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Oltre il razionale:
l’irrazionale e la nascita dei numeri reali
Geometria
Dopo aver disegnato un triangolo rettangolo isoscele di cateto unitario con Geogebra usiamo il teorema di Pitagora per calcolare la lunghezza della sua ipotenusa
Il valore ottenuto calcolando la radice di due con la calcolatrice risulta essere un numero decimale infinito e non periodico pertanto non può essere scritto sotto forma di frazione
Storia della Scoperta
I Pitagorici
I Pitagorici, guidati da Pitagora, credevano fermamente che l'universo fosse governato da leggi numeriche precise e che ogni grandezza potesse essere espressa come rapporto di numeri interi. Questa visione si fondava sull'idea che l'armonia del cosmo fosse riflessa nelle proporzioni numeriche.
Pitagora
Ippaso da Metaponto
Durante un esperimento geometrico, probabilmente legato alla diagonale di un quadrato con lato unitario, Ippaso si rese conto che il rapporto tra la diagonale e il lato non poteva essere espresso come frazione di numeri interi. Questa scoperta dimostrava l'esistenza di numeri che sfuggivano alla concezione pitagorica del mondo interamente razionale.
In seguito molti studiosi si occuparono di cercare di approssimare la radice di due, il metodo più efficace ci fu fornito da Newton
Analisi
Dimostrazione dell'Irrazionalità della radice di due
Tipologia di Dimostrazione : Per Assurdo, supponiamo che sia razionale e lo scriviamo sotto forma di frazione come rapporto di due interi a e b coprimi tra loro
Passaggi salienti:
1) elevando a quadrato entrambi i membri dell'equazione scopriamo che il quadrato di a è un numero pari
2) usiamo il lemma che ci dice che se il quadrato di un numero è pari lo sarà anche il numero stesso
3) se a e b sono entrambi pari allora non possono essere coprimi, ASSURDO!!
Video - Spiegazione: Dimostrazione dell'irrazionalità della radice di 2
Video - Spiegazione Breve: Pitagora e Ippaso da Metaponto
L'insieme dei numeri reali R
L'unione dell'insieme dei numeri razionali Q e dell'insieme dei numeri irrazionali I da luogo all'insieme dei numeri reali R
I numeri reali possono essere rappresentati su una retta in modo continuo cioè "senza buchi"
Video - Spiegazione Approfondimento: Pitagora e Ippaso da Metaponto
Un numero è irrazionale se non può essere scritto come rapporto di due numeri interi ovvero è un numero decimale non periodico infinito
I numeri reali e la fisica
I numeri reali ci permettono di rappresentare il mondo che ci circonda "senza interruzioni". Abbiamo inconsapevolmente usato gli irrazionali in fisica! Vediamo dove:
Moto circolare uniforme
Il pi greco è un numero irrazionale quindi ogni volta che lo abbiamo usato per calcolare qualche grandezza abbiamo ottenuto un risultato ancora irrazionale. Questo vale ovviamente sia in geometria che in fisica.
Altre formule invece richiedono l'impiego della radice e dunque possono portarci ad un valore irrazionale
Moto rettilineo uniformemente accelerato
La legge oraria del moto rettilineo è un'equazione di secondo grado, la ricerca degli zeri di questa equazione coinvolge l'uso delle radici quadrate, pertanto è possibile imbattersi in numeri irrazionali.
Un esempio è il calcolo del tempo nel caso particolare del moto di caduta libera
Vettori e Trigonometria
Abbiamo usato il teorema di Pitagora e quindi la radice quadrata per calcolare il modulo di un vettore conoscendone le componenti oppure per calcolare il modulo della somma di due vettori con direzioni perpendicolari!
Anche quando usiamo le funzioni seno e coseno possiamo imbatterci in numeri irrazionali!
