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美國高中數學考試重點解析 - Coggle Diagram
美國高中數學考試重點解析
Geometry 幾何：全單元微型細分目錄
1. 幾何基本元素 (Basics of Geometry)
1.1 點、線、面的定義與命名法
1.2 交點 (Intersection) 的公理與判定
1.3 共線 (Collinear) 與共面 (Coplanar) 的辨析
2. 線段與中點 (Segments & Distance)
2.1 線段加法公設 (Segment Addition Postulate)
2.2 中點公式 (Midpoint Formula) 的座標推導
2.3 距離公式 (Distance Formula) 與畢氏定理的聯繫
3. 角的種類與測量 (Angles & Measurement)
3.1 角的命名與度數測量
3.2 角加法公設 (Angle Addition Postulate)
3.3 角度的分類：銳角、直角、鈍角與平角
4. 角的關係 (Angle Pairs)
4.1 鄰角 (Adjacent) 與對頂角 (Vertical Angles)
4.2 互餘 (Complementary) 與互補 (Supplementary) 的代數計算
4.3 線性對 (Linear Pair) 的判定與性質
5. 邏輯與條件陳述 (Logic & Conditional Statements)
5.1 條件句：If-then 的結構
5.2 逆命題、否命題與對偶命題 (Converse, Inverse, Contrapositive)
5.3 雙向條件句 (Biconditional) 與定義的嚴謹性
6. 平行線與截線 (Parallel Lines & Transversals)
6.1 同位角、內錯角、同側內角 (Corresponding, Alternate Interior, Same-side Interior)
6.2 平行線判定定理：如何證明兩條線平行
6.3 垂直平分線定理 (Perpendicular Bisector Theorem) 初步
7. 幾何變換：剛性運動 (Rigid Transformations)
7.1 平移 (Translation) 的座標規則
7.2 反射 (Reflection) 的對稱軸分析（x軸, y軸, y=x）
7.3 旋轉 (Rotation) 的旋轉中心與度數規律
8. 三角形分類與內角和 (Triangle Basics)
8.1 按邊分類（等腰、等邊、不等邊）與按角分類
8.2 三角形內角和定理與代數應用
8.3 外角定理 (Exterior Angle Theorem) 的推導與快速解題
9. 三角形全等判定：基礎 (Congruence: Part 1)
9.1 全等圖形的定義與對應頂點命名
9.2 SSS (邊邊邊) 判定法
9.3 SAS (邊角邊) 判定法
10. 三角形全等判定：進階 (Congruence: Part 2)
10.1 ASA (角邊角) 與 AAS (角角邊) 的區分
10.2 直角三角形的 HL (斜邊直角邊) 判定
10.3 CPCTC 的證明應用（全等三角形的對應邊角相等）
11. 三角形中的特殊線段 (Segments in Triangles)
11.1 中線 (Medians) 與重心 (Centroid)
11.2 高 (Altitudes) 與垂心 (Orthocenter)
11.3 角平分線與內心 (Incenter)
11.4 垂直平分線與外心 (Circumcenter)
12. 三角形不等式定理 (Triangle Inequality)
12.1 兩邊之和大於第三邊的計算
12.2 大角對大邊，小角對小邊的性質
12.3 鉸鏈定理 (Hinge Theorem)
13. 多邊形內外角 (Polygons)
13.1 凸多邊形內角和公式：$(n-2) \cdot 180$
13.2 任何多邊形外角和恆為 $360$ 的應用
13.3 正多邊形 (Regular Polygons) 的單個內外角計算
14. 平行四邊形性質 (Parallelograms)
14.1 平行四邊形的五大性質（對邊、對角、對角線）
14.2 如何證明一個四邊形是平行四邊形（五大判定）
14.3 座標平面上的平行四邊形驗證
15. 特殊四邊形 (Special Quadrilaterals)
15.1 矩形 (Rectangle) 的性質：直角與對角線相等
15.2 菱形 (Rhombus) 的性質：四邊相等與對角線垂直
15.3 梯形 (Trapezoid) 與等腰梯形的中位線公式 (Midsegment)
16. 相似形與比例 (Similarity & Dilations)
16.1 比例式 (Proportions) 的性質與交叉相乘
16.2 相似三角形的 AA, SAS, SSS 判定
16.3 位似變換 (Dilation)：比例因子與中心點
17. 直角三角形與畢氏定理 (Right Triangles)
17.1 畢氏定理基礎 $a^2 + b^2 = c^2$
17.2 畢氏三元數 (Pythagorean Triples) 常用組合
17.3 畢氏定理逆定理：判定銳角、直角或鈍角三角形
18. 特殊直角三角形 (Special Right Triangles)
18.1 $45-45-90$ 三角形的邊長比例與應用
18.2 $30-60-90$ 三角形的邊長比例與應用
18.3 根式 (Radicals) 在幾何計算中的化簡技巧
19. 基礎三角比 (Basic Trigonometry)
19.1 SOH CAH TOA 的定義與計算
