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Solución de Sistemas de Ecuaciones con Matrices - Coggle Diagram
Solución de Sistemas de Ecuaciones con Matrices
Representación General
Forma matricial Ax = b
Métodos de solución
Método de Gauss (Eliminación)
Aplica operaciones por filas.
Convierte la matriz aumentada en forma escalonada.
Permite resolver sistemas grandes.
Se usa con sustitución regresiva.
Método de la Matriz Inversa
Si det (A) ≠ 0, se calcula a A⁻¹
Solución: X = A⁻¹·B
Exacto y directo
Desventaja: requiere más cálculos cuando A es grande
Método de Gauss-Jordan
Variante del método de Gauss.
Se obtiene la matriz identidad en los coeficientes.
Da la solución directamente.
Ideal para sistemas medianos.
Regla de Cramer (Determinantes)
Solo aplica para matrices cuadradas (n×n).
Cada variable se obtiene xi=det(A)det(Ai)
Preciso y fácil en 2×2 o 3×3
Poco práctico en sistemas grandes
Elementos Clave del Álgebra Matricial
Tipos de matrices: cuadrada, diagonal, identidad, nula.
Operaciones básicas: suma, resta, multiplicación, transposición.
Determinante: indica si una matriz es invertible.
Matriz inversa: existe solo si det (A) ≠ 0
Propiedades: asociatividad, distributividad, no conmutatividad.
Métodos para Calcular un Determinante
Sarrus → solo 3×3.
Expansión por cofactores.
Método de Gauss (triangularización).
Análisis de Aplicación
Sistemas grandes (4×4 o más): usar Gauss o Gauss-Jordan.
Sistemas pequeños (2×2): usar Cramer por rapidez.
Verificación: comprobar que det (A) ≠ 0 antes de resolver