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SISTEMI - Coggle Diagram

- - - - combinazione ed interconnessione
        di un certo numero di parti elementari
    - - operatore che trasforma un
        segnale (ingresso) x(·) in un altro segnale y(·) (uscita)
        
        nota! -> la traslazione viene effettuata da tutti i segnali, perché la trasformazione comporta un ritardo
      - y(·) = T[x(·)].
    - - esempio
        
        ritardo elementare = sistema che prende un segnale in ingresso e in uscita ci dà la versione traslata
        
        continuo
        
        è possibile un ritardo di qualunque entità
        
        y(t) = x(t − T)
        
        discreto
        
        y(n) = x(n − 1)
        
        filtro a media mobile = effettua la somma pesata di alcuni
        campioni dell’ingresso (es tra ingresso in un istante e l'ingresso all'istante precedente)
        
        il più semplice si può scrivere come
        y(n) = b0x(n) + b1x(n − 1).
  - - - parallelo
      - controreazione (feedback)
        
        il sistema 2 "controlla" il sistema 1
      - serie / cascata
      - possibilità di creare sistemi più complessi
    - - sistema a media mobile (MA) y(n) = b0x(n)+b1x(n−1)
        
        parallelo di un moltiplicatore per una costante e della cascata di un ritardo elementare con un altro moltiplicatore
- - - - in caso contrario il sistema è tempo-variante (TV)
      - si comporta sempre allo stesso modo-> non cambia nel tempo
        
        "se metto un ingresso oggi, domani l'uscita sarà sempre la stessa"
        
        l'uscita corrispondente ad oggi sarà oggi, e l'uscita corrispondente a domani sarà domani
        
        non sono esattamente la stessa uscita, ma se ritardo di un giorno l'ingresso anche l'uscita sarà ritardata allo stesso modod
    - - tempo invariante = y(t) = T [x(t)] = sin[x(t)].
      - tempo variante = y(n) = T [x(n)] = nx(n).
    - - y (t) = T [x(t)] ⇒ y(t − T) = T [x(t − T)]
        
        ingresso traslato di T -> l'uscita sarà traslata di T
      - y (n) = T [x(n)] ⇒ y(n − N) = T [x(n − N)]
  - - - T [αx1(·)+βx2(·)] = αT [x1(·)]+βT [x2(·)] = αy1(·)+βy2(·)
      - esempio
        
        y(n) = b0x(n) + b1x(n − 1)
        
        verifica la linearità!!!
        
        y(t) = b1x(t) + b0
        
        non verifica la linearità!!!
        
        T [αx1(t) + βx2(t)] = b1 [αx1(t) + βx2(t)] + b0 ̸è diversa da
        αy1(t) + βy2(t) = α[b1x1(t) + b0] + β [b1x2(t) + b0]
        
        .
        
        perché?
        
        la risposta libera = uscita con ingresso nullo= non è nulla
        
        nota! -> La parte dell’uscita che dipende dal segnale di ingresso si chiama risposta forzata
        
        perchè la combinazione delle uscite non è pari alla combinazione degli ingressi
      - verifica che ci siano gli stessi coefficienti
      - la sovrapposizione degli ingressi mi dà la stessa sovrapposizione delle uscite
        
        scomposizione degli segnali in segnali più semplici, calcolarne l'uscita singola e poi unirle
    - - considerata un'infinità numerabile di ingressi e le corrispondenti uscite, si ha che la risposta ad una somma pesata degli ingressi xi(t) è pari alla somma pesata, con gli stessi coefficienti, delle corrispondenti uscite
      - nota!
        
        numero finito di segnali ->conseguenza diretta della linearità
        
        supposizione che valga anche considerando una combinazione tra infiniti segnali -> problema matematico
        
        principio di sovrapposizione -> necessità di supporre che sia possibile invertire l'operatore di sistema T con la sommatoria infinita
        
        nota! i sistemi hanno una saturazione -> se i segnali sono troppo grandi la loro corrispondente combinazione non è lineare
      - possibilità di semplificare il calcolo dei segnali tempo invarianti!!
  - - - durata della risposta
        
        nota! -> uscita più grande dell'ingresso = problema, non è detto che dallo schermo abbia la possibilità di vedere "la parte in più"
      - associatività
        
        sistema con risposta complicata-> si può dividere la risposta in risposte più semplici
        
        a [x(·) ∗ h1(·)] ∗ h2(·) = x(·) ∗ [h1(·) ∗ h2(·)]
      - commutatività
        
        posso scambiare l'ordine di due sistemi! -> fisso il segnale più complicato!
        
