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Séries de Fourier - Coggle Diagram

- - - - Para modelar a distribuição de temperatura u(x,t) numa barra unidimensional, a solução pode ser expressa como uma série de Fourier em relação a variável espacial x
    - - De forma análoga, a análise de Fourier é usada para resolver a equação que governa a vibração de uma corda de violão ou a superfície de um tambor
  - - - A aplicação mais fundamental é a análise espectral: usar a FFT para converter um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência, revelando o seu conteúdo espectral
    - - A análise de Fourier é a espinha dorsal dos algoritmos de compressão que revolucionaram os media digitais, como o JPEG para imagens e o MP3 para áudio.
        
        JPEG (imagem)
        
        O algoritmo divide a imagem em blocos (tipicamente 8x8 pixels). A cada bloco é aplicada uma variante da análise de Fourier, a Transformada Discreta de Cosseno (DCT)
        
        MP3 (Áudio)
        
        Um processo semelhante ocorre com o áudio. O sinal é dividido em pequenos segmentos de tempo, e uma transformada (tipicamente a Transformada Discreta de Cosseno Modificada - MDCT) é aplicada para obter o espectro de frequência
  - - - A análise de Fourier de uma gravação do som do instrumento revela o espectro harmónico, que funciona como a sua "impressão digital" sónica.
    - - A análise de Fourier pode ser usada de forma inversa para criar sons.
  - - - Na mecânica quântica, uma partícula como um elétron não tem uma posição e um momento (quantidade de movimento bem definidos simultaneamente
        
        Em vez disso, é descrita por uma função de onda ψ(x), cuja magnitude ao quadrado, |ψ(x)|², dá a probabilidade de encontrar a partícula na posição x.
        
        Existe uma função de onda correspondente no espaço do momento, Φ(p), que descreve a distribuição de probabilidade do seu momento
        
        A relação entre estas duas funções é extraordinária: elas são um par de Transformadas de Fourier uma da outra.
- - - - Onde $$ C_n$$
        
        Coeficientes complexos da série analisada
  - - - Se f(t) for uma função impar
        
        Para todo n ≥ 1
        
        $$ a_0 = 0 $$ $$ a_n = 0 $$
        
        Para n ≥ 1
        
        $$b_n = \frac{1}{L} \int_0^L {f(t) sen\left( \frac{n \pi t}{L} \right) dt}$$
      - Se f(t) for uma função par
        
        Para todo n ≥ 1
        
        $$ b_n = 0 $$
        
        Para n ≥ 0
        
        $$ a_n = \frac{1}{L} \int _0^L {f(t) cos \left( \frac{n \pi t}{L} \right) dt}$$
- - - - Fourier procurava modelar matematicamente como a temperatura evolui ao longo do tempo e do espaço num objeto, como uma placa de metal.
- - - - $$ \frac{a_0}{2} $$
        
        O valor médio da função ao longo de um período
      - $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n cos \left( \frac{n \pi t}{L} \right) $$
        
        Os coeficientes dos cossenos. A parte par da função periódica
      - $$ \sum_{n=1}^{\infty}b_n sen \left( \frac{n \pi t}{L} \right) $$
        
        Os coeficientes dos senos.
        A parte impar da função periódica
      - $$ f(x) $$
        
        Função periódica original
      - $$ L $$
        
        Representa a metade do período da função f(t)
    - - $$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} {\left[ a_n cos (nt)+ b_n sen (nt) \right]} $$