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successioni, serie - Coggle Diagram
successioni
sia an una successione regolare allora: se an è convergente la successione è limitata e se an è divergente la successione è illimitata
dim: 1) an tende a un intorno di l per ogni n maggiore di k ma allora possiamo porre dei max e min t.c. m<an<M per ogni n>n0
2) se per assurdo fosse limitata esisterebbe un valore c maggiorante per ogni a>n0 ma esiste anche un k in N t.c. an è compreso fra (c, +infinito) e quindi esiste un an maggiore di c maggiorante, contradicendo questa ipotesi
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ogni successione monotona è regolare
se an è crescente il lim a +infinito di an è il sup di an per ogni n in N
se an è decrescente il lim a +infinito è l'inf di an
dim se an è crescente l'insieme è illimitato sup allora an>=ak>=m per ogni n>= di k. se è limitato sup allora ammette estremo sup L t.c. L-ε=< ak=<an=<L=<L-ε per ogni n>= di k, per cui lim a +infinito di an è L
operazioni algebriche dei limiti: somma, prodotto, reciproco
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serie
serie di potenze
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se il lim a +infinito della radice n-esima di an è uguale a L allora il raggio di convergenza è R=1/L
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serie a termini positivi
se una serie a termini positivi allora sarà sempre regolare poiché la successioni delle somme parziali è crescente
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confronto asintotico: se due serie sono a termini positivi se il loro limite è un numero reale allora hanno lo stesso comportamento
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