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Fundamentos Numéricos - Coggle Diagram

- - - - método
        
        bisseção
        
        regra
        
        c = (a+b)/2, substitui a ou b
        
        convergência
        
        linear garantida, S ≈ 1/2
        
        1 more item...
        
        erro
        
        |xc − r| < (b−a)/2^(n+1)
      - método
        
        regula falsi (falsa posição)
        
        regra
        
        c = (b·f(a) − a·f(b)) / (f(a) − f(b))
        
        convergência é
        
        linear (p=1)
        
        1 more item...
      - requer
        
        f(a)·f(b) < 0
      - todos compartilham
        
        critérios de parada
        
        opção 1
        
        |x_{i+1} − x_i| < TOL
        
        opção 2
        
        |x_{i+1} − xi| / |x{i+1}| < TOL
        
        opção 3
        
        |x_{i+1} − xi| / max(|x{i+1}|, θ) < TOL
  - - - tem a forma geral de
        
        iteração de ponto fixo (FPI)
        
        regra
        
        x_{i+1} = g(x_i)
        
        converge se
        
        S = |g'(r)| < 1 (convergência local e linear)
        
        caso particular
        
        método de Newton
        
        regra
        
        x_{i+1} = x_i − f(x_i)/f'(x_i)
        
        2 more items...
        
        trocando f'(x) pelo Jacobiano, para
        
        Newton multivariado
        
        1 more item...
      - combina para formar
        
        método de Brent
        
        estratégia
        
        tenta IQI → secante → bisseção
- - - - em
        
        Sistema Triangular Superior
        
        por meio de
        
        Escalonamento
        
        usando
        
        Pivôs e multiplicadores
        
        1 more item...
  - - - especialmente
        
        Swamping
        
        reduzido por
        
        Pivotamento parcial
        
        realiza
        
        Troca de Linhas
        
        1 more item...
  - - - decompõe
        
        A = LU
        
        onde
        
        U = triangular superior
        
        L = Triangular inferior
- - - - relacionado ao
        
        Input. Quanto o problema deve mudar para que xa seja solução
      - fator de magnificação de erro: EMF = (FE relativo)/(BE relativo)
        
        problemas com EMF alto
    - - relacionado ao
        
        output. Quanto xa deve mudar para que ela seja solução
- - - - pois EG direta custa
        
        O(n³) (inviável p/ n~10⁵)
        
        enquanto iterativos custam
        
        O(n²) por iteração
  - - - definindo
        
        Jacobi
        
        regra
        
        x_{k+1} = ω·D⁻¹(b−Uxk−Lx{k+1}) + (1−ω)x_k
      - usa
        
        valores já atualizados no mesmo passo, dando
        
        dando
        
        Gauss-Seidel
        
        x_{k+1} = ω·D⁻¹(b−Uxk−Lx{k+1}) + (1−ω)x_k
- - - - divide-se em
        
        bit de expoente (11 bits, excesso de 1023)
        
        forma
        
        x = ±1.bbb...b × 2^p
        
        casos especiais
        
        valores reservados
        
        2 more items...
        
        bit de sinal (0 = +, 1 = -)
        
        mantissa (52 bits, normalizada)
        
        exige
  - - - ao converter, aplica-se
        
        regra de arredondamento (round-to-nearest)
        
        bit 53 = 0
        
        trunca (round down)
        
        bit 53 = 1
        
        soma 1 ao bit 52 (round up)
        
        exceto se empate exato
        
        arredonda para par
        
        implica em
        
        acontece também em
- - - - medido por
        
        épsilon de máquina (ε_mach = 2⁻⁵²)
        
        definição
        
        distância entre 1 e o próximo nº representável
        
        afeta
      - limita
        
        erro relativo de arredondamento
        
        fórmula
        
        |fl(x) - x| / |x| ≤ ½ ε_mach
        
        pode gerar
        
        resultados contraintuitivos
        
        1 more item...
      - ocorre também em
        
        operações de ponto flutuante
        
        exige
        
        alinhamento de expoentes (shift)
        
        exemplo
- - - - para matrizes
      - para busca de raízes
- - - - mais equações do que variáveis
    - - vetor b não está no plano formado pelos vetores de A
        
        solução
        
        minimizar vetor residual r = b - Ax, ou seja, encontrar uma solução aproximada
  - - - exemplos de tipos de modelos
        
        periódico
        
        exponencial
        
        linear
        
        polinomial
      - encontrar funções que aproximam a distribuição de dados
        
        simplificação
        
        facilita armazenamento
- - - - motivos pra utilizar
        
        preserva norma dos vetores
        
        fatorização reutilizável
        
        matriz não precisa ser quadrada
        
        cond(A) não explode
        
        número de condicionamento: cond(A) = ||A||.||A^(-1)||
      - utiliza
        
        ortogonalização de Gram Schmidt
        
        subtrair de um vetor suas projeções em outros vetores ja ortogonalizados
      - utiliza
        
        refletores de Householder
        
        movimenta vetores sem alterar o módulo