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TRASFORMATA DI FOURIER - Coggle Diagram

- - - - spiegazione fisica
- - - - considera sistema LTI con risposta impulsiva h(t)
        
        ingresso :
        
        uscita data dall'integrale di convoluzione
        
        nota! -> dividi l'esponenziale, e l'esponenziale che non dipende dal τ lo puoi spostare fuori dall'integrale
        
        ottieni cioè :
        
        l'integrale rappresenta un numero!
    - - il fasore in uscita y(t) coincide con x(t)a meno di un fattore di scala ρ = |H(f )| e una fase ϕ = ∠H(f )
    - - i fasori sono autofunzioni
        
        perché a parte il fattore complesso H(f), i fasori in ingresso si trovano con la stessa frequenza in uscita
        
        le uniche modifiche riguardano traslazioni e ampiezze
        
        ricorda! -> i fasori partono da infinito, ma su matlab partono da 0 (fasore finto)
      - risposta in frequenza di un sistema continuo
        
        è la funzione della frequenza :
        
        può essere determinata per ogni frequenza f
        
        metti in ingresso al sistema un fasore con frequenza f e misura l'amplificazione ed il ritardo in uscita
        
        come calcolo la risposta impulsiva?
        
        studia il sistema utilizzando un fasore in ingresso
        
        esempio-> hai legame I/O di un sistema continuo che introduce un ritardo T
        
        usando un fasore in ingresso si può calcolare la funzione di trasferimento
        
        1 more item...
        
        perchè ho y(t) = H(f) * x(t) solo se ho un fasore in ingresso
        
        nota!
        
        se la risposta impulsiva h(t) è reale, la risposta in frequenza è Hermitiana
        
        modulo = pari ; fase = dispari
        
        h(t) = h(t) -> H(f) = H(-f)
        
        se considero tot fasori e un sistema lineare, la combinazione lineare dell'ingresso è la stessa combinazione lineare dell'uscita
        
        sempre per la linearità -> è possibile calcolare l’uscita a qualunque segnale che si può scrivere come somma di fasori
        
        esempio
        
        coseno = funzione sinusoidale
        
        somma di due fasori = calcolo le risposte dei fasori e poi le sommo
        
        solo nei sistemi reali sono autofasori
        
        slide 10
        
        vedi foto
        
        l'espansione dipende dalla frequenza fondamentale
        
        nota!
        
        classe segnali periodici -> si scrivono tutti come sommatoria di fasori (infiniti)
        
        2 more items...
        
        risolvi l'integrale
        
        cioè H(f) = fattore moltiplicativo, che "varia" la frequenza del fasore in ingresso (che rimarrà lo stesso in uscita)
      - H(f) è la trasformata di Fourier tempo-continua (CTFT) della risposta impulsiva h(t)
        
        è un numero complesso della f
        
        per ogni suo valore ci sarà un fattore di ampiezza e di fase (traslazione) diversa
        
        ->risposta a frequenza del nostro sistema
- - - - in cui:
      - nota!
        
        con k=0, il coefficiente coincide con il valor medio del segnale
        
        se ˜x(t) è reale, l'espressione si riduce alla serie di Fourier reale
  - - - utilizzo di SEGNALI AD ALTA FREQUENZA = variano velocemente, questo permette la rappresentazione dei punti di discontinuità
        
        punti di discontinuità risultano essere più difficili da rappresentare, quindi se variano velocemente c'è la necessità di utilizzare coseni e seni ad alta frequenza
      - segnale :
        
        riscritto come
      - segnale
        
        es armonica = cose( 2 pigreco 4 / To t) con frequenza pari a 4 , moltiplicato per il proprio coefficiente
        
        trasformata "finale"
      - nota! per ogni segnale c'è un fattore moltiplicativo diverso
- - - - essendo la sommatoria infinita, si verifica la somma tramite l'utilizzo dell'integrale con indice di sommatoria pari a f
      - nota! -> posso ottenere qualsiasi segnale
      - nota!
        
        formula di analisi
        
        per ottenere i coefficienti per i quali noi moltiplichiamo ciascun fasore
        
        formula di sintesi
        
        per ottenere il segnale
      - le trasformate, sostanzialmente, sono i coefficienti
        
        es rappresentazione del dominio del tempo -> i coefficienti sono i delta
        
        foto
        
        salgo un insieme di funzioni base e ne calcolo i coeficcienti
    - - considera la funzione/ senale =
        
        che è larga delta
        
        approssimazione =
        
        sen nel domionio swl rwmpo atringo MIN 35
        
        se nel dominio del tempo stringo il dominio della frequenza allargo e viceversa ( PRINCIPIO DI IND- DI HEISEMBERG)
        
        funzione sinc ma valutata in delta
        
        se stringiamo una funziona diventa maggiormente variabile -> necessità di coseni a frequenza variabile ma veloci -> più importanti i coseni ad alta frequenza
        
        segnale di tipo basso a basso = la gran parte del contenuto è a bassa frequenza
        
        quasi sempre costante
      - l'integrale fuori da delta/2 è zero
        
        c'è la formula di eurelio del seno
        
        sincf = vedi foto
      - AGGIUSTA
  - - - nota! non è una funzione, ma è una distribuzione
      - ha campione in zero
      - dominio tempo sopra
      - dominio nella frequenza -> funzione larghissima
      - è 1 perché delta vale 1 solo in t=0, e quando t=0 l'esponenziale è pari a 1
    - - due metodi min 44/45
        
        utitizzo trasformata -> integrale nel tempo e c'è senza meno
        
        vedi foto
        
        utilizzo dell'antitrasformata
        
        integrale senza il meno in df -> faccio il contrario, parto da f per ottenere t
      - nel dominio del tempo è larghissimo
        
        nel dominio della frequenza dura in punto (sopra)
  - - - trasformata di fuorier dell'uscita -> trasformata di fuorie dell'ingresso * trasformata fourier della risposta impulsiva
        
        prodotto delle due trasformate
        
        y(t) = x(t) * h(t) -> Y(f) = X(f) H(f)
        
        conviene fare la trasformata quando la convoluzione risulta essere più complicata
        
        su mathlab .* -> trasformata
  - - - può scomparire non nascere ?
    - - formula per progettare un ingresso
        
        min 1: 02
    - - segnale passo basso = ha un valore da 1 fino a un certo punto, poi solo 0
        
        sistema passo basso = vengono eleminati le alte frequenze, ad esempio immagini sfocate o segnali senza rumore ( il rumore si muove velocemente)
        
        sistema passa-banda = passano le frequenze da fc a fc2
      - elimina banda = una banda di frequenza che viene eliminata