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ESPACIOS VECTORIALES, Definicion - Coggle Diagram
ESPACIOS VECTORIALES
Subespacio vectorial
un subespacio vectorial es una parte más pequeña de un espacio vectorial, pero que sigue funcionando igual que el espacio original porque cumple ciertas reglas.
Propiedades
Contiene el vector cero.
Es cerrado bajo la suma de vectores.
Es cerrado bajo la multiplicación por escalares
La intersección de dos subespacios vectoriales es también un subespacio vectorial.
La suma de dos subespacios vectoriales es también un subespacio vectorial.
El espacio vectorial completo y el conjunto que contiene solo el vector cero son subespacios vectoriales
Estructura
Base y dimencion de un espacio vectorial y cambio de base
Se llama base de un espacio vectorial a un conjunto
linealmente independiente que sea a la vez sistema generador de dicho espacio o
subespacio.
Propiedades
Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).
Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).
Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella,
de manera única para cada vector.
La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores independientes que contiene.
Si el número de vectores es infinito, la dimensión también es infinita. La dimensión indica la cantidad de elementos necesarios para formar el espacio vectorial.
Cuando se elige una base B para un espacio vectorial V de dimensión n, la función de coordenadas asociada sobre R ala n proporciona un sistema de coordenadas para V
Caracteristica
Un mismo espacio vectorial puede tener varias bases diferentes.
Un vector tiene coordenadas distintas dependiendo de la base utilizada.
El cambio de base se realiza mediante una matriz llamada matriz de cambio de base.
Propiedades
Dos bases de un mismo espacio vectorial tendrán igual cantidad de vectores.
La matriz de cambio de base es regular, por tanto tiene inversa.
Cada vector en V se identifica de manera única con su vector de coordenadas.
Ejemplo
sea una base R2: Bc= {(1,0),(0,1)} la otra base: B2= {(1,3),(−1,2)} Si v= (x, y) , las ecuaciones de cambio de base son: (v)B^2=MBcB2(v)Bc donde la matriz de cambio de base permite transformar las coordenadas del vector de una base a otra
Dependencia lineal
La dependencia lineal es una relación entre un conjunto de vectores. Un conjunto de vectores es dependiente linealmente cuando al menos uno de los vectores puede expresarse como una combinación lineal de los otros.
Ejemplo
v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 4, 6) y v3 = (3, 6, 9).
Aquí, el vector v2 es el doble de v1, y el vector v3 es el triple de v1. Por lo tanto, existe una combinación lineal que resulta en el vector cero: al tomar
-2
v1 + v2 = 0 y -3
v1 + v3 = 0, demostramos que estos vectores son dependientes linealmente.
independencia lineal
Un conjunto de vectores es independiente linealmente si ningún vector del conjunto puede escribirse como una combinación lineal de los demás. Esto significa que cada vector aporta una nueva dirección o dimensión al espacio en el que se trabaja.
Definicion
Un espacio vectorial es la estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales. Esta estructura surge mediante una operación de suma y una operación de producto entre dicho conjunto y un cuerpo.
Axiomas y propiedades
1. Conmutabilidad: u +v \= v +u
2. Transitividad: (u + v) + w \= u + (v + w)
3. Existencia del vector nulo 0 tal que 0 + v \= v
4. Existencia del opuesto: el opuesto de v es (-v), ya que v + (-v) = 0
5. Distributividad del producto respecto a la suma vectorial: α (u + v) = αu +αv
6. Distributividad del producto respecto a la suma escalar: (α + β)v \= αv +βv
7. Asociatividad del producto de escalares: α (β v) = (α β)v
8. El número 1 es el elemento neutro, ya que: 1v \= v
Definicion
