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Definición de espacios vectoriales - Coggle Diagram
Definición de espacios vectoriales
DEFINICION DE ESPACIOS VECTORIALES Y SUS PROPOEDADES:
El espacio vectorial es la estructura matemática que se crea a partir de un conjunto no vacío y que cumple con diversos requisitos y propiedades iniciales.
DEFINICION DE SUBESPACIO VECTORIAL Y SUS PROPIEDADES:
Un subespacio vectorial V es un subconjunto H de V que tiene tres propiedades.
El vector cero de V esta en H.
H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en H la suma u + v esta en H.
COMBINACION LINEAL .INDEPENDIENTE LINEAL
Una combinación lineal de dos o mas vectores es el Vector que se obtiene al sumar esos.
BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL CAMBIO BASE.
base de un vector
Si un espacio vectorial V tiene uan base con n vectores entonces toda base de V tiene n vectores. Base < un conjunto finito de vectores.
DEPENDENCIA LINEAL
dado un conjunto de vectores en Rn, A = {ײ,ײ,...×k} A de dice conjunto de vectores linealmente dependiente o simplemente linealmente dependiente si existe una combinación lineal entre los vectores que da el vector cero donde por lo menos un coeficiente es diferente de cero: Existe c¹,c²....ck que cumplen
C1×1+c2x2+...+ck×k=0
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.
PROPIEDADES
si varios vectores son linealmente dependientes entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.
También se cumple el reciproco si un vector es combinación lineal de otros entonces todos loa vectores son linealmente dependientes.
2.dos vectores del plano son linealmente dependientes si y sólo si son paralelos.
EJEMPLO
determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores, y escribir como combinación lineal de y, siendo k el valor calculado
Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo es decir que el rango de la matriz es menor que 3
COMBINACION LINEAL
cuando se aplican la suma de vectores y la multiplicación por un escalar a un conjunto de vectores se realiza una combinación lineal. Es decir la.combinacion lineal es una expresión del tipo.
a1v1+a2v2+a3v3+...+anvn=x
Sea un bloque sostenido por dos cuerdas sobre un plano inclinado donde no hay rozamiento.
INDEPENDENCIA LINEAL:
un conjunto es linealmente independiente si no existen combinaciones lineales entre sus vectores ; es decir cada vector existe por si mismo dentro del conjunto. En ptra forma si al combinar linealmente los elementos del conjunto en la forma.
a1v1+a2v2+a3v3+...+anvn=0
Ejemplo
Determinar la independencia lineal de A = {3X²+x+2+1,x²-2×} y B= {x²+×+1-2ײ+2+3×+5}.
Si al plantear la ecuacion de dependencia lineal entre los elementos del conjunto se obtiene una solución trivial el conjunto es independiente en caso contrario a será dependiente
Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.
EJEMPLO
estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:
=(2,3,1),(1,0,1),=(0,3,-1)
a(2,3,1)+b(1,0,1)+c(0,3,-1)=(0,0,0)
