Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
SB 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Inferenzstatistik -…
SB 3
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und Inferenzstatistik
Wahrscheinlichkeitstheorie
Frequenz
Häufigkeit eines Ereignisses
Zufallsvorgang / Zufallsexperiment
Ergebnis ist vorher nicht sicher vorhersehbar
Ergebnisse schließen sich gegenseitig aus
Ergebnisraum / Ergebnismenge
Enthält alle möglichen Ergebnisse
Ω = alle möglichen Ergebnisse
ω = ein einzelnes Ergebnis
Kombinatorik
Bestimmt mathematisch die Anzahl möglicher Ergebnisse
Bei mehrfacher Durchführung eines Zufallsexperiments
Konzepte zur Wahrscheinlichkeit
Laplace-Wahrscheinlichkeit P(A)
Gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis A ist
Axiome von Kolmogorov
Grundregeln der Wahrscheinlichkeit
Axiom 1: Nichtnegativität
P(A) ≥ 0
Axiom 2: Normiertheit
P(Ω) = 1
Axiom 3: Additivität
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Gilt bei disjunkten Ereignissen
Disjunkt
Zwei Ereignisse können nicht gleichzeitig eintreten
Venn-Diagramme
Zeigen Mengen und ihre Beziehungen grafisch
Bernoulli-Theorem
Schwaches Gesetz der großen Zahlen
Je mehr Beobachtungen es gibt,
desto näher kommt die relative Häufigkeit
an die tatsächliche Wahrscheinlichkeit
Abhängigkeiten zwischen Zufallsereignissen
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Zeigt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
unter einer bestimmten Bedingung
Kann Zusammenhänge zwischen Merkmalen überprüfen
Stochastische Unabhängigkeit
Ereignis A beeinflusst Ereignis B nicht
A und B sind voneinander unabhängig
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Diskrete Zufallsvariablen
Zufallsvariable
Beschreibt Ergebnisse eines Zufallsvorgangs mit Zahlen
Diskrete Zufallsvariable
Ergebnisse werden gezählt oder kategorisiert
Beispiel: Münzwurf, Würfeln
Stetige Zufallsvariable
Kann unendlich viele Werte innerhalb eines Intervalls annehmen
Beispiel: Temperatur, Regenmenge
Gleichverteilung
Alle möglichen Werte haben die gleiche Wahrscheinlichkeit
Bernoulli-Verteilung
Nur zwei mögliche Werte
Beispiel: Erfolg / Misserfolg
Dichotome bzw. binäre Variable
Binomialverteilung
Mehrfache Wiederholung eines Bernoulli-Experiments
Nur zwei mögliche Ergebnisse pro Versuch
Stetige Zufallsvariablen
Dichtefunktion
Zeigt die Verteilung einer stetigen Zufallsvariable
Auf der y-Achse wird die Dichte dargestellt
Normalverteilung / Gauß-Verteilung
Symmetrische, glockenförmige Verteilung
Ein Gipfel = unimodal
Beschrieben durch:
Erwartungswert E(X)
Varianz Var(X)
Standardnormalverteilung
Erwartungswert μ = 0
Varianz σ² = 1
Standardabweichung σ = 1
Inferenzstatistik
Induktive / schließende Statistik
Von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit schließen
Der Schluss ist immer mit einem Fehler verbunden
Fehler kann kontrolliert und begrenzt werden
Irrtumswahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit, eine falsche Entscheidung zu treffen
Stichprobenfehler
Stichprobenwert weicht vom Wert der Grundgesamtheit ab
Unsystematischer Fehler
Kennwert schwankt zufällig
Mal zu hoch, mal zu niedrig
Statistisches Testen an Stichproben
Stichprobenkennwertverteilung
Verteilung eines Kennwerts aus sehr vielen Stichproben
Hypothesentesten
Wissenschaftliche Aussagen werden empirisch überprüft
Hypothesen müssen testbar und widerlegbar sein
Falsifikationismus
Hypothesen müssen grundsätzlich widerlegbar sein
Eine gute Hypothese muss auch falsch sein können
Hypothesen
Alternativhypothese H1
Forschungshypothese
Behauptet einen Effekt bzw. Zusammenhang
Nullhypothese H0
Keine Wirkung / kein Effekt
Stellt meist den Wert 0 dar
Signifikanztest
Entscheidung zwischen H0 und H1
Prüft, ob ein Ergebnis statistisch auffällig ist
Signifikantes Ergebnis
Ergebnis wäre unter H0 nur sehr selten zu erwarten
Binomialtest
Prüft eine beobachtete relative Häufigkeit
bei einem dichotomen Merkmal
gegen eine angenommene Wahrscheinlichkeit
Bayes-Statistik
p-Wert ist NICHT die Wahrscheinlichkeit,
dass H0 wahr ist
p bezieht sich auf das beobachtete Stichprobenergebnis
Fehler beim Hypothesentesten
Alpha-Fehler (α-Fehler)
Effekt wird angenommen,
obwohl tatsächlich kein Effekt vorhanden ist
→ "falscher Alarm"
Beta-Fehler (β-Fehler)
Vorhandener Effekt wird nicht erkannt
→ "Effekt übersehen"
Teststärke / Power
Power = 1 − β
Zeigt, wie wahrscheinlich ein vorhandener Effekt erkannt wird
Hohe Power = geringeres Risiko für β-Fehler
Schätzen von Populationsparametern
Punktschätzung
Ein einzelner Wert wird als Schätzung
für einen unbekannten Populationsparameter verwendet
Gütekriterien von Schätzern
Erwartungstreue
Schätzer liegt im Durchschnitt richtig
Erwartungswert = gesuchter Populationsparameter
Konsistenz
Mit größerer Stichprobe wird die Schätzung immer genauer
Effizienz
Schätzer mit möglichst kleinem Standardfehler
Suffizienz
Nutzt die gesamte relevante Information der Daten
Intervallschätzung
Es wird ein Wertebereich statt eines einzelnen Wertes geschätzt
Dieser Bereich soll den Populationsparameter
mit bestimmter Wahrscheinlichkeit überdecken
Konfidenzintervalle
Breite des Konfidenzintervalls hängt ab von:
Stichprobengröße
Überdeckungswahrscheinlichkeit / Konfidenz
Art des Intervalls