Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
Đại số - Coggle Diagram
Đại số
Chương 5: Ánh xạ tuyến tính
ánh xạ thỏa 2 điều kiện.
Ví dụ Cho
T(x,y)=( 2x ,2y)
nếu
u=( 1,2)
v=( 3,1)
Thì
u+v=( 4,3) cộng trc rồi Biến đổi
T(4,3)=( 8,6)
Tính riêng
T(u)=( 2,4)
T(v)=( 6,2)
Cộng
(2,4)+(6,2)=( 8,6)
Điều kiện 1
T(u+v)=T(u)+T(v)
Biến đổi sau khi cộng = Cộng sau khi biến đổi.
Điều kiện 2
T(kv)=kT(v)
Nhân trước hay nhân sau đều như nhau.
T(x,y)=( 2x ,2y)
cho K=3 thì
u nhân trước 3u=( 3,6) rồi nhân tới T ( 2x ,2y)
= 6 ,12
T(x,y)=( 2x ,2y)
cho K=3 thì
u nhân tới T ( 2 ,4) rồi nhân với K=3
= 6 , 12
Mẹo thi: Nếu đề yêu cầu kiểm tra ánh xạ tuyến tính, hãy thử tính T(0). Nếu khác 0 thì kết luận ngay là không tuyến tính.
Ví dụ không phải ánh xạ tuyến tính
T(x,y)=( x+1,y)
có + 1 à hình dung x và y là 0 thì nhân với số nào vs 0 cũng =0
T(0,0)=(1,0) -> T(0) khác 0 nên ko phải tuyến tính
V. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Mọi ánh xạ tuyến tính đều có thể viết dưới dạng
T(x)=Ax
ta có
T(x)=Ax
tính
(3,4) được biến thành (6,8)
VI. Hạt nhân (Kernel)
Kernel là tập các véc tơ bị biến thành véc tơ 0.
VIII. Hạng (Rank)
IX. Định lý Rank–Nullity
VII. Ảnh (Image)
Là tập tất cả các véc tơ có thể nhận được sau phép biến đổi.
Với ma trận
Đa thức đặc trưng luôn có dạng
ví dụ
Chương 2: Không gian véc tơ
mặt phẳng
u=( 2,3 )
Cộng hai véc tơ.
Ta cộng từng tọa độ
Nhân véc tơ với một số.
Quy tắc: Nhân từng thành phần với số đó.
Véc tơ không
0
Véc tơ đối
u=( 2,5 ) là ngược lại −u =( −2,−5 )
Chương 4: Hệ phương trình tuyến tính
Viết dưới dạng ma trận
Là nhiều phương trình chứa các ẩn số
Mục tiêu là tìm xy
Hệ phương trình tuyến tính luôn có thể viết dưới dạng AX=B.
Ma trận hệ số
Ma trận ẩn
Ma trận kết quả
Các loại nghiệm
Có nghiệm duy nhất
Vô số nghiệm
Vô nghiệm
Phương pháp Gauss (quan trọng nhất) :
Biến đổi ma trận về dạng bậc thang.
ví dụ
Viết thành ma trận mở rộng
Khử hàng thứ hai
tính sao cho số đầu hoặc số sau về 0 , hàng đầu x2 hết rồi trừ đi là xong phương trình mới
Kết quả
Mẹo nhớ: Gauss = khử dần các số phía dưới đường chéo chính về 0.
Muốn biết hệ có 1 nghiệm, vô số nghiệm hay vô nghiệm, hãy xét định thức hoặc hạng ma trận theo định lý Rouché–Capelli
Trường hợp 1: Có 1 nghiệm
Công thức định thức
∣A∣=ad−bc
Đối với ma trận 2×2
Định thức 2×2 = tích đường chéo chính − tích đường chéo phụ.
thế vào
∣A∣=1×(−1)−1×2
∣A∣ khác 0 nên Có đúng 1 nghiệm.
Trường hợp 2: Vô số nghiệm
Sau khi khử Gauss, chỉ nhìn dòng cuối: 0 0 |0
Có thể vô số nghiệm (nếu thiếu phương trình độc lập).
Trường hợp 3: Vô nghiệm
Không thể vừa bằng 2 vừa bằng 5.
Nếu thấy 0 0 |5 Vô nghiệm.
Chương 1: Chương 1: Sơ lược về logic mệnh đề, tập hợp, ánh xạ và đại số Boole
Logic mệnh đề
1.Mệnh đề
chỉ có đúng hoặc sai
mệnh đề chưa xác định dùng các chữ cái
p,q,r,
nó là
biến mệnh đề
biến mệnh đề q nếu đúng là 1 sai là 0 ta gọi 0,1 là thể hiện của q
Quy luật tổng quát
Nếu có n mệnh đề thì số dòng trong bảng chân trị là:
1 mệnh đề → 21\=22^1 = 221\=2 dòng
2 mệnh đề → 22\=42^2 = 422\=4 dòng
3 mệnh đề → 23\=82^3 = 823\=8 dòng
4 mệnh đề → 24\=162^4 = 1624\=16 dòng
2 . Các phép liên kết logic mệnh đề
a. Phủ định (NOT)
ký hiệu
: ko mưa , P : mưa
b. Hội (AND)
Ký hiệu P∧Q
c. Tuyển (OR)
Ký hiệu P∨Q
d. Kéo theo
Ký hiệu P→Q
Học bài (P) Thi đỗ (Q)
P→Q chỉ sai ở một trường hợp (P đúng, Q sai)
e. Tương đương
Ký hiệu P↔Q
Tập hợp
Tập hợp là một nhóm các phần tử.
A={1,2,3,4,5} ,B={3,4} ,C={5,6}
Ký hiệu
nằm trong
2∈A
không nằm trong/không thuộc A
5∈/A
Tập rỗng Không có phần tử nào.
∅
Tập con
B⊆A
bằng nhau
A=B
hợp Gom tất cả phần tử của hai tập, không lặp lại.
A∪C={1,2,3,4,5,6}
số 5 chỉ xuất hiện một lần.
Giao, phần chung của 2 tập
A∩B 3,4
Hiệu tập hợp
A−B ={1,2,5 }
Phần bù
với mọi
tích descartes
Đại số Boole
Đại số Boole thực chất là Logic nhưng thay chữ Đúng/Sai bằng số 1/0.
Biến Boole chỉ nhận 2 giá trị
A=0
A=1
Ba phép toán cơ bản
NOT (Phủ định)
A = 1 => Ā = 0
AND
kí hiệu A⋅B
A và B
Chỉ đúng khi cả hai bằng 1.
OR
ký hiệu A+B
A hoặc B
AB=A+B
00=0
01=1
10=1
11=1
Các luật quan trọng
A+0\=A
A⋅1=A
A+1=1
A⋅0=0
Chuwong3: Ma trận và Định thức
Ma trận là bảng gồm các số được sắp xếp theo hàng và cột.
Gọi là ma trận 2×2.
Các loại ma trận
Chỉ có 1 hàng
[123]
Chỉ có 1 cột
Ma trận vuông
Số hàng = số cột
Ma trận không
Mọi phần tử đều bằng 0.
Ma trận đơn vị
dường chéo chính bằng 1
Ngoài đường chéo bằng 0
Các phép toán
Cộng ma trận
Cộng từng phần tử
Nhân với số
Chỉ cần nhân từng phần tử.
Nhân hai ma trận
Mẹo nhớ: Hàng × Cột.
Chuyển vị
Chương 6: Dạng toàn phương và không gian Euclid
