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BASE Y DIMENSION DE LOS ESPACIOS VECTORIALES, CAMBIO DE BASE, BASE…

- - - - Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo numero de vectores se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.
        
        TEOREMA
        Sea S un espacio o subespacio de dimension m. Entonces
        ● si tenemos m vectores linealmente independientes. En S también serán sistema generador de S.
        ● si tenemos m vectores generan S también serán linealmente independientes.
        Por lo tanto si tenemos un conjunto formado por tantos vectores como.indica la dimension dichos vectores serán a la vez linealmente independientes y sistema generador, o bien ninguna de las dos cosas.
      - EJEMPLO DE DIMENSION;
        Rn tiene dimensión n, pues tiene una base de n elementos (p.ej.la canónica)
        2...M2×2={matrices 2×2 con términos reales }tiene dimensión 4. Una base de M 2x2 es
        (1 0)
        (0 0)
        
        P2={ polinomios de grado <2 con coeficientes reales } tiene dimensión 3. Una base de P2 es, por ejemplo la formada por los tres polinomios sigueintes:
        1+0×+0×², 0+×+0×², 0+0×+×²( rs decir los polinomios 1, ×, ×²).
        Otra base: 1+2×+3×², 4+×², 3-×-5×²
      - PROPIEDADES DE DIMENSION:
        significado físico de la dimensión: Los.planos tienen dimensión 2, las rectas dimension 1, el punto dimension 0. El subespacio {0} es el único que tiene dimension 0.
        2...la dimension de un subespacio R n coincide con el numero de parámetros libres en su forma parámetrica.
        3... si S y T son subespacios y S esta contenido en T entonces dim S < dim T además, si se da la igualdad, dim S =dim T, ambos espacios han de coincidir.
        
        EJEMPLO
        En R sea S el subespacio generado por:(1,0,2),(0,-1,-2),(3,3,3),(2,2,0).
        Observamos que el rango de este conjunto (=rango de la matrizque.forman, por las filas o por columnas) es 3.Asi por la propiedadd 4 tenemos que dimensión S =3. Pero como estamos en R ³ por la propiedad 3 ha de ser S=R³.
- - - - Este vector depende del orden en que se consideren los vectores en B, por eso es mas apropiado considerar B como una tupla de vectores que como un conjunto:
        B=(v1,v2...vn) Recordemos que, por la definición de la suma de dos vectores y la multiplicación de un vector por un escalar, las coordenadas satisfacen las siguientes propiedades: para todo
        u,v€ Rn y a € R,
        [u+v]B=[u]B+[v]B,[au]B=a[u]B,
      - La base no es mas que un conjunto de vectores V1,V2..Vn que son linealmente independientes y que son capaces de generar cualquier vector de dicho espacio (estamos hablando del mismo espacio vectorial).
        
        MATRICES SIMILARES
        Definición. Decimos que dos matrices A y B en Mn (F) son similares o conjugadas si existe una matriz invertible P en Mn(F) tal que B=P-¹ AP
        
        Em otras palabras A y B son matrices similares si representan a una misma transformación lineal en diferentes bases.
        
        PROPOSICION: la relacion ser similares es una relacion de equivalencia en Mn(F).
      - Las matrices de cambios de base nos ayudan a entender a las matrices de transformaciónes lineales en bases diferentes.
        
        TEOREMA:
        Sea T:V->W una transformación lineal entre espacios de dimension finita V y W.sean B1 y B2 bases de V, y C1 y C2 bases de W. Entonces .
        Mat c2 B2(T)= Matc2(c1)Mat c1B2(T)MatB1(B2).
      - BASE ORTONORMALES::
        Las bases ortogonales no sólo tienen aplicaciones en algebra lineal. También son el punto de partida de muchos conceptos matemáticos avanzados.
        
        CONJUNTOS ORTOGONALES Y ORTONORMALES:
        comenzamos con la siguiente definición. Recuerda que V es un espacio vectorial sobre R con productos interior, asi que induce una norma
        
        ORTOGONAL
        Si cualquier par de vectores distintos de S es ortogonal, es decir si para todo v,w en S con v# w se tiene que
        (V,w)=0
        
        Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos se puede normalizar como en el ejemplo de la sección anterior para obtener un conjunto ortonormal. Es decir, si S es un conjunto de vectores distintos de 0, entonces
        S={v/v:v € S}
        
        Ortonormal si es ortogonal y ademas todo vector de S tiene norma 1.
        
        Es un conjunto ortonormal una propiedad fundamental de los conjuntos ortonormales de vectores es que son linealmente independientes se puede probar algo un poco mas general.
        
        PROPOSICION. si S es un conjunto ortogonal de vectores no nulos, entonces los elementos de V son linealmente independientes.
        
        DEFINICION.
        sea S un conjunto de vectores en V decimos que S es.
        
        En otras palabras, S es ortonormal si para todo v se tiene (v,v)= 1 y para v y w es S distintos se tiene (v,w)=0
- - - - Para empezar normalizamos v1 para obtener e1=v1/v1. De aquí en adelante procedemos recursivamente si ya construimos e1,..,ek entonces podemos construir ek+1 atraves de la fórmula que pusimos es decir primero definimos
      - El siguiente diagrama da una idea un poco mas visual de como vamos haciendo las operaciones comenzamos con los vectores v1,...,vd de la fila superior. Luego vamos construyendo a los ei y f en el orden indicado por las flechas e1,f2,e2,.. fd-1,ed-1,fd,editar. Para construir el ei correspondiente normalizamos.