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Conceptos fundamentales, Espectro continuo, Operador densidad, Evolución…
Conceptos fundamentales
Superposición
Entrelazamiento
No determinado
Estado de dos fotones
Multiplicación no conmutativa
4 componentes
generealización regla de Born
tipos
separable
entrelazados
Bases ortonormales
Circular
General
Horizontal
Diagonal
Producto tensorial
H=H1xH2
Producto escalar
Stern-Gerlach
|+>,|->,|Sx,+>,|Sx,->,|Sy,+>,|Sy,->
Alice y Bob
Estados-Operadores-Observables
Estados
1r postulado
Normalizados y ortogonales
Rayo
Espacio dual
Operadores
Propiedades
Hermítico
Autovalores reales
Producto no conmutativo
Identidad
Estructura de anillo
2n postulado
Unitario
Importantes para representar simetrías
Producto exterior
Espectro continuo
Operador posición
relación de clausura
psi(x)
prod. escalar
|<fi|psi>|^2=P(delta)/eps
Generalización a 3D
Relación de clausura
Producto escalar
Op. Momento
x y p son dos bases completas del mismo espacio
4t postualdo
Revisar teoremas y corolario
Oscilador armónico unidimensional
H=AA*
N= aa*
Op. escalera
Relación de incertidumbre
4t postulado
Conmutación X, P con una función del momento o posición
Función de ondas
Op. Momento angular orbital
Momento angular general
bmx y bmin
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Operador densidad
Isotropía
Valor esperado
Sumando los valores esperado del observable en cada uno de los estados multiplicados por la probabilidad de cada estado
La probabilidad se convierte en la traza del op.dens·proyector de a
Propiedades
autoadjuntod
Definición, sum(pn)=1
Tr{ro^2}<=1
Tr{ro}=1
valor esperado
probabilidad
como todo operador, el op. densidad se puede expresar en cualquier base para obtener la representación matricial.
definido positivo
cambio de base
diagonales: poblaciones
no diagonales: coherencias
útil utilizar autovec y autoval
Puro
Estado puro
Tr{ro^2}=1
Estado que puede estar representado por un vector en el espacio de Hilbert
el op. densidad es un proyector
5o postulado
Sólo un autovalor
Estado puro independiente del inicial
Medida no filtrante
Contiene todos los autovalores
Puede pasar de puro a mezcla
Si no hay degeneración: P'(a)
Vector polarización
descripción general de conjuntos mezcla de estados de spin 1/2 antes y después de las medidas
Lo saco a partir de la traza
Medida no filtrante del spin
Apéndice
las probabilidades de medida en A no se ven afectadas por qué medidas se hacen en B, ni siquiera si se hacen o no tales medidas.
Evolución temporal
Op. Evolución temporal
Postular la ecuación de evolución para el operador de evolución o para estados es totalmente equivalente
6º postulado
Simetrías y evolución temporal
Nos interesan aquellas que dejan invariante la ley de evolución
La evolución de los estados la determina el Hamiltoniano
H conmuta con U
No degenerado: e^i(fi)
Espacio de En presenta degeneración
base caracterizada por el valor propio del operador de simetría y la energía
Definimos un operador que traslada un estado en el tiempo. Se identifica con el Hamiltoniano cuántico.
Depende de la variable t y t0
Conseva probabilidades
Indentidad cuando t tiende a 0
Composición
omega es hermítico para U unitario
H=h(omega)
Llegamos a la ecuación de Schrödinger
Evolución de valores esperados
cte de movimiento
Evolución de estados y función de onda
Multiplicando por <x| se recupera la ecuación de Schrödinger de la mecánica ondulatoria.
Imagen Evolución
Heisemberg
Schrödinger
Evolución estados mezcla
Observables y medidas
3r postulado
Probabilidad
Estado
Resultado a
Seleccionar es hacer
medida filtrante
Valor esperado
Sistemas spin 1/2
Sy
Sz
Sx
Compatibilidad
CCOC
Base común a los dos operadores
Independientemente de la existencia de degeneración, las medidas de A y B no interfieren
Incompatibilidad
Pueden ser parcialmente compatibles
Importa el orden de medida
Relaciones de incertidumbre
revisar
denntro - fuera
Representaciones
matriciales
Vectores y operadores en una base dada
Base dada
Proyectores
Relación de clausura
Tª Espectral
Funcionaes de operadores
Cambio de base
Todos los operadores y estados se pueden escribir en diferentes bases, es cuestión de sencillez
Traza
Diagonalización
Simetrías en MC
Dejan invariante la descripción de las leyes físicas
Distancia de traza
Se debe preservar
Op. Antilineal Antiunitario
Op. Lineal Unitario
Transformación
Activa
Pasiva
Las relaciones de conmutación se preservan en una transformación de simetría
Conjunto continuo de operadres unitarios
G: generador de simetría
SU(2): Transformaciones unitarias 2x2 que tienen determinante unidad.
U=( a b )
(-b
a
)
Potenciales dependientes del tiempo
Perturbaciones dependientes del tiempo
El Hamiltoniano depende explícitamente del tiempo
Imagen de interacción
Pasado el tiempo en qué estado se encuentra el sistema. Calcula probabilidades
Vi
