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Tema 28. Estudio global de funciones - Coggle Diagram
Tema 28. Estudio global de funciones
Introducción
En este tema se hablará de las propiedades de las funciones: continuidad, acotación, derivabilidad, monotonía, curvatura... Primero repasaremos algún concepto importante de las funciones para después pasar al estudio global de estas y terminar con la representación gráfica de algunas de ellas.
Continuidad, acotación y derivabilidad
Continuidad:
Continua en un punto.
Discontinua evitable en un punto.
Discontinua de salto finito en un punto.
Discontinua de salto infinito en un punto.
Teoremas de continuidad:
Teorema de Bolzano.
Teorema del valor intermedio.
Acotación:
Función acotada superiormente.
Función acotada inferiormente.
Máximo absoluto.
Mínimo absoluto.
Máximo relativo.
Mínimo relativo.
Derivabilidad:
Una función continua y derivable en un intervalo (a, b) con un punto c perteneciente al intervalo y extremo, f'(c) = 0.
Estudio global de funciones
Dominio:
Dominio de f+g.
Dominio de f·g.
Dominio de f/g.
Dominio de f(g).
Puntos de corte con los ejes.
Simetrías.
Periodicidad.
Asíntotas:
Horizontales.
Verticales.
Oblicuas.
Crecimiento y decrecimiento. Extremos
Puntos a analizar:
Puntos críticos.
Extremos del intervalo estudiado.
Puntos del dominio donde la función no es derivable.
Teorema de Rolle:
Si f es continua y derivable en un intervalo (a, b) y f(a) = f(b), existe un punto c perteneciente al intervalo en donde f'(c) = 0. O bien f es constante en todo el intervalo o bien hay un máximo o mínimo en c.
Teorema del valor medio:
Si f es continua y derivable en un intervalo (a, b), existe algún punto c perteneciente al intervalo cuya derivada sea f'(c) = (f(b) - f(a))/(b-a).
Crecimiento y decrecimiento:
f se dice creciente en [a, b] si para todo par de puntos x1 y x2 con x1 menor que x2, f(x1) es menor que f(x2).
f se dice decreciente en el caso contrario.
Teorema: Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b):
Si su derivada es mayor que 0 en todo el intervalo, f es estrictamente creciente.
Si su derivada es 0 en todo el intervalo, f es constante.
Si su derivada es menor que 0 en todo el intervalo, f es estrictamente decreciente.
Teorema: Si todas las derivadas de f se anulan hasta la enésima, que es distinta de 0:
Si n es par y la derivada enésima es mayor que 0, el punto es un mínimo local de f.
Si n es par y la derivada enésima es menor que 0, el punto es un máximo local de f.
Si n es impar, no es ni un máximo ni un mínimo.
Curvatura
Curvatura:
Convexa cuando la curva entre dos puntos pasa por debajo del segmento que une esos dos puntos.
Cóncava en el caso contrario.
Proposición: Si f es convexa y a pertenece al dominio de f:
Si f es derivable en x = a, f queda por encima de la tangente en (a, f(a)), excepto en el propio punto.
Si a < b y f es derivable en a y en b, f'(a) < f'(b).
Lema: Si f es derivable en (a, b), f' es creciente (f es convexa) en el intervalo y f(a) = f(b), cualquier f(x) dentro del intervalo es menor que f(a) o f(b).
Por lo tanto, si f es derivable y f' es creciente, f es convexa.
Puntos de inflexión.
Punto de inflexión:
Es x = a un punto de inflexión si la tangente en (a, f(a)) cruza la gráfica.
Teorema: Si f es derivable en a y todas las derivadas son 0 excepto la enésima, que es continua y distinta de 0:
Si n es par y la derivada enésima es mayor que 0, f es convexa.
Si n es par y la derivada enésima es menor que 0, f es cóncava.
Si n es impar, es un punto de inflexión.
Representación gráfica
Bibliografía