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Funciones Vectoriales - Coggle Diagram
Funciones Vectoriales
1. Concepto General
- Una función vectorial asigna a cada valor real un vector del plano o del espacio.
Se representa como r(t) = ⟨x(t), y(t), z(t)⟩.
- Cada componente (x, y, z) es una función escalar de t.
- El punto extremo de r(t) al variar t genera una curva paramétrica.
2. Curva Paramétrica
- Sentido: dado por el aumento de t.
- Puntos: inicial A(x(a), y(a), z(a)) y final B(x(b), y(b), z(b)).
- El parámetro t no siempre representa tiempo; puede representar distancia, ángulo, etc.
- Longitud de arco (s): mide la distancia recorrida a lo largo de la curva.
Geometría de la Curva
5. Vector Tangente
- r′(t) es tangente a la curva en el punto r(t).
- Vector unitario tangente:
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6. Longitud de Arco
- 2D: s = ∫ₐᵇ √[(x′)² + (y′)²] dt
- 3D: s = ∫ₐᵇ √[(x′)² + (y′)² + (z′)²] dt
- Derivada: ds/dt = ||r′(t)|| (rapidez)
- Reparametrización: usar s como nuevo parámetro para medir distancia real.
7. Curvatura (κ)
- Mide cuánto se curva una trayectoria.
- κ = ||T′(t)|| / ||r′(t)||
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- Radio de curvatura: r = 1/κ
- Círculo osculante: círculo que “toca” la curva con la misma curvatura.
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Cálculo Vectorial
3. Derivadas
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- Representa la tasa de cambio instantánea o velocidad.
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- Regla de la cadena: r(f(t))′ = r′(f(t))·f′(t)
4. Integrales
- Se integran componente por componente.
∫r(t)dt = ⟨∫x(t)dt, ∫y(t)dt, ∫z(t)dt⟩ + C
- Si r(t) es velocidad → integral es posición.
- Si r(t) es aceleración → integral es velocidad.
Propiedades
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- Suma/diferencia: (r ± u)′ = r′ ± u′
- Producto real-vector: (f·u)′ = f′·u + f·u′
- Producto escalar: (r·u)′ = r′·u + r·u′
- Producto vectorial: (r×u)′ = r′×u + r×u′
- Regla de la cadena: r(f(t))′ = r′(f(t))·f′(t)
- Magnitud constante: si r·r = c → r·r′ = 0