Please enable JavaScript.
Coggle requires JavaScript to display documents.
UNITAT 06LES DERIVADES - Coggle Diagram
UNITAT 06
LES DERIVADES
1. Concepte
de derivada
Activitat
inicial I
Activitat
inicial II
Taxa de variació
d'una funció
$$ TV(a, b) = f(b) - f(a) $$
Taxa de variació
mitjana d'una funció
$$ TVM(a, b) = \frac {f(b) - f(a)}{b - a} $$
Activitat
d'introducció
Taxa de variació
instantània d'una funció
$$ \Large \lim_{x \rightarrow a} \frac {f(x) - f(a)}{x-a} $$
DERIVADA DE LA
FUNCIÓ EN UN PUNT
$$ f'(a) $$
2. Regles
de derivació
Per operacions
aritmètiques
Suma o resta
$$ \left ( f(x) \pm g(x) \right )' = f'(x) \pm g'(x) $$
Producte
$$ ( f(x) \cdot g(x) )' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x) $$ :
Quocient
$$ \left ( \frac {f(x)}{g(x)} \right )' = \frac {f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) }{g²(x)} $$
Regla de
la cadena
$$ (f(x) \circ g(x))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$
Per tipus
de funcions
Regles de
derivació
3. Aplicacions de
les derivades
Interpretació geomètrica:
recta tangent
La derivada d'una funció en un punt
és el pendent de la recta tangent
a la funció en aquest punt.
$$ y=f(a) + f'(a) \cdot (x-a) $$
Creixement i
decreixement
Si la derivada d'una funció
en un punt té signe positiu,
llavors la funció és creixent
en aquest punt.
I viceversa.
$$ Si f'(a)>0 \quad \rightarrow \quad f(x) \uparrow en \quad x=a. $$
$$ Si f'(a)<0 \quad \rightarrow \quad f(x) \downarrow en \quad x=a. $$
Màxims i
mínims
Mínim i màxim absoluts.
Mínim i màxim relatius.
$$Si f'(a) = 0 \quad \rightarrow \quad \exists MR \quad en \quad x=a. $$
Problemes
d'optimització
Importància de les derivades a la resolució de
problemes
.
