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Funciones - Coggle Diagram
Funciones
Clases de funciones
Dada una funcion f:A->B ya sabemos como es su dominio: un subconjunto del conjunto inicial donde cada elemento tiene una imagen, y solo una en B. En esta sección nos ocupamos del contrato minio. Según sea la relación entre el contradominio y el conjunto final tenemos tres tipos de funciones especialmente interesantes: inyectivas , suprayectivas y biyectivas.
Suprayectiva
Una funcion f:A->B es suprayectiva si el contradominio coinciden con el conjunto final.
D'(f)=B
Ejemplos
La funcion f:A :->B con A ={1,2,3,4,5} y B ={a,b,c}cuya regla de correspondencia es f={(1,a),(2,b),(3,c),(4,a),(5,b).
Inyectiva
Una funcion es inyectiba si su dominio es todo el conjunto inicial y las imágenes de elementos diferentes son diferentes que lo expresamos como
X#y->f(x)#f(y).
Ejemplos
1.f={(1,4),(3,1),(2,8),(5,4)}, es inyectiva ya que para cada valor de X corresponde aun valor de y distinto.
Biyectivas
Una funcion es biyectivas si es inyectivas y suprayectivas.
Es otras palabras, una función es inyectiva si el dominio es todo el conjunto inicial y cada elemento del conjunto final es imagen de, a lo sumo, un elemento del inicial.es biyectiba si cada elemento del final es imagen de exactamente del dominio ( que coincide con el inicial)
Una función matemática es la correspondencia o relacion f de los elementos de un conjunto y. Una función cumple con la condición de existencia (todos los elementos de X estan relacionados con los elementos de Y) y con la condición de unicidad ( cada elemento de X esta relacionado con un único elemento de Y).
En términos de variables, una función es una correspondencia entre dos variables, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda ( o ninguno) que se le conoce como imagen.
A la función se le suele asignar por f y la imagen por f (X) siendo X la variable independiente.
DOMINIO
El dominio de una función Df esta formado por aquellos valores reales de X para los que se puede calcular la imagen f (x).es el conjunto de elementos de X que hace posible que la función exista.
Para determinar el rango de una función se despeja X si es posible, se observa el comportamiento de Y se hace un análisis similar al que se hizo para determinar el dominio
Ejemplo
Obtener el dominio y el rango de las siguientes funciones:
F(X)=1/×-2
Solución
Se puede ver que si X toma el valor de 2, entonces se tiene una división por cero. Asi que la función existe para todos los valores de X excepto en X =2. Lo que matemática se expresa como .
Df=(-8,2)u(2,8).
Composición de funciones
Las funciones se describen a menudo en términos de "ingresar" y "obtener". Por ejemplos considera la función f(x)=2×+3.cuando ingresamos un valor de X obtenemos un valor de Y o un valor de funcion. Al tomar el valor x, multiplicarlo por 2 y sumarle 3. Podemos realizar este proceso para cualquier valor de x. Ahora probemos con la función g(x)=5x. Para esta función también podemos tomar el valor de x reemplazar x en g(x), y obtener el resultado.
Ejemplo A
Según la definición de funcion de arriba , g(x)=5x. Por lo tanto si x=4, tenemos que g(4)=5(4)=20 .¿qué pasa si usamos el resultado, 20, como valor de entrada de f?
Solución
Al reemplazar x por 20 en f(x)=2x+3.
Obtenemos: f(20)=2(20)+3=43
Función inversa
Una funcion inversa es una función que deshace el efecto de otra funcion. En otras palabras,si la función original transforman un elemento a es un elemento b la función inversa transforma al elemento b en el elemento a, es decir lo devuelve al estado original. La inversa de una función f(x) se simboliza como f-1 (x), con el superindice "-1".
Propiedades
Una funcion tiene inversa sólo si es biyectiva, y esta inversa es otra funcion biyectiva.
Ejemplo
Habiendo comprobado que una función es biyectiva, para calcular su inversa debemos seguir los siguientes pasos.
Escribir y=f(x)
Despejar x de esta ecuacion en términos de Y ( si es posible)
Expresar f-1 como una funcion de x, intercambiando x e y. La ecuacion resultante es y=f-1(x).
Funciones localizadoras
Estas funciones suelen ser herramientas analíticas a menudo suaves (derivables) que tienen un valor especifico ( comúnmente 1) en la región de interés y se desvanecen( son cero) fuera de un área circundamente mas grande ( su soporte)
Ejemplos
Los ejemplos de funciones localizadoras varian segun el campo de localización.
Sistema de coordenadas
Las funciones mas básicas que localizan un punto son las que definen las coordenadas en un plano o espacio
Ejemplos
En un plano cartesiano, las funciones x(1)=t =ty y)t)=1² describen la ubicación de un punto en el tiempo t a lo largo de una parábola. Las funciones x(t) y y(t) son, en este caso, funciones de localización que Dan la posición exacta en un instante dado.
Ejemplos
Una funcion x(x) que es igual a uno dentro de una región de interés uº y o fuera de una región ligeramente mayor u1 se usa la para aislar el comportamiento de una solución de una ecuacion diferencial solo dentro de u o .
