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Ecuaciones Diferenciales, Rama de las matemáticas que estudia ecuaciones…

- - - - La derivada más alta es dy/dx, la primera derivada de y. Por lo tanto, el orden es 1.
    - - La derivada más alta es d2y/dx2, una segunda derivada. Por lo tanto, el orden es 2.
    - - La derivada más alta es la segunda derivada y′′. El orden es 2.
    - - La derivada más alta es la tercera derivada d3/dy3. El orden es 3.
- - - - Derivada mayor
        
        Exponente: 2
        Grado = 2
    - - Multiplicamos por 𝑦:
        
        Derivada mayor
        
        Exponente: 1
        Grado = 1
    - - Derivada mayor
        
        Exponente: 1
        Grado = 1
    - - No tiene grado (raíz)
        
        La derivada está dentro de una raíz
        No tiene grado definido
  - - - Sea algebraica en sus derivadas.
      - No tenga raíces, fracciones o funciones de derivadas
- - - - Una o más de sus derivadas
      - Respecto a una o más variables independientes
      - Una función desconocida
- - - - Es el método que consiste en separar las variables 𝑥 y 𝑦 en lados distintos de la ecuación.
      - Se usa cuando la ecuación puede escribirse como
      - Que se hace
        
        Se separan variables
        
        Se integran ambos lados
      - Un ejemplo típico es el crecimiento o decaimiento exponencial.
    - - Se basa en identificar si la ecuación proviene de la derivada total de una función.
      - Forma general
      - Condición
      - Se encuentra una función potencial 𝐹(𝑥,𝑦)
    - - Es el método que transforma una ecuación no exacta en exacta.
      - Se usa en ecuaciones lineales de primer orden:
      - Se multiplica toda la ecuación por un factor especial
    - - Son ecuaciones donde todos los términos tienen el mismo grado en 𝑥 y 𝑦.
      - Forma típica
      - Que se hace
        
        Cambio de variable 𝑦=𝑣𝑥
        
        Se reduce a separación de variables
    - - Es una ecuación no lineal que puede convertirse en lineal.
      - Forma general
      - Se usa un cambio de variable
      - Se transforma en una ecuación lineal
  - - - Método para ecuaciones lineales con coeficientes constantes.
      - Forma general (homogénea)
      - Que se hace
        
        Se propone una solución exponencial
        
        Se obtiene una ecuación característica
    - - Método para encontrar una solución particular.
      - Se usa en ecuaciones no homogéneas de orden superior.
      - Se usan las soluciones de la homogénea asociada
    - - Método que disminuye el orden de la ecuación.
      - Se usa cuando se conoce una solución previa.
      - Se simplifica el problema
  - - - Método aproximado basado en rectas tangentes.
      - Características
        
        Fácil de aplicar
        
        Poco preciso
    - - Método numérico más preciso.
      - Características
        
        Muy usado en ingeniería
        
        Mejor aproximación
- - - - La función o sus derivadas:
        
        Están elevadas a potencias
        
        Aparecen dentro de funciones (sen, ln, etc.)
        
        Se multiplican
  - - - Tanto dy/dx como y son lineales. La ecuación diferencial es lineal.
    - - El término y3 no es lineal. La ecuación diferencial no es lineal.
    - - El término ln y no es lineal. Esta ecuación diferencial no es lineal.
    - - Los términos d3y/dx3, d2y/dx2 y dy/dx son todos lineales. La ecuación diferencial es lineal.
  - - - La función incógnita y sus derivadas:
        
        No se multiplican entre sí
        
        Aparecen a la potencia 1
      - Los coeficientes dependen solo de la variable independiente
- - - - Son aquellas que involucran una sola derivada.
      - La derivada de mayor orden es de primer orden
      - Ejemplo
      - Son importantes en la física de las partículas y la dinámica de sistemas discretos.
    - - Ejemplo
      - Se utilizan en la física para modelar la dinámica de sistemas que experimentan fuerzas de tercer orden.
      - Son aquellas que involucran tres o más derivadas
      - La derivada de mayor orden es mayor que 2
    - - Son aquellas que involucran dos derivadas
      - Se utilizan en la física de la mecánica clásica para resolver problemas como el movimiento armónico simple.
      - La derivada de mayor orden es de segundo orden
      - Ejemplo
  - - - Una ecuación diferencial es homogénea si:
        
        No hay términos independientes (sin y)
        
        Todos los términos dependen de la función y sus derivadas
      - En EDO lineales
        
        Forma general
        
        Ejemplo
        
        No aparece ningún término independiente.
    - - Son ecuaciones diferenciales donde:
        
        Aparece un término independiente de la función
        
        El lado derecho no es cero
      - En EDO lineales
        
        Forma general
        
        Ejemplo
        
        El término 𝑥 no depende de 𝑦.
  - - - Dónde se usan
        
        Circuitos eléctricos simples
        
        Movimiento
        
        Crecimiento poblacional
      - Definición
        
        Es la ecuación que contiene derivadas respecto a una sola variable independiente.
        
        Forma común
        
        "x" Variable independiente. "y" Variable dependiente.
      - Ejemplos
        
        EDO de primer orden
        
        Variable independiente: x
        
        Solo aparece una derivada ordinaria
        
        Variable dependiente: y
        
        EDO lineal
        
        Tiene una sola variable independiente (x)
        
        Es una ecuación diferencial ordinaria lineal
        
        Se usa mucho en modelos físicos simples
        
        EDO de segundo orden
        
        Derivada de mayor orden: segunda
        
        Sigue siendo EDO porque solo depende de x
    - - Definición
        
        Es la que contiene las derivadas parciales respecto a dos o más variables independientes.
        
        Forma común
        
        "x" "y" Variables independientes. "u" "v" Variables dependientes.
      - Donde se usan
        
        Transferencia de calor
        
        Mecánica de fluidos
        
        Ondas y vibraciones
      - Ejemplos
        
        EDP simple
        
        Variables independientes: 𝑥 y 𝑦
        
        La función 𝑢 depende de más de una variable
        
        Se usan derivadas parciales
        
        EDP del calor
        
        Variables independientes: 𝑥 y 𝑡
        
        Describe la transferencia de calor
        
        Muy común en ingeniería
        
        EDP de ondas
        
        Modela vibraciones y ondas
        
        Depende del espacio y del tiempo