Lernzeit → Prüfungsleistung
Voraussetzungen
Linearität
Homoskedastizität
Normalverteilung
Unabhängigkeit
→ Voraussetzungen erfüllt
Einfache lineare Regression
→ Voraussetzungen verletzt
→ Alternatives Regressionsmodell
→ Welche Alternative hängt
von der verletzten Voraussetzung ab?
Ergebnis
Regressionsgerade
→ Vorhersage von Y
Residuen
→ Vorhersagefehler
Güte
→ Wie gut ist die Vorhersage?
NON-PARAMETRISCHE TESTS
Grundidee
Parametrischer Test nicht geeignet
→ Voraussetzungen verletzt
→ Arbeiten mit Rangdaten
Welche Fragestellung?
Mehr als zwei Gruppen
→ Kruskal-Wallis-Test
→ Alternative zur ANOVA
Ein Stichprobenwert / Median
→ Vorzeichentest
→ Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest
Zwei abhängige Stichproben
→ Wilcoxon-Vorzeichen-Rangtest
Zwei unabhängige Stichproben
→ Mann-Whitney-U-Test
→ Wilcoxon-Rangsummen-Test
Zusammenhang zwischen zwei Variablen
→ Kendall
→ Spearman
→ Alternativen zu Pearson