19.2 反三角函數 (Inverse Trig) 求角度
19.3 餘角恆等式：$\sin(x) = \cos(90-x)$
20. 圓形基礎與方程 (Circles)
20.1 圓的周長與面積公式
20.2 切線 (Tangent Line) 與半徑垂直的性質
20.3 圓的標準方程 $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ 及其圖形
Algebra 1：全單元微型細分目錄
實數系統 (The Real Number System)
1.1 數字分類：有理數 (Rational) 與無理數 (Irrational) 的判別
1.2 數線與絕對值的基礎定義
1.3 (AP 銜接) 封閉性 (Closure Property) 的初步認識
2. 代數表達式建模 (Modeling with Expressions)
2.1 數學單字翻譯：加減乘除的英文對應關鍵字
2.2 單項式、多項式與係數 (Coefficient) 的組成分析
2.3 寫出代數式：從文字敘述轉換為數學模型
3. 一元一次方程求解 (Solving Equations)
3.1 逆運算 (Inverse Operations) 與單步方程
3.2 多步方程：分配律與合併同類項的處理
3.3 含有分數與小數的方程快速解法
4. 方程解的數量判定 (Number of Solutions)
4.1 唯一解、無解 (No Solution) 的特徵
4.2 恆等式 (Identity) 與無限多解的判定
4.3 SAT 常考：給定解的數量求未知常數 $k$
5. 文字應用題建模 (Literal Equations & Apps)
5.1 公式變形：為特定變數求解 (e.g., $d=rt$ 求 $r$)
5.2 連續整數 (Consecutive Integers) 問題
5.3 比例與百分比應用題
6. 線性不等式 (Linear Inequalities)
6.1 不等式的基本屬性與乘除負數變號陷阱
6.2 文字題中的不等式關鍵字：at most, no less than
6.3 數線表示法：實心點 vs. 空心點
7. 複合不等式與絕對值 (Compound & Absolute Value)
7.1 "And" 與 "Or" 複合不等式的圖解
7.2 絕對值方程的拆分求解
7.3 絕對值不等式的範圍判斷（大於在兩邊，小於在中間）
8. 函數基礎定義 (Introduction to Functions)
8.1 關係 (Relation) vs. 函數 (Function) 的判定
8.2 垂直線測試 (Vertical Line Test) 與對應圖 (Mapping)
8.3 定義域 (Domain) 與值域 (Range) 的基礎概念
9. 函數記號與運算 (Function Notation)
9.1 $f(x)$ 符號的解讀與 Evaluate 計算
9.2 函數的四則運算
9.3 複合函數初步 (Introduction to $f(g(x))$)
10. 斜率與變化率 (Slope & Rate of Change)
10.1 斜率公式：$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ 與四種斜率圖形
10.2 變化率在應用題中的物理意義（單位增量）
10.3 水平線 (Slope = 0) 與垂直線 (Undefined Slope) 的區分
11. 線性函數的三大形式 (Three Forms)
11.1 斜截式 (Slope-intercept Form)：$y=mx+b$
11.2 點斜式 (Point-slope Form)：$y-y_1=m(x-x_1)$
11.3 一般式 (Standard Form)：$Ax+By=C$
12. 線性函數圖形特徵 (Graphing)
12.1 截距求法：$x$-intercept 與 $y$-intercept
12.2 平行線與垂直線的斜率關係 (Negative Reciprocal)
12.3 座標平面上的線性模型擬合
13. 線性方程組：代數解法 (Systems: Algebra)
13.1 代入法 (Substitution) 的使用時機
13.2 加減消去法 (Elimination) 的運算技巧
13.3 方程組解的個數與係數比例規律
14. 線性方程組：應用題 (Systems Apps)
14.1 混合物 (Mixture) 與貨幣 (Coins) 應用題
14.2 速率 (Speed) 追擊與順流逆流問題
14.3 線性不等式組 (Systems of Inequalities) 與可行域圖解
15. 指數律運算 (Properties of Exponents)
15.1 乘法與除法律：底數相同時指數的加減
15.2 負指數 (Negative Exponents) 與零指數的定義
15.3 冪的冪 (Power of a Power) 運算規律
16. 多項式加減乘 (Polynomial Operations)
16.1 多項式的命名、次數 (Degree) 與標準型 (Standard Form)
16.2 二項式乘法：FOIL 法則與大面積分佈
16.3 特殊乘法公式：平方差與完全平方
17. 因式分解基礎 (Introduction to Factoring)
17.1 最大公因式 (GCF) 的提取
17.2 三項式分解：十字相乘法 ($x^2 + bx + c$)
17.3 分組分解法 (Factoring by Grouping)
18. 數據描述與統計 (Descriptive Statistics)
18.1 中心趨勢：平均數 (Mean)、中位數 (Median)、眾數 (Mode)
