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Funciones vectoriales, Bibliografía - Coggle Diagram
Funciones vectoriales
Definición general
- Una función vectorial es una función cuyo dominio es una (o varias) variables reales (normalmente t) y cuyo rango son vectores en R² o R³
En notación:
donde cada uno de x(t), y(t), z(t) es una función escalar de t
Interpretación geométrica: La curva que traza r(t) se obtiene al mover el valor del parámetro t y trazar el punto (x(t), y(t), z(t)) en el espacio.
Importancia: Este tipo de funciones permite modelar trayectoria de partículas, movimiento en el espacio, curvas en 3D y muchas aplicaciones en física/ingeniería.
Vectores tangente, normal y binormal
Definiciones y fórmulas
- Vector tangente unitario T(t) se define como
T(t) = r'(t) / ||r'(t)|| , (cuando r'(t) ≠ 0).
- Vector normal unitario N(t): mide el cambio de dirección de T(t). Una definición es
T(t) = r'(t) / ||r' (t)|| , (cuando r' (t) ≠ 0).
- Vector normal unitario N(t): mide el cambio de dirección de T(t). Una definición es
N(t) = T'(t) / ||T'(t)|| , cuando ||T'|| ≠ 0.
(Sólo para curvas lisas y sin puntos donde la derivada se anule)
- Vector binormal B(t) en 3D:
B(t) = T(t) × N(t).
Éste es ortogonal tanto a T como N, formando el triédrico de Frenet (o marco de Frenet) {T, N, B}.
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Curvatura
Concepto, definiciones y fórmulas
- La curvatura k mide qué tan rápido cambia la dirección de una curva en un punto, es decir, cuánto “se curva”.
- Fórmula en términos del parámetro de arco s:
k=||dT / ds||.
- Fórmula en general para r(t) (parametrización general):
k(t) = ||r'(t) × r''(t)|| / ||r'(t)||³
Esta es muy usada en 3D.
Interpretación práctica
- Si k= 0, localmente la curva se comporta como una línea recta.
- Cuanto mayor sea k, más “cerrado” es el giro de la curva en ese punto.
- La curvatura depende de la geometría de la curva, no de la velocidad del parámetro (si se hace parametrización por arco se elimina el efecto de velocidad).
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