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derivadas de funciones vectoriales - Coggle Diagram
derivadas de funciones vectoriales
DEFINICION:
as funciones vectoriales son aquellas que toman un valor de entrada (un número real) y devuelven un vector en el espacio. Por lo general, se representan de la forma
r(t) = (x(t), y(t), z(t))
donde cada componente del vector es una función escalar de la variable t. Esto significa que podemos describir trayectorias en el espacio tridimensional, lo que es especialmente útil en física para modelar el movimiento de objetos.
Propiedades de las funciones vectoriales
Las funciones vectoriales poseen varias propiedades que son útiles para su análisis y cálculo. Estas propiedades nos permiten entender mejor su comportamiento y aplicarlas en diversas situaciones. A continuación, revisaremos algunas de las propiedades más importantes.
Linealidad
Una de las propiedades más relevantes de las funciones vectoriales es su linealidad. Si tenemos dos funciones vectoriales r(t) y s(t), y un escalar c, entonces se cumple lo siguiente:
c
(r(t) + s(t)) = c
r(t) + c * s(t)
Derivabilidad
Una función vectorial es derivable en un punto si todas sus componentes son derivables en ese punto. Esto implica que si r(t) = (x(t), y(t), z(t)), entonces:
r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))
Cálculo de derivadas de funciones vectoriales: un enfoque paso a paso
Descomponer la función vectorial: Representa la función en términos de sus componentes escalares. Por ejemplo, si r(t) = x(t), y(t), z(t), este es el primer paso.
Calcular la derivada para cada componente: Aplica las reglas de cálculo para obtener las derivadas x’(t), y’(t), y z’(t).
Reunir los resultados: Combina las derivadas en un nuevo vector, el cual será r’(t) = x’(t), y’(t), z’(t).
Integración de Funciones Vectoriales
La integral definida e indefinida de una función vectorial se realiza integrando cada una de sus funciones componentes:
Integral Indefinida:
$$\int \mathbf{r}(t) \, dt = \left\langle \int f(t) \, dt, \int g(t) \, dt, \int h(t) \, dt \right\rangle + \mathbf{C}$$
Donde C es un vector constante de integración.
Integral Definida:
$$\int_a^b \mathbf{r}(t) \, dt = \left\langle \int_a^b f(t) \, dt, \int_a^b g(t) \, dt, \int_a^b h(t) \, dt \right\rangle$$
Aplicación Física: Si v(t)
es la velocidad, su integral indefinida da la posición r(t).
Longitud de Arco de Funciones Vectoriales
La longitud de arco L de una curva definida por r(t) para t en el intervalo [a, b] se calcula integrando la magnitud del vector velocidad (la rapidez):
$$L = \int_a^b ||\mathbf{r}'(t)|| \, dt = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2} \, dt$$
Función de Longitud de Arco: Esta función, denotada por s(t), mide la longitud de la curva desde un punto inicial t0 hasta t:
$$s(t) = \int_{t_0}^t ||\mathbf{r}'(u)|| \, du$$
El parámetro de longitud de arco s tiene la propiedad de que r(s) = 1 (si se puede reparametrizar la curva en términos de s), lo que simplifica muchas fórmulas
Vectores Tangentes, Normal y Binormal (Marco de Frenet)
Estos tres vectores unitarios forman un sistema de coordenadas móvil, llamado el marco de Frenet o marco TNB, que se mueve a lo largo de la curva espacial y es fundamental para el estudio de la geometría de las curvas.
Vector Tangente Unitario (T): Indica la dirección del movimiento a lo largo de la curva
$$\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{||\mathbf{r}'(t)||}$$
Vector Normal Unitario Principal ($\mathbf{N}$): Indica la dirección hacia donde la curva se está doblando o girando. Es perpendicular a $\mathbf{T}$ y apunta hacia el "interior" de la curva.
$$\mathbf{N}(t) = \frac{\mathbf{T}'(t)}{||\mathbf{T}'(t)||}$$
**Vector Binormal Unitario (B): Es perpendicular tanto a T como a N
$$\mathbf{B}(t) = \mathbf{T}(t) \times \mathbf{N}(t)$$
Curvatura
La curvatura ($\kappa$) es una medida escalar que describe qué tan rápido cambia la dirección de la curva (cuán bruscamente se dobla) en un punto dado.
Si k es grande, la curva se dobla rápidamente (radio de curvatura pequeño).Si k0, la curva es casi recta.
Fórmula de Curvatura (usando el parámetro t):
$$\kappa(t) = \frac{||\mathbf{T}'(t)||}{||\mathbf{r}'(t)||} = \frac{||\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)||}{||\mathbf{r}'(t)||^3}$$
El radio de curvatura es P = 1K. Aplicación: La curvatura es crucial en física y diseño de ingeniería (p. ej., el diseño de carreteras y vías férreas).