        x(.) h(.) = h(.) x(.) -> l'uscita è sempre la stessa!
      - distributività
        
        la convoluzione è lineare!
        
        x(·) ∗ [h1(·) + h2(·)] = [x(·) ∗ h1(·)] + [x(·) ∗ h2(·)]
      - esistenza dell'elemento unitario= DELTA δ
        
        traslazione = uscita è la traslazione dell'ingresso
        
        traslazione = utilizzo di una risposta δ n-N con N=0 -> come entra così esce -> sistema identico!
      - traslazione
        
        traslazione = uscita è la traslazione dell'ingresso
        
        convoluzione di un segnale x(·) per una funzione impulsiva
        traslata fornisce la traslazione di x(·)
- - - - -> posso scrivere qualunque uscita conoscendo anche solamente la risposta ottenuta considerando la δ centrata in 0 (perché il sistema è tempo invariante) -> risposta canonica
        
        ad una traslazione dell’ingresso deve corrispondere la stessa traslazione dell’uscita
        
        δ(n) → h(n) ⇒ δ(n − k) → h (n − k)
    - - applica il risultato alla scomposizione di un generico ingresso x(n)
        mediante la proprietà di riproducibilità delle δ
        
        Si può scrivere così la risposta y(n) come somma di convoluzione delle risposte ai segnali δ(n − k), pesate dai coefficienti x(k)
        
        y(n) = x(n) * h (n)
    - - es. considero δ(n) e lo moltiplico per il valore di x(n)
        
        h(n) è per definizione la risposta (ad un'impulso) alla δ considerata
        
        lo faccio per k valori, fino ad ottenere con la somma pesata
      - ogni segnale si può scrivere come somma di segnali impulsivi molto semplici, che hanno valore in un solo punto
        
        da cui ottengo
        
        se si fissa il valore di n, la formula precedente può essere utilizzata per calcolare l’uscita istante per istante, moltiplicando le funzioni x(k) e h(n − k) (cioè h(k) ribaltata e traslata di n) e sommando su m.
  - - - poi fai combinazione lineare di tutte le possibile uscite -> funziona con delle approssimazioni
      - fai per blocchi per punti
    - - proviamo con l'approssimazione
- - - - filtro MA
        
        casuale
        
        y(n) = b0x(n) + b1x(n − 1)
        
        non casuale
        
        y(n) = b0x(n) + b1x(n + 1)
    - - se ha una risposta hdn che è nulla per gli istanti minore di zero -> uscita dipende da istanti futuri
      - ///
    - - l’uscita all’istante t dipende solo dai valori del segnale di ingresso negli istanti che precedono t (o al più da quello corrente); ma mai dipende dagli istanti dopo la t
    - - spesso è opportuno considerare sistemi non casuali
      - dipende dalla variabile indipendente
        
        è temporale
        
        sistemi non casuali la cui uscita dipende da valori futuri dell’ingresso in un intervallo temporale finito sono fisicamente realizzabili aggiungendo un ritardo in cascata
        
        non possono essere in real time
        
        è spaziale
        
        la non causalità non comporta
        la fisica irrealizzabilità
    - - sistemi continui
        
        h(t) = 0, ∀t < 0
      - sistemi discreti
        
        h(n) = 0, ∀n < 0
  - - - sistemi continui
        
        h(t) = aδ(t), a ∈ R
      - sistemi discreti
        
        h(n) = aδ(n), a ∈ R
  - - - non diverge ne positivamente ne negativamente -> limitato in modulo = limitato superiormente e inferiormente
    - - un sistema LTI `e stabile se h(n) è assolutamente sommabile
        
        sistemi discreti
        
        sistemi continui