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向量组的线性相关性
及
线性方程组 - Coggle Diagram
向量组的线性相关性
及
线性方程组
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向量组及其线性组合
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线性表示：若β=k₁α₁+k₂α₂+······，则称向量β能由向量组α₁、α₂······线性表示
注：（1）向量组中任何一个向量均可由该向量组本身表示
（2）若β可由向量组中的部分向量表示，则β一定可由全部向量组表示
线性表示判定方法：
（1）β能由α₁、α₂······线性表示↔存在一组系数使k₁α₁+k₂α₂+······=β↔线性方程组（α₁、α₂······）x=β有解（即Ax=B有解）↔r(A)=r(A|B)
（2）向量组β₁、β₂、······能由α₁、α₂······线性表示↔每个向量β均可由α₁、α₂······线性表示↔↔矩阵方程Ax=β有解↔r(A)=r(A|B)
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向量组的秩
极大线性无关组
设向量组α₁、α₂······有一个部分组αᵢ₁、αᵢ₂······，满足：αᵢ₁、αᵢ₂······线性无关且α₁、α₂······中任一向量均可由α₁、α₂······表示，则称αᵢ₁、αᵢ₂······是向量组α₁、α₂······的一个极大线性无关组
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定义
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注：r(α₁、α₂······)≤s（s为向量组的总向量数）
若r(α₁、α₂······)=r,则α₁、α₂······中任意r个无关的部分组均可作为极大无关组
性质
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若向量组β₁、β₂······βₜ可由α₁、α₂······αₛ线性表示，且t>s,则向量组β₁、β₂······βₜ必线性相关
设矩阵A=（α₁、α₂······αₙ）,做初等变换转化为B=（β₁、β₂······βₙ），则A与B对应的列向量组有相同的线性相关性
线性方程组解的结构
齐次线性方程组Ax=0
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基础解系：A为s×t的向量组，设α₁、α₂······αₙ是Ax=0的解向量，融α₁、α₂······αₙ线性无关且Ax=0的任何一个解均可由α₁、α₂······αₙ线性表示，则称α₁、α₂······αₙ为Ax=0的基础解系，k₁α₁+k₂α₂+······+kₙαₙ为Ax=0的通解
注：Ax=0的基础解系所含向量个数=t-r(A)
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非齐次线性方程组Ax=b
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解的性质：（1）设向量α₁、α₂均为Ax=b的解→α₁-α₂是对应的Ax=0的解→k₁α₁+k₂α₂也为Ax=b的解且k₁+k₂=1
（2）设η是Ax=b的解，ξ是Ax=0的解→η+ξ是Ax=b的解→非齐次线性方程组Ax=b的通解=（k₁ξ₁+k₂ξ₂+······）+η，即齐次通解+非齐特解