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Lez. 28 - La verifica di ipotesi con il test t per campioni indipendenti -…
Lez. 28 - La verifica di ipotesi con il test t per campioni indipendenti
La statistica t per campioni indipendenti
Anche qui (test t per campioni indipendenti), la distribuzione di riferimento è la t di student.
forma: dipende dai gradi di libertà.
Nel caso dei campioni indipendenti può essere calcolata in questo modo.
dftotal= df1+df2
dftotal=N1+N2 - 2
df=N-1
Calcoliamo la statistica t per la differenza delle medie, cioè il t calcolato: t=M1-M2 / Sdifference
Decisione
Confrontiamo il t calcolato con il t critico ricavato dalle tavole della distribuzione t
Se t>tc, rifiuto ipotesi nulla
Se t<tc, non posso rifiutare ipotesi nulla
Esempio
PASSO 3
Calcolare la varianza combinata (pooled)
S2Pooled=df1/dftotal (S21) + df2/dftotal (S22)
25/60x10+35/60x12=4,17 + 7,00 = 11,17
Calcolo della varianza di ciascuna distribuzione delle medie:
S2M1=S2Pooled/N1
S2M1=11,17/26=0,43
S2M2=11,17/36=0,31
PASSO 4
S2Difference=S2M1 + S2M2
SDifference= rq di S2Difference
Calcolo la varianza della differenza distribuzione delle medie:
S2differenza=0,43+0,31=0,74
Calcolo la deviazione standard delle differenze delle medie:
Sdifferenza=sqrt(0,74)=0,86
PASSO 2
Condizione controllo-seconda classe= N=36; M=8; S2=12
Caratteristiche della popolazione di riferimento:
Gradi di libertà N1+N2-2
Condizione sperimentale - prima classe= N=26, M=5; S2 (varianza stimata)=10
Alfa=0,05
calcolare test t
PASSO 5
Trovare il valore t critico (tavole)
Parametri:
Una coda, alfa = 0,05 → tc=1,671
Determinare t nella popolazione di riferimento
t=M1-M2 / SDifference
PASSO 1
Viaggiare in prima classe su treni AV causa meno disagio?
Misuriamo il disagio su una scala 1-10 (distress),
H0= disagio in prima uguale o maggiore che in seconda classe
H1=disagio maggiore in seconda classe.
PASSO 6
t=5-8 / 0,86 = -3,49
Confrontare t con tc;
T calcolato > t critico, rifiuto ipotesi nulla
Prendere una decisione;
Scrivere il risultato.
Riassunto
Il calcolo è più complesso rispetto al test t per campione singolo o appaiato.
Dobbiamo considerare
Le varianze stimate dei singoli gruppi;
La varianza combinata;
La varianza delle differenze.
E le relative deviazioni standard.
Tabella 8.1 - Riassunti parametri da calcolare per il valore t per il test t per campioni indipendenti
Tipo di varianza - Simbolo
Varianza stimata della popolazione per la popolazione 1 - S21
Varianza stimata della popolazione per la popolazione 2 - S22
Stima combinata della varianza della popolazione - S2Combinata
Varianza della distribuzione delle medie per la popolazione 1 (basata su una varianza stimata della popolazione) - S2M1
Varianza della distribuzione delle medie per la popolazione 2 (basata su una varianza stimata della popolazione) - S2M2
varianza della distribuzione di differenze fra le medie - S2Differenza
Ma le formule non si possono raggruppare?
SD=rq (N1-1)(S21)+(N2-1)(S22)/N1+N2-2 x (1/N1+1/N2)
Calcolo della deviazione standard delle differenze tra le medie,
Dove
S21=Stima della varianza della popolazione del primo campione;
S22=Stima della varianza della popolazione del secondo campione;
N1=Numerosità del primo campione;
N2=Numerosità del secondo campione.
Calcolare la statistica t con un'unica formula
t= M1-M2 / [rq (N1-1)(S21)+(N2-1)(S22)/N1+N2-2 x (1/N1+1/N2)]
La potenza statistica e gli assunti per il t test a campioni indipendenti
La potenza statistica di un test statistico rappresenta la probabilità di rifiutare correttamente l'ipotesi nulla quando l'alternativa è vera, ossia la capacità del test di rilevare un effetto reale.
La potenza dipende dalla dimensioni dell'effetto, dalla numerosità campionaria e dal livello di significatività adottato (a).
