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Lez. 21 - L'errore standard e gli intervalli di confidenza
L'errore standard della media
Cosa succede se non conosco la media della popolazione?
Cosa succede se non conosco nè la media nè la varianza?
Possiamo tentare di stimare
Errore standard della media; intervalli di confidenza
Entrambe si basano sulla distribuzione campionaria delle medie.
Consideriamo popolazione fittizia di 100 soggetti. Ha media 10.6; ds 0.78
Per creare la distribuzione campionaria delle medie di questa popolazione, dobbiamo decidere quanto deve essere grande il nostro campione, estrarre una serie di campioni di uguale numerosità da quella popolazione.
Vogliamo estrarre 40 campioni composta da 20 soggetti. Estraiamo a caso 20 soggetti dalla popolazione, calcoliamo la media, che sarà la media di quel campione. Facciamo la procedura per 40 volte.
Otteniamo una distribuzione campionaria delle medie. A ogni media calcolata, sarà associata una determinata frequenza. Quindi anche una certa probabilità di essere osservata.
Le medie si addensano intorno alla media della popolazione. Tra la media della distribuzione campionaria delle medie e la media della popolazione c'è una relazione. Solitamente hanno la stessa media.
Prima i punteggi avevano una certa variabilità, adesso è diminuita molto.
Più restringiamo la distribuzione campionaria delle medie, più la stima che avremo sarà un più precisa.
Ogni media è una stima della media della popolazione
L'errore standard è la deviazione standard della distribuzione campionaria delle medie. Perché lo chiamamo anche errore standard?
Perché ci informa su quanto la media di un campione rispetto alla popolazione può essere una stima accurata della media di quella popolazione.
ES. n=10 (ds=0.891) n=20 (ds=0.769)
Gli intervalli di confidenza
Nel caso in cui non sapessimo quale sia la media della popolazione possiamo stimarla con il pressupposto che la media del campione è la migliore stima.
Per fare una stima creiamo un intervallo intorno alla media del campione all'interno del quale ricadrà con una certa probabilità o fiducia la media della popolazione.
Secondo modo di procedere è creare un intervallo:
Creo un intervallo intorno alla media del campione, dove assumo che molto probabilmente, la media della popolazione rientra all'interno di quell'intervallo, l'intervallo di confindenza
Per crearlo abbiamo bisogno di:
Media del campione;
Errore standard
Definire l'intervallo (90%;95%;99%)
ESEMPIO
Uno psicologo deve verificare in azienda se il nuovo programma di lavoro settimanale con orario flessibile incide sui tempi medi di completamento di una specifica attività.
La deviazione standard dei tempi di completamento dell'attività sono noti ed è pari a 2, mentre la media è sconosciuta.
Caratteristiche del campione: n=40 media=9.22
Con queste info dobbiamo calcolarci l'errore standard
Primo passo è usare la deviazione standard della popolazione:
Ci ricaviamo prima prima la varianza della distribuzione campionaria delle medie, che è 4/40=0.1
L'errore standard (oM) = radice quadrata della varianza = rq 0.1 = 0.32
Dopo decidiamo l'intervallo, tenendo in considerazione che:
Intervalli più larghi sono meno precisi ma si ha meno possibilità di sbagliarsi.
Intervalli più stretti sono più precisi ma ci sono maggiori possibilità di sbagliare.
Individuare il limite superiore e inferiore
Limite inferiore: (media campione) x - (zcritico x oM(errore standard)
Limite inferiore=9.22 - (1.96 x 0.32) = 8.59
Abbiamo scelto intervallo del 95%, che corrisponde in termini di punti z a +-1.96.
Stimiamo con fiducia del 95%, che la probabilità che la media della popolazione ricada in questo intervallo che va da 8.59 a 9.85.
Limite superiore: (media campione) x + (zcritico x oM(errore standard)
Limite superiore=9.22 + (1.96 x 0.32) = 9.85
L'utilità degli intervalli di confidenza
Stimare i parametri della popolazione 1
Uno psicologo è chiamato da un'azienda a verificare se il nuovo programma di lavoro settimanale con orario flessibile incide sui tempi medi di completamento di una specifica attività.
La media dei tempi di completamento dell'attività sono di 10 minuti con deviazione standard pari a 2.
Caratteristiche del campione: n= 40 media = 9.22
Verifica delle ipotesi con intervallo di confidenza
Alternativa alla verifica delle ipotesi
Verifica delle ipotesi con intervallo di confidenza
Ora che ho creato questo intervallo, posso andare a vedere la media della popolazione 2 se rientra o meno in questo intervallo. 95%
Va da 8.59 a 9.85
La media della popolazione 2 era di 10, che è al di fuori di questo intervallo, possiamo supportare che questo campione non proviene dalla popolazione 2.
Concludiamo che l'orario flessibile ha un effetto sui tempi medi di completamento delle attività.
Interpretare i risultati di un test
Interpretare i punteggi
tabella riporta
Comprensione verbale
Ragionamento
Memoria di lavoro
velocità di elaborazione
Scala totale
altre colonne
Prima colonna somma punti ponderati
Seconda colonna li trasforma in punteggi compositi (QI al totale)
Terza colonna rango percentile, percentuale persone che ottengono fino a quel punteggio
L'ultima è quella che ci interessa di più: Intervallo di confidenza.
Si crea un intervallo attorno al punteggio ottenuto da una persona in cui si stima rientrerà il punteggio vero di quella persona
Quando somministriamo un test sappiamo che è uno dei possibili punteggi che avrebbe potuto ottenere quella persona, vari fattori lo influenzano.
Quindi non è punteggio vero, ma solo osservato. Dove noi possiamo creare un intervallo di confidenza dove si dice:
il punteggio vero della persona probabilmente rientra in questo intervallo
In questo caso possiamo possiamo scegliere 90 o 95% come livello di significatività. Abbiamo scelto 95%
Si creano quindi intervalli di punteggi.
Es. punteggio 116, intervallo di confidenza 107-122
Confrontare variabili e gruppi
Altro modo per usare gli intervalli è confrontare tra loro i punteggi.
In questo grafico sono riportate le prestazioni di due gruppi di soggetti su 4 punteggi di abilità cognitive generali.
Intervalli di confidenza ci aiutano a capire quanto due gruppi di soggetti sono simili o diversi, non limitandoci a interpretare solo la media.
Alcuni si sovrappongono quasi, ma altri quasi nulla.
Un ultimo modo in cui possiamo usare questi intervalli è confrontare nello stesso campione i diversi livelli di capacità cognitiva.
2 sono molto simili tra loro, ma altre 2 sono simili tra di loro, ma molto distanti dagli altri 2.
Possiamo dedurre che questo campione ha delle spiccate capacità in 2 abilità e peggiori in altre 2.
Gli errori e gli intervalli di confidenza ci aiutano a stimare quali possono essere i punteggi veri di una persona di un campione.
Ci aiuta a interpretare in modo più efficace le info a disposizione e ci aiuta anche a fare verifica delle ipotesi.