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Lez. 19 - Verifica delle ipotesi con le medie dei campioni: aspetti…
Lez. 19 - Verifica delle ipotesi con le medie dei campioni: aspetti teorici
La distribuzione campionaria delle medie
Nella procedura di verifica delle ipotesi, prendiamo la nostra decisione di tipo probabilistico sull'ipotesi nulla.
Fissiamo un valore minimo di probabilità detto livello di significatività (a)
Il livello di significatività è una regola decisionale che consente di rifiutare o non rifiutare l'ipotesi nulla: separa i risultati considerati poco probabili se H0 fosse vera da quelli più probabili.
Non siamo mai certi quale due ipotesi sia vera, la verifica è sempre probabilistica, comporta un certo rischio di sbagliare.
Il livello di significatività a rappresenta la regione di rifiuto o regione critica dell'ipotesi H0.
La verifica delle ipotesi con le medie dei campioni
Se il campione è formato da un solo soggetto, la distribuzione di riferimento sarà una distribuzione di probabilità di punteggi.
Nella realtà i campioni sono formati da n soggetti. Prende il nome di z test, in cui si confronta un campione con una popolazione.
Quando si hanno dei campioni con più individui, come procedo con la verifica delle ipotesi?
Il punto di partenza è sempre lo stesso: quanto è probabile osservare un certo risultato?
Il valore più rappresentativo di un campione è la media
La distribuzione di riferimento deve essere quindi una distribuzione di probabilità di osservare una data media se H0 è vera.
Quando la verifica delle ipotesi è effettuata con i dati di un campione di numerosità n, la distribuzione di riferimento è detta: Distribuzione campionaria delle medie.
Distribuzione di probabilità delle medie di n campioni delle stesse dimensioni estratte casualmente dalla stessa popolazione.
Costruire una distribuzione campionaria delle medie
Per creare la distribuzione campionaria delle medie è necessario applicare alcuni passaggi.
Calcolare per ciascuno la media
Determinare la frequenza di ciascuna media osservata
Individuare tutti i possibili campioni di ampiezza n
ESEMPIO
Un ricercatore è interessato a testare un nuovo trattamento per l'insonnia.
Individua un campione di 2 persone per testare l'ipotesi (n=2)
Popolazione con u=4 e o=1
Pazienti
Marco
notti insonni 3
Dario
notti insonni 4
Ada
notti insonni 5
Passaggio 1
Estraggo tutti i possibili campioni di ampiezza n=2 e calcoliamo le medie
L'estrazione deve essere casuale e indipendente
Campione + media
Ada/Ada 5
Ada/Dario 4.5
Ada/Marco 4
Marco/Marco 3
Marco/Dario 3.5
Dario/Dario 4
Dario/Ada 4.5
Marco/Ada 4
Dario/marco 3.5
Passaggio 2
Creare una tabella di frequenze con le relative probabilità
Tutte le possibili medie osservate possono essere usate per calcolare frequenze e probabilità.
In questo modo si ottiene una distribuzione campionaria delle medie da usare per fare verifica delle ipotesi.
Media - Frequenza - Probabilità
3 - 1 - 11.11%
3.5 - 2 - 22.22%
4 - 3 - 33.33%
4.5 - 2 - 22.22%
5 - 1 - 11.11%
Le caratteristiche della distribuzione campionaria delle medie
Per creare la distribuzione campionaria delle medie, abbiamo bisogno di due info: caratteristiche della popolazione (media, deviazione standard e forma) e ampiezza del campione.
La dispersione della distribuzione campionaria delle medie è minore della dispersione della popolazione.
La forma della distribuzione campionaria delle medie dipende dalla popolazione da n.
La media della distribuzione campionaria delle medie è uguale alla media della popolazione.
La media della popolazione di partenza da cui ho creato la distribuzione, è 4 e deviazione standard 1.
Calcolo la media della distribuzione campionaria delle medie (uM)= 5+4.5+4+3+3.5+4+4.5+4+3.5/9=4
La dispersione della distribuzione campionaria
La varianza di una distribuzione campionaria delle medie è minore della varianza della distribuzione della popolazione generale degli individui.
Per avere una media estrema è necessario che tutti i valori siano estremi nella stessa direzione all'interno dello stesso campione e questo è poco probabile.
LEGGE DEI GRANDI NUMERI
All'aumentare dell'ampiezza campionaria n la variabilità della distribuzione dei campioni diminuisce e tende a 0.
oM2 = o2/n
oM=oM2 sotto radice quadrata
La varianza della distribuzione campionaria delle medie al quadrato, indicata con oM2 (sigma m al quadrato) = o2/n (sigma al quadrato diviso n)
Quindi la variabilità della popolazione, diviso la grandezza del campione
Poi ci possiamo ricavare la deviazione standard della distribuzione campionaria delle medie che è la radice quadrata della varianza della distribuzione campionaria delle medie.
Esempio dell'insonnia
Popolazione - Distribuzione campionaria delle medie
Media (u/uM) - 4 - 4
Varianza (o2/oM2) - 1 - 0.5
Deviazione standard (o/oM) - 1 - 0.71
L'effetto sarebbe, all'aumentare del nostro campione, la variabilità diminuisce. Questo ha un effetto sulla nostra distribuzione rendendola man mano sempre più stressa.
ESEMPI CALCOLI
Campione di 2: 100/2=50 e in termini di deviazione standard - 50 sotto radice = 7.07
Campione di 5: 100/5=20 e ds - 20 sotto radice = 4.47
Campione di 50: 100/50 = 2 e ds - 2 sotto radice = 1.41
Campione di 500: 100/500=0.20 e ds - 0.20 sotto radice = 0.45
Con un campione di due persone avere campione con media estrema è abbastanza semplice, con 5 già per una media estrema significa che devo estrarre 5 punteggi estremi , con 50) diventa sempre più difficile all'aumentare del campione.
Se il campione è infinito, la variabilità diventa 0, non avrò nessuna media estrema, avrò sempre la media della popolazione.