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四面八「方」．「格」物致知— 探討塗色方格的規律, 四面八「方」．「格」物致知— 探討塗色方格的規律, 四面八「方」．「格」物致知— …
四面八「方」．「格」物致知—
探討塗色方格的規律
有界
2對
相接2對
nxn
【性質14-1】每盤皆有𝑦=𝑥、𝑦=−𝑥、𝑥=0、𝑦=0這4條對稱軸-叡
【討論】nxn與1xn循環次數相同-于
【性質16】1×n的方格與n×n位於y=0的方格之塗色情形相同-于
nxm
【性質15】m、n皆為偶數時，每一盤的任兩個塗色方格皆不相鄰，且塗色的方格在下一盤必沒塗色-叡
【性質14-2】每盤皆有𝑥=0、𝑦=0這2條對稱軸-叡
不相接
nxn
【性質5】當n=2^a-1，歸零次數為2^(a-1)-叡
【性質6】循環首盤一定不是第0盤-于
【性質7】n=2^a+1時，循環次數為2^a-2，循環末盤為2^a盤（a≥2）-叡
【性質8】n=2^a-3時，循環次數為2^a-2 （a≥3）-于
nxm
【性質9】每盤皆有x=0這1條對稱軸-于
相接1對(nxm)
【性質12-1】當m=2^(a-1)-1、n=2^b，且b>a≥2時，歸零次數為2^(b-1)-叡
【性質12-2】當m=2^(a-1)-1、n=2^b，且a≥b≥2時，歸零次數為2^(a-1)-叡
【性質11】n為偶數時，每一盤的任兩個塗色方格皆不相鄰，且塗色的方格在下一盤必沒塗色-叡
【性質10】每盤皆有x=0這1條對稱軸-于
【性質13】m=2^(a-1)-1、n≠2^a時，循環次數為2^q-2^p，其中p、q∈N-叡
1對
相接
不相接
1條
【引理6】第2^a-1盤為V字形-于
【引理5】Ｖ字形下一盤為最小值-叡
【展望】任意原點，碰壁後反彈結果
無界
【引理3】每一盤的任兩個塗色方格皆不相鄰，且塗色的方格在下一盤必沒塗色-叡
【性質2-1】第a次最大值在第2^(a-1)-1盤（包括第0盤），其塗色方格數為4^(a-1)格(a∈N)-叡
【性質3】第t盤的正方形各邊上的數是巴斯卡三角形的第t層（第t+1行）-于
【引理4】最大值的下一盤為最小值-叡
【引理2-1】第t盤的4個頂點位於(t,0)、(-t,0)、(0,t)、(0,-t)-于
【性質1】每盤皆有y=x、y=-x、x=0、y=0這4條對稱軸-于
【性質4】第t盤的任一塗色內部格的數皆是其對應塗色邊格的數之乘積
【引理1】第t盤塗色的方格與原點的曼哈頓距離≤t-叡
【引理2-2】第t盤為邊長t+1的正方形-叡
【性質2-2】第a次最小值是第2^(a-1)盤，其塗色方格位於(±2^a,±2^a)-叡
【性質1補充】nxn奇數每盤皆有y=x、y=-x、x=0、y=0這4條對稱軸-于
立體
【引理8-1】第t盤的6個頂點位於(t,0,0)、(-t,0,0)、(0,t,0)、(0,-t,0)、(0,0,t)、(0,0,-t)
【待確認】巴斯卡
【引理9】每一盤的任兩個塗色方塊皆不相鄰，且塗色的方塊在下一盤必沒塗色
【引理10】最大值的下一盤為最小值
【性質19-1】第a次最大值在第2^(a-1)-1盤（包括第0盤），其塗色方塊數為6^(a-1)格(a∈N)-叡
【性質19-2】第a次最小值在第2^(a-1)盤，其塗色方塊位於(±2^a,±2^a,±2^a)
【性質20-1】一維時第a次最大值塗色線段數=第t盤可塗色線段數
【引理7】第t盤塗色的方塊與原點的曼哈頓距離≤t
【性質18】第t盤的塗色方塊形成邊長為t+1的正八面體
【性質20-2】二維時第a次最大值塗色方格數=第t盤可塗色方格數
【性質20-3】三維時第a次最大值塗色方塊數=第t盤可塗色方塊數
【性質17】每盤皆有x=0、y=0、z=0、x=y、x=-y、x=z、x=-z、y=z、y=-z這9個對稱面
四面八「方」．「格」物致知—
探討塗色方格的規律
有界
2對
相接2對
nxn
【性質16-1】每盤皆有4條對稱軸-叡
【討論】nxn與1xn循環次數相同-于
【性質18】1xn會和nxn的起點排塗色情形一致-于
nxm
【性質17】盤面可畫成西洋棋盤(m,n皆為偶數)時，兩塗色方格不相鄰-叡
【性質16-2】每盤皆有2條對稱軸-叡
不相接
nxn
【性質7】當n=2^a-1，歸零次數為2^(a-1)-叡
【性質8】循環首盤一定不是第零盤-于
【性質9】n=2^a+1時，循環次數為2^a-2，循環末盤為2^a(a>=2)-叡
【性質10】n=2^a-3時，循環次數為2^b-2 (a=3, b=a-1、a>3, b=a)-于
nxm
【性質11】每盤皆有1條對稱軸-于
相接1對(nxm)
【性質14-1】2^(a-1)-1層2^b等分(b>a>=2)歸零次數為2^(b-1)-叡
【性質14-2】2^(a-1)-1層2^b等分(a>=b>=2)歸零次數為2^(a-1)-叡
