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미적분을 통해 세상으로 수학 읽기 - Coggle Diagram
미적분을 통해 세상으로 수학 읽기
도함수란
도함수의 정의
고대 인도에서는 순간적인 움직임을 뜻하는 타트칼리카-가티라고 불렸으며,
현재는 주어진 순간에서의 변화율을 측정한다.
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도함수의 일상 속 예시
한 자동차가 정지선 앞에서 완전히 멈추기 직전이라고 해보자. 운전자 눈에는 차가 멈춘 것처럼 보이지만, 사실 속도는… t = 1초일 때: 2 km/h t = 1.5초: 1 km/h t = 1.9초: 0.4 km/h t → 2초로 다가갈수록: 0 km/h에 점점 가까움 → ‘속도 = 0인 것처럼 보이지만 사실 0은 아님’ → 이것이 바로 극한(Limit) 개념.
역제곱 법칙
역제곱 법칙의 정의
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중력은 거리의 제곱에 반비례한다는 개념으로 사과와 달이 같은 법칙으로 설명된다는 것을 증명할 수 있고, 역제곱 법칙에 따라 중력이 계속 변하기 때문에 순간 속도와 위치를 무한히 작은 단위로 계산해야 했다. 이로 인해 미적분이 탄생했다.
역제곱 법칙의 일상 속 예시
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달이 조금씩 가까워지지만 절대 닿지 않음” (무한 수열) 달이 지구에 1/2 만큼 가까워지고, 그 다음 1/4, 그 다음 1/8… 거리 감소량 1 2 + 1 4 + 1 8 + ⋯ 2 1 + 4 1 + 8 1 +⋯ 이 값은 1에 가까워지지만 절대 1을 넘지 않음 → 수렴하는 무한급수
델타 (Delta)
델타의 정의
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dx와 dt: 미분 표기법으로 무한히 증가하는 위치와 시간을 고려하며, 도함수 dt/dx의 기반이 된다
변화량(Δx는 변화한 거리, Δt는 흐른 시간)
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최적화와 극댓값이란
정의
최적화의 정의
이익 극대화와 같은 목표 달성을 위해, 도함수가 정확히 0이 되는 특별한 순간을 찾는 것이다
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1차, 2차, 3차 도함수
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1차, 2차, 3차 도함수의 일상 속 예시
복리 투자
투자 잔고가 P(x)일 때, 시간이 지날 수록 투자 잔고는 꾸준히 증가 --> 1차 도함수 양수임을 의미 / 복리 효과로 인해 이자 자체가 다시 이자를 만들어내 잔고가 불어내는 속도가 시간이 지날 수록 빨라짐 --> 2차 도함수가 양수임을 의미