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VARIABILI ALEATORIE - Coggle Diagram
VARIABILI ALEATORIE
che cos'é'?
funzione definita sullo spazio S che ad ogni evento
elementare fa corrispondere un numero reale
X : s ∈ S → X(s) ∈ R.
utilizzata per permettere un'associazione del risultato dell'esperimento ad un numero reale
esempio
dado con facce colorate
associo ad un colore della faccia del dado un determinato valore
dado con facce f1, f2, ecc
noi associamo i numeri alle facce
possiamo associarli anche a numeri differenti, ma bisogna mantenere un ordine tra le possibili scelte!
es, a f1 corrisponde 10, f2 corrisponde 20 ecc
nota!
scelta possibile di associazione
dipende dall'esperimento ( e spazio campione)
associazione del numero reale a un valore pari allo stesso numero =
funzione d'identità
(non sempre possibile)
associazione di un numero a più eventi
non è
biunivoca
come assegno la probabilità in uno spazio ( sottoinsieme) di R ad una variabile aleatoria?
trasporto la probabilità nello spazio campione sull'asse reale -> associazione dei punti
Definita una v.a. posso associare ad un sottoinsieme A dei numeri reali il sottoinsieme di S (= l’evento) i cui elementi vengono mappati in A
nota! è importante verificare e controllare la presenza dell'uguale
esempio
Lo spazio campione S = {f1, f2, f3, f4, f5, f6} e considero la v.a.
X : fi ∈ S → X(fi) = i, i = 1, . . . , 6.
le assegnazioni variano a seconda della condizione che prestabilisco
PROBABILITA' CHE UNA V.A. ASSUMA VALORE IN UN INSIEME
sfrutto il calcolo della
controimmagine
per associare la probabilità ai sottoinsieme di R
Probabilità che la v.a. X assuma valore in T ⊆ R
è definita come la probabilità dell'evento A=X ^ -1(T)= {s ∈ S|X(s) ∈ T}
P({X ∈ T}) = P({s ∈ S|X(s) ∈ T}).
tipologie
DISCRETA
può assumere un numero finito o un’infinità
numerabile di valori
esempio
dipende anche dai valori che associ
X : t ∈ S = [0, ∞) → X(t)
=
0 se 0 ≤ t ≤ t*
1, t > t*
definita sullo spazio campione S = [0, ∞) e con t* valore fissato, assume valori in {0, 1}, per cui è una v.a. discreta
nota! tutte le probabilità corrispondenti a un valore possono essere sommate
X : fi ∈ S → X(fi) = 10i, i = 1, . . . , 6,
definita sullo spazio campione S = {f1, f2, f3, f4, f5, f6}, assume valori nell’insieme {10, 20,, 30, 40, 50, 60}, per cui è
una v.a. discreta.
CONTINUA
può assumere una infinità non numerabile di
valori
esempio
cronometro -> valori assunti sono continui
X : t ∈ S = [0, ∞) → X(t) = t ∈ [0, ∞),
definita sullo spazio campione S = [0, ∞), assume valori in [0, ∞) per cui è una v.a. continua.
definizione
funzione di DISTRIBUZIONE (cumulativa)
assume valori minore o uguale di un certo x piccolo (=certo valore sull'asse reale)
valore in cui la Funzione assume valore 1/2 =
valore mediano
-> la probabilità di assumere un valore più piccolo del valore mediano è 1/2
esempio
ricorda!
-> osserva sempre il contesto! (tipo dadi ben bilanciato)
parentesi tonde = valore escluso ; parentesi quadre= valore incluso
concetti
sempre definibile!
è continua a dx
è monotona non decrescente!
è discontinua a sx
// appunti sul quad
salto = probabilità di assumere quel determinato valore in cui avviene il salto = quando assumo quel valore mi salta la probabilità
proprietà
P({x1 < X ≤ x2}) = FX (x2) − FX (x1)
se la funzione risulta essere totalmente
continua
della v.a. X la funzione
FX (x) = P({X ≤ x}), con −∞ < x < ∞
è importante l'associazione con i numeri -> dà un senso alla probabilità
funzione MASSA DI PROBABILITA'
di una v.a discreta X, cioè a valori in un insieme L finito o numerabile la funzione
rappresenta l'istrogramma discreto ???
ognuno di quei valori che massa ha?
modo diverso di associare la probabilità in modo completo
collegamento diretto con la CDF = se conosco una posso conoscere l'altra
solo con variabili discrete
slide 19
definizione di una densità = perché volgiamo calcolare il peso ad ogni intervallo di R, ed associare una probabilità ad ogni insieme di R