【性質13】盤面可畫成西洋棋盤(m為偶數)時，兩塗色方格不相鄰-叡
【性質12】每盤皆有1條對稱軸-于
【性質15】2^(a-1)-1層m(m≠2^a)等分的循環次數為2^q-2^p-叡
1對
相接
不相接
1條
【引理9】V字形下一盤是最小值-叡
【引理10】第2^a-1盤為V字形，長度為2^a-于
【展望】任意原點，碰壁後反彈結果
無界
二維
【引理3】任一盤的任兩塗色方格不相鄰，且前一盤塗色的方格下一盤必沒塗色-叡
【性質2-1】第a次出現最大值是第2^(a-1)-1盤，塗色格數為4^(a-1)格(a∈N)(第0盤算)-叡
【性質3】第z盤的正方形各邊是巴斯卡三角形的第z層(第z+1行)-于
【引理4】最大值的下一盤是最小值-叡
【引理2-1】第z盤時與原點距離最遠的4個塗色方格位於(z,0)、(-z,0)、(0,z)、(0,-z)-于
【性質1】每盤皆有4條對稱軸-于
【性質4】每盤內部皆是邊塊的乘積-叡
【引理1】第z盤塗色的方格皆符合|x|+|y|≤z
【引理2-2】第z盤為邊長z+1的正方形-叡
【性質2-2】第a次出現最小值是第2^(a-1)盤，(±2^a,±2^a)4格塗色-叡
【性質1補充】nxn奇數每盤皆有4條對稱軸-于
三維
【引理6】第z盤的6個頂點位於(z,0,0)、(-z,0,0)、(0,z,0)、(0,-z,0)、(0,0,z)、(0,0,-z)
【待確認】巴斯卡
【引理7】每一盤的任兩個塗色方塊皆不相鄰，且塗色方塊在下一盤必沒塗色
【引理8】最大值的下一盤為最小值
【性質5-1】第a次出現最大值是第2^(a-1)-1盤，塗色格數為6^(a-1)格(a∈N)(第0盤算)
【性質5-2】第a次出現最小值是第2^(a-1)盤，(±2^a,±2^a,±2^a)6格塗色
【性質6】不同維度下，最大值塗色方格與可塗色方格數比較
【引理5】第t盤塗色的方格皆符合|x|+|y|+|z|≤t
四面八「方」．「格」物致知—
探討塗色方格的規律（國展）
有界
2對
相接2對
【性質9-1】n×n每盤皆有4條對稱軸
【性質9-2】m×n每盤皆有2條對稱軸
相接1對(nxm)
【性質7】每盤皆有1條對稱軸-于
不相接
【性質5-2】m×n每盤皆有x=0這1條對稱軸
1條
【引理5】V字形下一盤是最小值-叡
【引理6】第2^a-1盤為V字形-于
【定理3-2】當n=2^a+1時，
循環週期為2^a-2，
循環末盤為第2^a盤-叡
【定理4-1】當m=2^(a-1)-1、n=2^b，且b>a≥2時，歸零盤次為2^(b-1)
【定理4-2】當m=2^(a-1)-1、n=2^b，且a≥b≥2時，歸零盤次為2^(a-1)
【定理4-3】當m=2^(a-1)-1、n≠2^b時，循環週期為2^p-2^q
無界
塗色
【引理3】每一盤的任兩個
塗色方格皆不相鄰，且塗色的
方格在下一盤必沒塗色
【引理4】最大值的
下一盤是最小值-叡
【性質4-1】二維第 a 次
最大值塗色個數為4^(a-1)
【定理1-2】d 維盤第 a 次最大值的塗色個數為(2d)^(a-1)
【定理3-1】當n=2^a-1，歸零盤次為2^(a-1)-叡
【性質4-2】三維第 a 次
最大值塗色個數為6^(a-1)
【性質8】n為偶數時，每一盤的任兩個
塗色方格皆不相鄰，且塗色的方格
在下一盤必沒塗色
【性質10】m、n皆為偶數時，每一盤的
任兩個塗色方格皆不相鄰，且塗色的
方格在下一盤必沒塗色
【性質1-1】
二維盤皆有4條對稱軸-于
【性質5-1】n×n每盤皆有4條對稱軸
【性質6】循環首盤一定不是第0盤-于
【引理1】第t盤塗色的方格(塊)
與原點的曼哈頓距離≦ t
【引理2-2】三維第 t 盤的6個頂點
位於(t,0,0)、(-t,0,0)、(0,t,0)、
(0,-t,0)、(0,0,t)、(0,0,-t)
【性質2-2】三維第 t 盤的塗色方塊
形成邊長為t+1的正八面體
【定理2-4】三維第 t 盤正八面體各表面上所填的數
構成三維巴斯卡三角形第 t 層
【引理2-1】二維第t盤的4個頂點位於
(t,0)、(-t,0)、(0,t)、(0,-t)
【性質2-1】二維第 t 盤的塗色方格
形成邊長為t+1的正方形
【定理2-2】二維第 t 盤正方形各邊上
的數是巴斯卡三角形的第 t 層
【定理2-3】二維第 t 盤的任一塗色內部格的數
皆是其對應塗色邊格的數之乘積
【定理3-3】當n=2^a-3，循環週期為2^a-2，
循環末盤為第2^a盤-于
【性質3】第a次最小值在第2^(a-1)盤
【定理5】n×n的循環週期為2^p-2^q
【定理1-1】d維盤有 2d 個頂點，最小值塗色個數為 2d
【定理1-3】d 維盤的塗色範圍形成 d 維正軸體
【性質1-2】
三維盤皆有9個對稱面-叡
填數
【定理2-1】一維第 t 盤中所填的數是巴斯卡三角形的第 t 層