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PROBABILITA' ASSIOMATICA - Coggle Diagram

- - - - descrivere adeguatamente i fenomeni o prevederne possibili osservazioni
  - - - deve corrispondere con la frequenza in cui le possibili uscite degli esperimenti sono ben riuscite -> probabilità assiomatica
      - che fiducia affidiamo ad una probabilità di un evento? esempio= lancio moneta -> è onesta?
    - - = sottoinsieme delle possibili uscite -> probabilità associata ai sottoinsieme
  - - - assiomatica= utilizzo di un modello funzionante
      - soggettiva = definizione a caso
- - - - probabilità frequentista = utilizzo di molte prove conseguite con le stesse condizioni! -> non falsificare il risultato
      - probabilità assiomatica = se il dato è ben bilanciato si può assegnare una probabilità pari a 1/6
- - - - nota! -> caso di casi possibili = infinito -> è un problema
    - - ricorda! = il dato deve essere ben bilanciato
      - somma risultato di due lanci= 10/11
        
        possibili uscite sono coppie
        
        5/36
      - uscita numero pari
        
        possibili uscite {1,2,3,4,5,6}
        
        3/6=1/2
    - - DISPOSIZIONI = ordinate
        
        SENZA RIPETIZIONE
        
        di n elementi su k posti
        
        da n(n-1)...(n-k+1) tutto fratto (n-k)!
        
        quante disposizioni di n elementi su k posizioni posso fare?
        
        nota!
        
        n elementi su n posti
        
        PERMUTAZIONE
        
        non riempo le "caselle" ma compio scambi7permutazioni sulle posizioni
        
        CON RIPETIZIONE
        
        di n elementi su k posti
      - COMBINAZIONI= non ordinate
        
        SENZA RIPETIZIONE
        
        di n elementi su k posti
        
        disposizioni/ permutazioni
      - metodi veloci per valutare il numero di casi possibili e il numero di casi favorevoli
        
        calcolo combinatorio!!!
- - - - di un insieme A un insieme i cui
        elementi sono anche elementi di A
      - B ⊆ A (B è contenuto in A)
        
        B ̸= A -> B è un sottoinsieme proprio di
        A e si indica con B ⊂ A -> B è strettamente contenuto in A
    - - insieme che non contiene altri elementi.
    - - e l’insieme che include tutti gli elementi di interesse
      - devi sapere il contesto in cui viene definito l'insieme -> es. numeri naturali -> insieme con numeri naturali
    - - insieme di tutti i sottoinsiemi
      - P(A) o 2^A
        
        perché |A|= n -> |P(A)| = 2^n
    - - non hanno elementi in comune -> A ∩ B = ∅.
    - - insiemi {Ai}i=1,...n costituiscono una partizione dell'insieme C se sono disgiunti e esaustivi
        
        Ai ∩ Aj = ∅ ->
    - - o complemento di A rispetto B :
      - è l'insieme differenza B-A
      - Quando l’insieme B non è precisato, si sottintende che esso sia
        l’insieme ambiente S
        
        A^c = S − A
        
        (con stecca sopra) A = S − A
  - - - A ∪ B oppure A + B
      - insieme degli elementi che appartengono ad A oppure a B
      - proprietà
        
        commutativa -> A ∪ B = B ∪ A
        
        associativa -> A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
        
        idempotente -> A ∪ A = A
    - - A ∩ B oppure AB
      - insieme degli elementi che appartengono sia ad A che a B
      - proprietà
        
        commutativa -> A ∩ B = B ∩ A
        
        associativa -> A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
        
        idempotente -> A ∩ A = A
        
        distributiva -> A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
    - - A − B
      - ’insieme degli elementi che appartengono ad A e non a B
      - non è commutativa
- - - - sull’assegnazione di una misura di credibilità
        a tutti gli eventi, cioè ai sottoinsiemi dello spazio campione
        
        deve verificare 3 assiomi!!!
        
        2) P(S) = 1;
        
        normalizzazione = l'evento certo si verifica il 100% delle volte
        
        3) se A ∩ B = ∅ , allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
        
        deve valere anche nel caso di un'infinità numerabile di insiemi mutualmente esclusi = misura addittiva
        
        se A e B sono disgiunti (eventi incompatibili9 la probabilità dell'unione è data dalla somma della P(A) e P(B)
        
        nota!
        
        non è detto che A sia più pesante di B, potrebbe essere il contrario
        
        es. A 0 paglia e B = ferro
        
        gli elementi elementari sono sempre disgiunti tra di loro
        
        1) P(A) ≥ 0;
        
        la probabilità dell'evento A è sempre positiva
        
        MISURA DI PROBABILITA' = assegnato uno spazio campione S, definiamo come probabilità una funzione P(E), definita sugli eventi E ⊆ S e a valori in [0, 1],
        
        A ⊆ S e B ⊆ S sono due eventi
        
        posso ricavare un risultato importante
        
        P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
        
        dimostrazione
        
        3) essendo che (A ∩ B) ∩ (A ∩ B) = ∅, otteniamo che P(B) = P(A∩B)+P(A∩B) ⇔ P(A∩B) = P(B)−P(A∩B)
        
        4) sostituendo l'ultima relazione, otteniamo che P(A∪B) = P(A)+P(A∩B) = P(A)+P(B)−P(A∩B).
        
