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Nepero, taylor, convessità - Coggle Diagram
Nepero
sia an una successione uguale a (1+1/n)^n per ogni n>=1 allora questa successione è monotona crescente ed è compresa tra 2 e 3 per ogni n>=1
dim che è >= di 2: sviluppando an e an+1 si nota come ogni termine della serie a an+1 è maggiore del corrispondente in an. quindi an+1 è maggiore di an per ogni n>=1 e quindi il minorante sarà a1 uguale a 2
dim =<3: prese la serie an è minore della sommatoria di 1/k! e questa a sua volta è minore di 1 + sommatoria da k=0 a n-1 di 1/(2^k) che è uguale a 3
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taylor
sia I un intervallo contente 0 (x-zero) e sia f derivabile k-1 volte in I e k volte in 0. se f(0)= a ogni sua derivata fino alla k-esima che è uguale a 0 allora f è o-piccolo di x^k per x che tende a 0
dim: usando de l'hopital sul limite per x che tende a 0 di f(x)/x si vede come è uguale alla derivata k-esima di f(0) che è 0
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se f è derivabile n-1 volte in I e n volte in 0 allora f(x)= Tn(f,0,x) + o(x^n)
sia r(x) il resto di peano ed è = a f(x) - Tn(f,0,x) poiché Tn e f(x) sono uguali per ogni k allora r(x)=o(x^n) e segue la tesi
Tn(f,0,x) è uguale a un polinomio p(x) di grado n t.c. f(x)=p(x) + o(x^n)
si dimostra per differenza tra f(x)= Tn e f(x)=p(x)
resto di Lagrange
sia f derivabile n+1 volte allora f(x)= Tn(f,0,x) + )f (n+1) (c)/(n+1)!) x^n+1 con c tra 0 e x
dim sia r(x) il resto tra f(x) e Tn e consideriamo h(x)=r(x)/x^n+1 . da Taylor r k-esimo (0)= 0 per ogni k =< di n. applicando il Th di Cauchy h(x)= (r(x)-r(0)/x^n+1 = r' (c1)/(n+1)c1^n
iterando questo processo si arriva a c sempre più piccoli fino a un cn+1. infine si vede come f (n+1)-esima di c è uguale a r (n+1)-esima di c poiché tn n+1 è nullo perché di grado =< di n
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convessità
sia f derivabile, allora f è convessa se e sole se la derivata prima è crescente
se f è derivabile sue volte allora f è convessa se e solo se la derivata seconda è maggiore o uguale di 0 (monotoni 2)
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dim: f è convessa se e solo se f' è crescente e f' cresce se e solo se la derivata seconda è >=0 per monotonia 2
un sottoinsieme è convesso se per ogni coppia di punti il segmento è totalmente contenuto nel sottoinsieme