Dimensione dell'effetto
Le dimensioni convenzionali dell'effetto d sono le stesse per tutti i test
0.50=effetto medio
0.80=effetto grande
0.20=effetto piccolo
d di Cohen (Cohen 1988).
d=(M2-M1) / Pooled SD
La d di Cohen varia da zero a infinito, anche se i valori utili sono quelli tra 0,2 e 1,0 circa.
Cosa succede per valori >0,8?
E' un effetto molto grande, ma può essere ritrovato in statistica, certe volte anche effetti banali o scontati devono calcolati:
Confronto un gruppo di giovani e un gruppo di anziani con definite caratteristiche di età ma un analisi può essere richiesta.
Assunti sottostanti ai test t per campioni indipendenti
Assunto per il test t a campioni indipendenti
Le osservazioni all'interno di ogni campione sono indipendenti l'una dalle altre
Le osservazioni all'interno di ogni campione sono indipendenti da quelle dell'altro campione.
La variabile di interesse è distribuita normalmente all'interno di entrambi i campioni
Le varianze dei due campioni sono simili
Soluzione alternativa in caso di violazione
Analisi multilivello
Test t per campioni appaiati
il test t è abbastanza robusto per violazioni di questa assunzione. Wilcoxon rank sum test, conosciuto anche come Mann-Whitney U test.
Welch t-test
Esempio con calcolo della grandezza dell'effetto
Bere un caffé prima di fare un esame, aiuta a rispondere meglio?
- 75+75 studenti;
Gruppo 1 caffè “vero”
gruppo 2, caffè “decaffeinato” (placebo).
Studio in cieco
X1=26,4; s=4,1
X2=25,1; s=3,4
In sintesi
Bere un caffé prima di fare un esame, aiuta a rispondere meglio?
Rifiutiamo l'ipotesi nulla
Sì, bere un caffè prima di un esame aiuta a rispondere meglio, (t(148) = 2,15, p<0,05, d=0,35)
Grandezza dell'effetto
Abbiamo ottenuto
t=26,4 - 25,1 / 0,614 = 2,11
tc=1,98
d=1,3/3,76=0,35
Cohen's d=(M2-M1)/Pooled SD
Come scrivere il risultato di un test t
Scriviamo l'ipotesi risultante dall'analisi,
Aggiungiamo il valore della statistica t (gdl);
Aggiungiamo il p-value corrispondente (se usiamo i sw statistici oppure solo che è minore di alpha)
Aggiungiamo la grandezza dell'effetto d;
bere un caffé prima di un esame aiuta a rispondere meglio (t(148)=2,15, p<0,05, d=0,35)
Considerazioni sul report p-value
Il p-value deve essere approssimato nei risultati principalmente per motivi di chiarezza comunicativa e di significatività pratica.
p=0.00000324 non è più utile di p<0.0001
Le linee guida delle riviste scientifiche e delle associazioni (es. APA) raccomandano di arrotondare il p-value a due o tre cifre decimali e di riportarlo in forma soglia.
American Psychological Association (2020). Publication Manual of the American Psychological Association (7th ed.). Washington, DC
Valori soglia
p<0,05
p<0,01
p<0,005
p<0,001
p<0,0005
p<0,0001
Tabella 8.7
Caratteristica dei test t
La media della popolazione è nota
SI
singolo
NO
dipendenti e indipendenti
Numero di punteggi per ciascun partecipante
1
singolo, indipendenti
2
dipendenti
test t condotto sulle differenze dei valori
SI
dipendenti
NO
singolo, indipendenti
Forma della distribuzione di riferimento
distribuzione t
singolo, dipendenti, indipendenti
Formula per i gradi di libertà
gl=N-1
singolo, dipendenti
gltotale=gl1+gl2 (gl1=N1 -1; gl2=N2-1)
indipendenti
formula per t
t=(M-u)/SM
singolo, dipendenti
t=(M1-M2)/SDifferenza
indipendenti
Il t test per campioni indipendenti con jamovi
Il processo decisionale con i software
Non andremo più a valutare il t calcolato con il t critico, ma andremo a valutare il valore di p-value rispetto al valore alpha di 0,05
Con jamovi test a campioni indipendenti
Parametri che vedremo
Variabile indipendente: età
E' stato effettuato il t di student
La statistica valore della t è di -0,102
i gdl 98 (n-2, 100 soggetti quindi)
In basso è stata riportata l'ipotesi nulla e abbiamo ottenuto un p-value di 0,91 (è sopra 0,05 quindi possiamo affermare che non ci sono differenze di età nei due gruppi TV e UM)
Se lo richiediamo, il software ci riporta anche tutte le caratteristiche descrittive con media, mediana, deviazione standard ed errore standard.