18.2 數據離散度：全距 (Range) 與標準差 (Standard Deviation) 概念
18.3 離群值 (Outliers) 對統計數據的影響分析
Algebra 2：全單元微型細分目錄
1. 函數基礎與變換 (Function Basics & Transformations)
1.1 函數關係判定：定義域 (Domain) 與值域 (Range) 的進階表示法
1.2 函數的四則運算與複合函數 (Composition: $f(g(x))$)
1.3 剛性與非剛性變換：平移、對稱、垂直/水平壓縮與拉伸
1.4 反函數 (Inverse Functions) 的求法與圖形對稱性
2. 複數系統 (The Complex Number System)
2.1 虛數單位 $i$ 的定義與循環規律
2.2 複數 (Complex Numbers) 的加減乘除運算
2.3 共軛複數 (Complex Conjugates) 與分母實數化
3. 二次函數進階 (Quadratic Functions - Advanced)
3.1 三大形式轉換：標準式、頂點式 (Vertex Form) 與截距式
3.2 配方法 (Completing the Square) 的高階應用
3.3 判別式 (Discriminant) 與根的性質判定
4. 二次系統與不等式 (Quadratic Systems & Inequalities)
4.1 線性與二次方程組的交點解法
4.2 二次不等式的圖解與區間表示法
4.3 二次建模：最大利潤與彈道運動分析
5. 多項式運算 (Polynomial Operations)
5.1 多項式的長除法 (Long Division)
5.2 綜合除法 (Synthetic Division) 的快速技巧
5.3 二項式定理 (Binomial Theorem) 與帕斯卡三角形應用
6. 多項式函數特性 (Polynomial Functions)
6.1 端點行為 (End Behavior) 與領頭係數判定
6.2 零點 (Zeros) 的重根 (Multiplicity) 對圖形的影響
6.3 餘式定理 (Remainder Theorem) 與因式定理
7. 多項式求根進階 (Solving Polynomials)
7.1 有理根定理 (Rational Root Theorem)
7.2 代數基本定理 (Fundamental Theorem of Algebra)
7.3 複數根與無理根成對定理
8. 有理函數運算 (Rational Expressions)
8.1 有理式的乘除與最簡化
8.2 通分：異分母有理式的加減
8.3 繁分式 (Complex Fractions) 的化簡
9. 有理函數圖形 (Graphing Rational Functions)
9.1 垂直漸近線 (Vertical Asymptotes) 與孔洞 (Holes)
9.2 水平漸近線 (Horizontal Asymptotes) 的判定規則
9.3 反比例函數 ($y=k/x$) 的建模與應用
10. 根式與冪函數 (Radical Functions & Rational Exponents)
10.1 分數指數與根式的互換運算
10.2 根式方程求解與增根 (Extraneous Solutions) 判定
10.3 根式函數的圖形與定義域限制
11. 指數函數與建模 (Exponential Functions)
11.1 指數增長 (Growth) 與衰減 (Decay) 模型
11.2 自然常數 $e$ 與連續複利公式
11.3 指數方程的同底求解法
12. 對數性質 (Logarithmic Properties)
12.1 對數的定義及其與指數的逆運算關係
12.2 對數三大定律：積、商、冪性質
12.3 換底公式 (Change of Base Formula)
13. 對數方程與圖形 (Logarithmic Equations & Graphs)
13.1 對數方程的代數解法與檢查增根
13.2 對數函數圖形的漸近線與平移
13.3 指數與對數的現實建模分析
14. 等差與等比數列 (Arithmetic & Geometric Sequences)
14.1 遞迴公式 (Recursive) 與通項公式 (Explicit)
14.2 等差中項與等比中項的性質
14.3 求和記號 (Sigma Notation) 的理解
15. 級數與求和 (Series & Summation)
15.1 有限等差與等比級數求和
15.2 無窮等比級數 (Infinite Geometric Series) 的收斂判定
15.3 級數應用題（如：分期付款、彈跳球高度）
16. 三角函數基礎 (Trigonometric Functions)
16.1 單位圓 (Unit Circle) 與弧度制 (Radians) 轉換
16.2 六大三角函數定義（含 Secant, Cosecant, Cotangent）
16.3 參考角 (Reference Angles) 與終邊象限判定
17. 三角圖形與恆等式 (Trig Graphs & Identities)
17.1 正弦與餘弦波的振幅、週期與相位移
17.2 畢氏三角恆等式 ($\sin^2 + \cos^2 = 1$)
17.3 (AP 銜接) 和差角公式初步
18. 數據機率與常態分配 (Data, Probability & Statistics)
18.1 排列 (Permutations) 與組合 (Combinations) 的辨析
18.2 常態分配圖形與 68-95-99.7 規則
18.3 樣本、總體與實驗設計中的偏差 (Bias)