        2) essendo che A ∪ Acomplementare = S otteniamo che B = S ∩ B = (A ∪ A) ∩ B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)
        
        il risultato può essere visto come una misura addittiva -> se sommiamo le probabilit`a relative all’insieme A e all’insieme B
        abbiamo la probabilità dell’unione, più quella dell’intersezione.
        
        1) essendo che A ∪ B = A ∪ (A ∩ B) e A ∩ (A ∩ B) = ∅ otteniamo che P(A ∪ B) = P(A) + P(A ∩ B);
  - - - processo di cui non sia prevedibile con certezza il risultato
      - esecuzione = PROVA (TRIAL)
      - è ben definito se i possibili datti sono esattamente precisabili
    - - ’insieme costituito da tutti i possibili risultati di un esperimento
      - EVENTI ELEMENTARI= elementi dello spazio campione (compreso ∅ ed S )
        
        evento E si verifica o occorre se il risultato di un esperimento appartiene ad E
        
        Due eventi A e B sono incompatibili se non hanno elementi in comune -> A ∩ B = ∅
        
        Unioni ed intersezioni di eventi sono eventi
        
        nota! -> l’insieme ∅ `e detto evento impossibile
      - definito come EVENTO CERTO
      - DI CARDINALITA' FINITA
        
        Se lo spazio campione è costituito da un numero finito di elementi E1, E2 . . . , EN ,
        assegnando la probabilità agli eventi elementari
        sono assegnate le probabilità di tutti gli eventi.
        
        perchè?
        
        Infatti ogni evento A `e l’unione di un certo numero di eventi elementari che sono
        tutti disgiunti, per cui A= { Ek1, Ek2,...,Ekr} = Ek1 ∪ Ek2 ... ∪ Ekr
        
        e quindi P(A)= P ({Ek1,Ek2,...,Ekr}) = P(Ek1)+ P(Ek2) + ... + P(Ekr)
  - - - la probabilità che si verifichi A sapendo che
        si è verificato B e vale
        
        con P(B) > 0
        
        esempio :
      - se A e B sono incompatibili (A ∩ B = ∅) -> se in un esperimento si
        verifica B, non può verificarsi A.
        
        P(A ∩ B) = P(∅) = 0 -> P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) =0
        
        esempio:
      - casi particolari
        
        A ⊂ B
        
        A è sottoinsieme di B
        
        se consideriamo l'intersezione -> A ∩ B = A
        
        la probabilità di A dato B sarà maggiore ( o uguale) della probabilità di A
        
        si è ristretto lo spazio campione, perché si è verificato B
        
        B ⊂ A
        
        B è sottoinsieme di A
        
        se consideriamo la loro intersezione ->A ∩ B = B
        
        cioè la Probabilità di A dato B è pari a 1
        
        tutte le volte che si verifica B si verifica anche A
      - nota!
        
        non è detto che con un minore numero di casi possibili si ha una probabilità maggiore
        
        l'incompatibilità di due sistemi influisce molto sulla probabilità
  - - - Se {Ai}i=1,...n è una partizione dello spazio campione S, cioè una classe di insiemi mutualmente disgiunti ed esaustivi
        
        si può calcolare la probabilità di un generico evento B come
        
        P(B) = P(B|A1)P(A1) + · · · + P(B|An)P(An).
    - - Se {Ai}i=1,...n è una partizione dello spazio campione S, cioè una classe di insiemi mutualmente disgiunti ed esaustivi
        
        si può calcolare la probabilità di di un evento Ai condizionata
        a B con la seguente formula
        
        dalla definizione di ottiene che
      - nota!
        
        utilizzo comune della terminologia
        
        P(B|Ai)= verosimiglianza di B (dopo aver osservato Ai)
        
        P(Ai|B) = probabilità a posteriori di Ai (dopo aver osservato B);
        
        P(Ai)= probabilità a priori di Ai (senza nessuna osservazione)
        
        è un risultato fondamentale nelle applicazioni.
  - - - allora P(A ∩ B ) = P(A)P(B)
        
        A è indipendente da B perché la sua probabilità non è condizionata da B
      - P(A|B) = P(A) ⇔ P(A ∩ B) = P(A)P(B) ⇔ P(B|A) = P(B)
    - - il concetto di indipendenza non dipende solo dagli eventi ma anche dalle probabilità assegnate
    - - se A è indipendente da B, anche B sarà indipendente da A
        
        P(B|A) = P(B ∩ A) / P(A)= P(A ∩ B)/ P(A) =P(A)P(B)/ P(A) = P(B)
      - P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) = P(A) ⇔ P(A ∩ B) = P(A)P(B).
    - - gli eventi incompatibili sono diversi dagli eventi indipendenti
        
        Due eventi A e B sono incompatibili se A ∩ B = ∅ -> P(A ∩ B) = P(∅) = 0
        
        però se uno dei due non è a probabilità nulla allora P(A)P(B) > 0, ->di conseguenza, due eventi incompatibili a probabilità diversa da zero non sono indipendenti
        
        condizione necessaria
        
        due
        eventi sono indipendenti se non sono incompatibili.
        
        due eventi incompatibili sono dipendenti tra loro = cambia la probabilità dell'evento condizionato