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7- Il consumatore nella microeconomia neoclassica: Esempi di forme…
7- Il consumatore nella microeconomia neoclassica: Esempi di
forme funzionali e utilizzi
le funzioni di domanda per alcune forme funzionali della funzione di utilità e ne mostreremo alcuni usi
casi che non rispettano le proprietà di stretta quasi-concavità o di derivabilità
2 La funzione di domanda (due beni) per funzione di utilità Cobb- Douglas
rappresentare graficamente le caratteristiche del punto di ottimo e
Il tasso marginale di sostituzione tra i due beni è uguale al valore assoluto della pendenza delle curve ad utilità costante nel piano (Q1, Q2)
interpretare più intuitivamente le condizioni di ottimalità.
FORMULA
Il punto di ottimo è tutto il reddito viene speso in un punto in cui vincolo e una curva di livello hanno la stessa pendenza (sono tangenti).
Il vincolo di reddito può essere espresso come
FORMULA
Se la pendenza fosse maggiore della curva a utilità costante fosse maggiore, in valore assoluto, di quella del vincolo
FORMULA ,
l’ultima lira spesa nel bene 1 darebbe più utilità di quella spesa nel bene 2: conviene aumentare Q1 e diminuire Q2 .
Esemplifichiamo ora l’applicazione del procedimento analitico di calcolo delle funzioni di domanda al caso di funzione di utilità Cobb Douglas a due beni.
La condizione di ottimalità
FORMULA
diviene
FORMULA
che può essere riscritta
FORMULA
che insieme al reddito di vincoli implica
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3 Forme funzionali della funzione di utilità e proprietà delle funzioni di domanda
La forma delle funzioni di domanda discende dalla forma delle funzioni di utilità
funzioni di utilità CobbDouglas,
le funzioni di domanda che otteniamo implicano che il consumatore, qualsiasi siano i prezzi ed il suo reddito,
spende sempre quote del reddito costanti per acquistare ciascuno dei beni.
si formulano test su determinate ipotesi
e si svolgono analisi statistiche per stimare i valori numerici dei parametri delle funzioni di utilità o di domanda
trattabili e parsimoniose,
flessibili
da non prefigurare i risultati
esigenze di trattabilità matematica
elaborazioni simboliche
soluzioni esplicite in forma chiusa
1.1.1
Funzione di Utilità lineare (non è strettamente quasi concava)
FORMULA
Le curve di livello (utilità costante), sono lineari, come il vincolo di reddito.
La soluzione ottima prevede il consumo di uno solo dei due beni, a meno che vincolo di reddito e curve di livello non siano paralleli (in tal caso qualsiasi punto sul vincolo genera la stessa utilità.
Per verificarlo basta sostituire il vincolo nella U(Q)U(Q)
FORMULA
SE
FORMULA
1.
la crescita di Q1 fa sempre crescere l’utilità, altrimenti la fa decrescere.
SE
FORMULA
2.
una lira spesa in un bene porta sempre alla stessa utilità di una lira spesa nell’altro
1.1.2
Utilità di Leontief (beni perfettamente complementari, funzione non derivabile)
• I due beni generano utilità solo se consumati in proporzioni prefissate.
• non si sprecano prodotti se =
FORMULA
FORMULA
• Spendendo tutto il reddito
FORMULA
4 Funzione di Utilità quasi – lineare
funzione di utilità quasi-lineare una funzione che ha un termine additivo lineare con la quantità consumata di un bene.
L’utilità marginale di questo bene è quindi costante.
FORMULA
• Conviene spendere in q solo se esiste un valore q per cui u(q) – pq > 0
• La famiglia di tutte curve ad utilità costante si ottiene per traslazione verticale (differiscono solo per l’ammontare di N)
• La derivata di U(q) rispetto a q è FORMULA- p, per ipotesi decrescente
• N è la quantità di bene numerario (moneta), che ha prezzo unitario e utilità marginale sempre eguale a 1 (non decrescente!)
• Se p> FORMULA la derivata è sempre negativa e non conviene mai consumare q
• Q, in questo esempio, è l’unico bene diverso dal numerario, con utilità marginale decrescente e u(0) = 0
• Se esiste un q che annulla la derivata prima, la derivata seconda è negativa e la funzione di domanda inversa (cioè risolta rispetto a p) è p=
FORMULA
• Sostituendo il vincolo di reddito in U si ottiene
U(q) = Y + u(q) – pq
• La domanda di q non dipende dal reddito, a meno che il reddito non sia così basso che non consenta di acquistare la quantità ottimale di q)
1.1.3 Esempio di funzione di utilità quasi-lineare con sazietà.
FORMULA
• Se p > a la derivata prima di U è sempre negativa e il consumo di q è nullo
• Sostituiamo nella funzione di utilità il valore di N ricavato dal vincolo di reddito
FORMULA
• Se p<=a la funzione di domanda inversa è p = a – b q
• La sazietà per q si ha quando si annulla l’utilità marginale di q
FORMULA
q cioè la domanda di q è sempre minore di
FORMULA
5 Funzione di utilità Multiperiodale
Una unità di consumo ha un ciclo di vita, durante il quale cambiano sia i bisogni che i redditi
Quando i suoi componenti sono giovani hanno redditi più bassi ed esigenze di spesa crescenti, ad esempio per l’acquisto di una abitazione, è possibile quindi che i consumi siano bassi e si risparmi, e poi ci si indebiti.
Successivamente redditi e consumi crescono, ma si inizia a risparmiare per accumulare risorse per la fase in cui i redditi da lavoro si esauriranno.
Il reddito disponibile per i consumi in un particolare periodo di tempo può essere considerato prefissato solo se sono considerate già effettuate le scelte di allocazione dei patrimoni iniziali e dei redditi conseguiti in tutto il ciclo di vita della famiglia.
In caso contrario, occorre impostare il problema del consumo in un contesto multiperiodale.
L’economista italo-americano Franco Modigliani ha iniziato l’analisi di questo tema negli anni ’50
esempio a due periodi.
6 Esempio di funzione di utilità biperiodale.
o La funzione di utilità è la somma pesata di due funzioni, non uguali, relative ciascuna al consumo in un periodo.
la preferenza temporale ϱ (il consumatore sconta l’utilità futura, la considera cioè inferiore perché non immediata)
o Y(1) ed Y(2) sono i redditi esogeni del primo e del secondo periodo. La somma risparmiata nel primo periodo diventa disponibile nel secondo insieme ad interessi calcolati a tasso r.
o C(1) è la quantità dell’unico bene esistente che viene consumato nel periodo 1, C(2) quella consumata nel periodo 2
FORMULA
soggetto a
FORMULA
o La condizione di ottimalità diviene
FORMULA
essa ha la stessa struttura già vista per il problema base di massimizzazione dell’utilità ma:
• Invece di FORMULA compare il termine FORMULA :
se si consumano beni nel primo periodo è come se il loro prezzo fosse aumentato dell’interesse FORMULA a cui si rinuncia spendendo nel periodo 1 invece di risparmiare.
Invece di FORMULA compare il termine FORMULA :
se si consumano beni nel secondo periodo è come se il loro prezzo fosse aumentato perché una unità fisica del bene, nel secondo periodo è equivalente a FORMULA unità fisiche per l’effetto della preferenza temporale.