Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Nombres complexos i equacions polinòmiques - Coggle Diagram
Nombres complexos i equacions polinòmiques
Per què apareixen?
Algunes equacions no tenen solució real
Exemple: x² + 1 = 0
Cal ampliar el conjunt dels nombres
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
Definició
z = a + bi
a = part real
b = part imaginària
i² = −1
Arrels complexes
Si z = a + bi és arrel...
En polinomis amb coeficients reals
a − bi també és arrel
Arrels conjugades
Significat matemàtic
Els complexos tanquen algebraicament els polinomis
Equacions abans «impossibles» passen a tenir solució
Context històric
Segle XVI
Resolució d'equacions cúbiques
Cardano
Publica Ars Magna (1545)
Apareixen arrels quadrades de nombres negatius
Bombelli
Dona regles de càlcul coherents
Accepta i utilitza nombres «impossibles»
Euler
Popularitza la notació i
i² = −1
Gauss
Consolida la interpretació dels nombres complexos
Pla complex
Teorema fonamental de l'àlgebra
Equacions de segon grau
ax² + bx + c = 0
Discriminant Δ = b² − 4ac
Δ > 0 → dues arrels reals
Δ = 0 → una arrel real doble
Δ < 0 → dues arrels complexes conjugades
Polinomis
Factorització
Cada arrel z genera un factor x − z
Teorema fonamental de l'àlgebra
Un polinomi de grau n té n arrels complexes comptant multiplicitats