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平面向量 - Coggle Diagram

- - - - 三角形的重心坐標公式
- - - - 幾何意義
        
        \( \dfrac{\triangle OAP}{\triangle OAB}=|y|, \dfrac{\triangle OBP}{\triangle OAB}=|x| \)
  - - - 坐標平面上，已知 \( A,B,C \) 三點坐標，求 \( \triangle ABC \) 面積
- - - - 內積的坐標表示
        \( (a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2)=a_1b_1+a_2b_2 \)
    - - \(\vec{a}\) 在 \(\vec{b} \) 上的正射影為
        \( \vec{c}=\left(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b} \)
        且\( \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{c}\cdot\vec{b} \)
      - 圖形坐標化求夾角
        
        平面直線的法向量與夾角
        \( L:ax+by=c\) 的法向量為 \(\vec{n}=(a,b) \)
      - 若\( \theta \) 是 \(\vec{a},\vec{b}\) 的夾角
        \(\vec{a}\cdot\vec{b}>0\Leftrightarrow \theta<90^\circ \)
        \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\Leftrightarrow \theta=90^\circ \)
        \(\vec{a}\cdot\vec{b}<0\Leftrightarrow \theta>90^\circ \)
      - 柯西不等式
        \( |\vec{a}\cdot\vec{b}|\leq |\vec{a}||\vec{b}| \)
        等號成立時\(\vec{a}//\vec{b} \)
        
        代數化
        
        \( (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\geq (a_1b_1+a_2b_2)^2 \)
        等號成立時 \( \dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2} \)
- - - - 線性組合: 若\(\vec{OA}\nparallel \vec{OB}\)
        \(\vec{OP}=x\vec{OA}+y\vec{OB}\) 是唯一表示
        
        向量分點公式
        \( P\in \overline{AB},\overline{AP}:\overline{PB}=m:n \)
        \(\vec{OP}=\frac{n}{m+n}\vec{OA}+\frac{m}{m+n}\vec{OB} \)
        
        向量的共線定理
        若 \( \vec{OP}=x\vec{OA}+y\vec{OB} \)，則
        \( A,P,B \) 共線 \( \Leftrightarrow x+y=1 \)
        
        以\(\vec{OA},\vec{OB} \) 為基底的向量空間中，
        \( \vec{OP} \) 的坐標為\( (x,y) \)
        
        \( \vec{OP}=x\vec{OA}+y\vec{OB} \)
        \(x=1,y\in\mathbb{R}\Rightarrow P\)構成一直線
        \(x=1,0\leq y\leq 1\Rightarrow P\)構成一線段
        \(0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1\Rightarrow P \)構成平行四邊形
        
        斜坐標系解線性組合問題
      - \(\vec{OA}//\vec{OB} \Leftrightarrow \vec{OA}=k\vec{OB} \)
        
        三點共線問題
      - 沿著\( \vec{v} \) 的方向移動距離 \( d \)
        的位移為 \( \dfrac{d}{|\vec{v}|}\vec{v} \)