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Échantillonnage & reconstitution d’un signal, image, image, image, inf…
Échantillonnage & reconstitution d’un signal
SIGNALS DISCREET
Définition:
Signal défini aux instants nTe
Temps discret
Relation :
x[n] = x(nTe)
avec
Te : période d’échantillonnage
Fe = 1/Te
Exemples:
Impulsion de Dirac unité (ou de Kronecker) δ[n]
Echelon unité (Unit‐Step Function) u[n]
Fonction exponentielle (Exponential Function) aⁿ
ÉCHANTILLONNAGE D'UN SIGNAL
Principe
Passage d'un
signal
à
temps continu
à un signal à
temps discret
.
Prélèvement périodique
Modèle mathématique
La fonction peigne de Dirac constituée d’une
suite infinie d’impulsions de Dirac
séparées temporellement d’un pas Te
pour un signal
causal x(t)=0
pour
t<0
, on écrit :
x*(t) = Σx(nt) δ(t −nTe)
Choix de la fréquence d’échantillonnage "
THÉORÈME DE SHANNON
"
Condition
Fe ≥ 2Fmax
2Fmax : fréquence de Nyquist
Si condition respectée
Reconstruction possible
Pas de perte d’information
Si condition non respectée
Aliasing
Repliement spectral
Distorsion irréversible
Exemple
INTERPRÉTATION SPECTRALE
Spectre du signal original
Bande limitée
|f| ≤ FM
X(f)
Après échantillonnage
Répétition du spectre
Périodique en Fe
X*(f) = copies de X(f)
Cas 1 : Fe > 2FM
Pas de recouvrement
Spectres séparés
Reconstruction possible
Cas 2 : Fe < 2FM
Recouvrement spectral
Repliement de fréquence
Aliasing
Distorsion irréversible
FILTRE ANTI-REPLIEMENT
Type
Filtre passe-bas
Rôle
Supprimer f > Fmax
Éviter aliasing
Position
Avant échantillonnage
RECONSTRUCTION APPROCHée
Objectif
Retrouver x(t)
Condition
Shannon vérifié
Méthods
Interpolation linéaire
but :Relier les points
Exemple de reconstitution par un bloqueur de type retard pur :
la F.T :
Bloqueur ordre 1 (extrapolateur)
Approximation plus précise
Exemple de reconstruction d’un signal
bloqueur d'ordre géro "BOZ"
Maintien constant
Signal en escalier
Réponse impulsionnelle du BOZ
avec la fonction de transfert suivante :
Réponse impultionnelle
“L’interpolation linéaire améliore la continuité mais reste une approximation du signal original.”
l'expression du bloqueur
réponse impulsionnelle
